排列組合、二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)

排列組合、二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)排列組合二項(xiàng)定理知識(shí)要點(diǎn)一、兩個(gè)原理1.乘法原理、加法原理。乘法原理和加法原理是分類計(jì)數(shù)原理的基礎(chǔ)。乘法原理指的是，如果一個(gè)事件可以分解為若干個(gè)獨(dú)立的事件，那么這個(gè)事件的總數(shù)就等于各個(gè)獨(dú)立事件的數(shù)量之積。加法原理指的是，如果一個(gè)事件可以分解為若干個(gè)不相交的子事件，那么這個(gè)事件的總數(shù)就等于各個(gè)子事件的數(shù)量之和。2.可以有重復(fù)元素的排列。從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個(gè)，所以從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素可重復(fù)排列數(shù)為m的n次方。例如：n件物品放入m個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？（解：m的n次方種）二、排列1.對(duì)排列定義的理解。定義：從n個(gè)不同的元素中任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。2.含有可重元素的排列問題。對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1，a2,…...an，其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2……nk，且n=n1+n2+……nk，則S的排列個(gè)數(shù)等于n的階乘除以n1的階乘乘以n2的階乘乘以……nk的階乘。例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個(gè)數(shù)n=(1+2)!/(2!2!)=3。3.排列數(shù)公式從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)An表示。排列數(shù)公式為Am=n(n-1)…(n-m+1)=n!/((n-m)!)，其中規(guī)定0!=1。三、組合1.對(duì)組合定義的理解定義：從n個(gè)不同的元素中任取m（m≤n）個(gè)元素，不考慮它們的排列順序，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。2.組合數(shù)公式和組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合數(shù)，用符號(hào)C(n,m)表示，公式為C(n,m)=n!/((n-m)!m!)，其中規(guī)定0!=1。組合數(shù)有兩個(gè)性質(zhì)：對(duì)稱性和加法原理。四、二項(xiàng)定理1.二項(xiàng)定理的定義二項(xiàng)定理指的是，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b和非負(fù)整數(shù)n，有(a+b)^n=C(n,0)a^n+b^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+…+C(n,n)a^0b^n。2.二項(xiàng)展開式的性質(zhì)二項(xiàng)展開式的性質(zhì)包括二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性、二項(xiàng)式系數(shù)的恒等式、二項(xiàng)式系數(shù)的遞推公式等。這些性質(zhì)在計(jì)算和證明中都有重要應(yīng)用。三、組合組合是從n個(gè)不同的元素中任取m（m≤n）個(gè)元素并成一組的方法，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。組合數(shù)公式為C=n!/(m!(n-m)!),其中n和m分別表示元素的總數(shù)和選取的元素?cái)?shù)。另外，有兩個(gè)常用的組合數(shù)公式：①C(n,m)=C(n,n-m)；②C(m-1,m)+C(m,m)+C(m+1,m)=C(m+2,m)。排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，但排列有順序關(guān)系，組合沒有順序關(guān)系。常用的組合數(shù)公式有：1.1+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n-1)+C(n,n)=2^n2.C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2^n3.C(m,n)+C(m+1,n)+C(m+2,n)+...+C(m+n,n)=C(m+n+1,n+1)4.kC(k-1,n-1)=nC(k,n)5.(C(n,1))^2+(C(n,2))^2+...+(C(n,n))^2=C(2n,n)常用的證明組合等式方法有：1.裂項(xiàng)求和法2.導(dǎo)數(shù)法3.數(shù)學(xué)歸納法4.倒序求和法5.遞推法6.構(gòu)造二項(xiàng)式其中，遞推法是常用的證明組合等式方法之一，例如：C(m-1,n)+C(m,n)=C(m,n+1)。證明：我們可以使用二項(xiàng)式定理展開(x+1)^n和(1+x)^n，然后將它們相乘，得到：(x+1)^n(1+x)^n=[(x+1)(1+x)]^n=(1+x^2)^n然后，我們可以將(1+x^2)^n展開為二項(xiàng)式的形式，得到：(1+x^2)^n=C(2n,0)+C(2n,1)x^2+C(2n,2)x^4+...+C(2n,2n)x^2n因此，我們可以看到，(1+x^2)^n的xn系數(shù)為C(2n,n)，而(x+1)^n(1+x)^n的xn系數(shù)為：C(n,0)C(n,n)+C(n,1)C(n,n-1)+...+C(n,n)C(n,0)這是一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和，根據(jù)Vandermonde恒等式，我們可以將它們相加，得到：C(2n,n)因此，我們證明了(x+1)^n(1+x)^n=(1+x^2)^n中xn的系數(shù)相等。二、排列、組合問題的解題方法和題型1.直接法和排除法是解決排列、組合問題的基本方法。直接法是直接根據(jù)問題的要求計(jì)算排列或組合的種數(shù)，而排除法則是通過排除不符合要求的排列或組合來計(jì)算符合要求的排列或組合的種數(shù)。2.捆綁法是一種特殊的解題方法，它適用于解決元素相鄰問題。在捆綁法中，我們將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列。例如，當(dāng)有n個(gè)不同元素排成一列，其中某m個(gè)元素必須相鄰時(shí)，符合要求的排列的種數(shù)為An(n-m+1)×Am(m)，其中An(n-m+1)是整體排列的種數(shù)，而Am(m)是局部排列的種數(shù)。3.插空法是解決元素不相鄰問題的一種方法。在插空法中，我們先將一般元素排列好，然后將待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中。例如，當(dāng)有n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素互不相鄰時(shí)，不同的排列的種數(shù)為An(n-m)×An-m+1(m)，這里我們使用插空法來解決問題。4.占位法是一種解題方法，它可以根據(jù)元素的特殊性或位置的特殊性來優(yōu)先考慮某些元素或位置。例如，當(dāng)問題中有特殊元素時(shí)，我們可以先將它們排列好，然后再排其他一般元素；當(dāng)問題中有特殊位置時(shí)，我們可以先考慮它們，然后再排其他剩余位置。5.調(diào)序法是一種解題方法，它適用于當(dāng)某些元素的次序已經(jīng)確定時(shí)。在調(diào)序法中，我們先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列，然后將m個(gè)元素的全排列數(shù)除以它們的調(diào)序數(shù)，即Am(m)，就可以得到不同的排列的種數(shù)。例如，當(dāng)有n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素順序不變時(shí)，不同的排列的種數(shù)為An(n)/Am(m)。平均法：假設(shè)有kn個(gè)不同元素，要將它們平均分成k組，每組n個(gè)元素，那么有以下公式：$$\frac{\binom{kn}{n,n,\ldots,n}}{k!}=\frac{(kn)!}{n!^k\cdotk!}$$例如，從1，2，3，4中任取2個(gè)元素將其平均分成2組，有幾種分法？答案是3種。又例如，將200名運(yùn)動(dòng)員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？答案是$\frac{\binom{198}{98}}{2!\cdot\binom{200}{100}}$。隔板法：隔板法常用于解決正整數(shù)解組數(shù)的問題。例如，對(duì)于方程$x_1+x_2+x_3+x_4=12$的正整數(shù)解的組數(shù)，可以建立組合模型：將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊隔板，把球分成4個(gè)組。每一種方法所得球的數(shù)目依次為$x_1,x_2,x_3,x_4$。顯然$x_1+x_2+x_3+x_4=12$，故$(x_1,x_2,x_3,x_4)$是方程的一組解。反之，方程的任何一組解$(y_1,y_2,y_3,y_4)$，對(duì)應(yīng)著唯一的一種在12個(gè)球之間插入隔板的方式，故方程的解和插板的方法一一對(duì)應(yīng)。即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù)$\binom{11}{3}$。定位問題：從$n$個(gè)不同元素中每次取出$k$個(gè)不同元素作排列，規(guī)定某$r$個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某$r$個(gè)指定位置，則有以下公式：$$(n-r)A_{r,k}(n-r)!$$例如，從$n$個(gè)不同元素中，每次取出$m$個(gè)元素的排列，其中某個(gè)元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少種排法？答案是$(n-1)A_{m-1,n-1}$或$A_{m,1}+A_{m-1,n-1}$。本文介紹了排列組合問題的解法和常見策略。其中，特殊元素優(yōu)先安排策略是一種常見的解題方法，例如從n個(gè)不同元素中取特殊元素a的排列組合問題可以用插空法解決。另外，本文還介紹了組合問題中的分組問題和分配問題，包括均勻不編號(hào)分組、非均勻編號(hào)分組和均勻編號(hào)分組等。在解決排列組合問題時(shí)，可以采用合理分類與準(zhǔn)確分步策略、正難則反等價(jià)轉(zhuǎn)化策略、相鄰問題插空處理策略等常見策略。1.分組問題有兩種分組問題，一種是均勻分組，一種是非均勻分組。均勻分組是將n個(gè)元素分成m組，每組元素?cái)?shù)目相同，且考慮各組間順序，其分法種數(shù)為C(n,m)。非均勻分組是將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，每組元素?cái)?shù)目不相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數(shù)為Am2mk1=Cm1Cm2...Cmk-1(n-(m1+m2+...+mk-1))!/((n-m1)!(n-m2)!...(n-mk)!),其中m1,m2,...,mk為各組元素?cái)?shù)目。2.二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理是(a+b)^n的展開式，共有n+1項(xiàng)，每一項(xiàng)的次數(shù)是n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開。展開式中的第r+1項(xiàng)為Tr+1=C(n,r)ar^(n-r)br(0<=r<=n,r∈Z)。二項(xiàng)式系數(shù)有以下性質(zhì)：與首未兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)是第(n/2)+1項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)C2n最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)為兩項(xiàng)，即第(n+1)/2項(xiàng)和第(n+1)/2項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)C(n+1)/2最大。系數(shù)和為2^n。3.求含有特定項(xiàng)的系數(shù)對(duì)于(a+b+c)^n展開式中含有apbqcr的系數(shù)，其中p,q,r∈N，且p+q+r=n，可以將(a+b+c)^n視為二項(xiàng)式，先找出含有Cr的項(xiàng)C(n,r)(a+b)^r(c^(n-r))，再將(a+b)^r視為二項(xiàng)式，找出含有Cp的項(xiàng)C(r,p)a^pb^(r-p)，最后得到系數(shù)為C(n,r)C(r,p)c^(n-r)a^pb^(r-p)。在概率理論中，有一些公式可以幫助我們計(jì)算隨機(jī)事件的概率。例如，對(duì)于一個(gè)二項(xiàng)式展開式(a+b)^n，我們可以使用組合數(shù)公式來計(jì)算其中包含特定項(xiàng)的系數(shù)。具體來說，如果我們想計(jì)算包含r個(gè)b的項(xiàng)的系數(shù)，我們可以使用C(n-r,r)來表示。同樣地，如果我們想計(jì)算一個(gè)三項(xiàng)式展開式(a+b+c)^n中包含abc的項(xiàng)的系數(shù)，我們可以使用C(n,p,q,r)來表示，其中p、q、r分別表示a、b、c的指數(shù)。在實(shí)