關于運動方程的解會

關于運動方程的解會

1非完整約束系統(tǒng)的特征自1894年h.r.hetrz引入非完全限制系統(tǒng)的概念以來，許多力學和數(shù)學家在這方面做了大量工作。一種觀點認為,虛位移應滿足Appell-Четаев定義按Appell-對于完整約束系統(tǒng),這個條件自動成立,因為完整約束系統(tǒng)的約束不含廣義速度,其對廣義速度的偏導數(shù)為零。從變分角度來講,加在虛位移上的條件是式(2)與式(3)完全不同。著名的數(shù)學力學家V.I.Arnold認為條件(2)是人為加上去的,因為利用條件(2)推導出來運動方程的解會出現(xiàn)“怪行為”另一種觀點認為,由于最優(yōu)控制問題可看作非完整約束系統(tǒng),最優(yōu)控制問題的控制方程的推導是從式(3)出發(fā)的,因此應從式(3)出發(fā)推導運動方程利用約束自身的特點,文獻[8-10]通過解除約束的方法推導出了3類特殊的一階非完整約束系統(tǒng)的不帶乘子的Lagrange方程。本文通過引進新的位移參數(shù)解除非完整約束,使非完整約束系統(tǒng)成為無約束系統(tǒng);再按照完整約束系統(tǒng)推導運動方程的方法,推導出一階非完整約束系統(tǒng)的不帶乘子的Lagrange方程。2這個亞組系統(tǒng)，沒有包含欺詐系統(tǒng)的拉格倫方程2.1t、c、l的lagrange函數(shù)通過3個實例,介紹怎樣引進新的位移參數(shù)來解除非完整約束。例1斜面冰橇問題。該問題對應系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)式中:(x,y)是冰刀與斜面接觸點的坐標;k為回轉半徑;φ為冰刀與Ox軸的夾角;g為重力加速度;α為斜面的傾角。引進新的位移參數(shù)u使得式中:z為積分變量;t為時間。系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)(4)變?yōu)橐虼?這個系統(tǒng)變成以新位移參量u和φ為獨立變分變量的無約束系統(tǒng)。根據(jù)達朗貝爾原理,這個系統(tǒng)的運動應使得泛函的變分為零,即δI=0。式中t通過直接計算得利用關系例2均質球在粗糙的圓錐面內(nèi)純滾動問題。該問題對應系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)式中:m為球的質量;r為球與圓錐面的接觸點到圓錐頂點的距離;α為半錐角;a為球的半徑;γ為兩平面的夾角;k為回轉半徑;φ,χ+γ,θ為3個歐拉角。由式(9)可得對式(10)積分得由式(8)和式(11)可得因此,該系統(tǒng)的2個約束被解除,從而系統(tǒng)成為無約束系統(tǒng),可以按例1的方法推導其運動方程。例3三粗糙均質圓柱體問題。該問題對應系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)式中:(x,y)為上圓柱質心的兩水平坐標;A為上圓柱繞通過中心鉛垂軸的轉動慣量;C為上圓柱繞通過中心軸的轉動慣量;θ為上圓柱母線與Ox軸的夾角;Jφ為上圓柱的轉角;φL式(14)~(17)中:R為上面圓柱的半徑;r為下面兩圓柱的半徑;a為常數(shù);α為下面兩圓柱母線的夾角。由式(14)和式(15)可得由式(16)和式(17)可得由式(18)和式(20)可得因此有式中u是引進的位移參數(shù)。由式(18)和式(22),如果還引進位移參數(shù)v使得就解除了約束式(18)(20)。由式(19)(22)(23)可得因此,約束式(19)被解除。由式(19)(21)(22)可得由式(18)和式(22),通過積分可得式中由式(25)和式(26)可解得利用式(27)和式(23)可得綜合式(28)和式(22)~(24)可得因此,該系統(tǒng)的所有約束被解除。從上面3個例子可以看出,可通過引進位移參數(shù)u式中:2.2lagrange方程推導將式(29)代入系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)下面只從式(30)出發(fā)推導Lagrange方程。對于一般情況,只給出Lagrange方程,而不給出詳細的推導過程。對式(30)求變分得為了方便,記利用分部積分法可得由式(31)~(33)可得由δI=0得到系統(tǒng)的運動方程為式中:i=1,2,…,n-h;C對于一般情況,系統(tǒng)的運動方程為式中C如果Lagrange函數(shù)中不含σ可以直接用式(34)推導出例1~3的運動方程,這些直接的計算從略。3種約束系統(tǒng)的對比通過引進新位移變量解除非完整約束,使非完整約束系統(tǒng)成為無約束系統(tǒng)。對于無約束系統(tǒng),不需要考慮加在虛位移上的條件,從而完全可以按完整約束系統(tǒng)的方法來推導非完整約束系統(tǒng)的不帶乘子的Lagrange方程。完整約束系統(tǒng)與非完整約束系統(tǒng)具有如下區(qū)別:1)對于完整約束系統(tǒng),在引進新的位移參數(shù)后,所有的廣義坐標都是新參數(shù)的函數(shù);對于非完整約束系統(tǒng),在引進新的位移參數(shù)后,所有的廣義坐標不僅是新參數(shù)的函數(shù),而且與新參數(shù)的導數(shù)有關,還含有積分。2)對于完整約束系統(tǒng)在解除約束后,系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)只與新參數(shù)及其一階導數(shù)有關;對于非完整約束系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)與新參數(shù)以及它們的一階導數(shù)和二階導數(shù)有關,并且還含有積分。3)完整約束系統(tǒng)與非完整約束系統(tǒng)運動方程的形式不同。系統(tǒng)的約束方程為因為δu與δφ是相互獨立的,由δ