彈性力學課件二零

10TorsionofPrismaticalBars10.1Stressesanddisplacements10.2Membraneanalogy10.3Ellipticbarsintorsion10.4Rectangularbarsintorsion例：圖示為等截面直桿（不計體力），兩端平面內(nèi)受方向相反的兩個力偶作用，取如圖所示的坐標系，求應力分量。xyzMMo如何計算？Semi-inversemethod10.1StressesanddisplacementsConsiderastraightprismaticalbartwistedbytwooppositecouples,eachwithmomentM,ontheendplanesofthebar.分析如下：由材料力學可知，桿件橫截面上有剪應力

zx、zy，其他應力分量為零，即x=y=z=xy=0，體力X=Y=Z=0Weshallsolvetheproblemintermsofstressesandapplythesemi-inversemethod.Beinghintedbythestressdistributiongiveninmechanicsofmaterialsforacircularshaft,weassumethatonlythetorsionalstressesaredifferentfromzero,whichotherstresscomponentsvanish.將上述應力分量代入平衡微分方程：Substitutingtheseintodifferentialequations（1）（2）（3）由（3）得：由（1）、（2）可知，

zx、

zy是x、y的函數(shù)ThefirsttwoofEqs.showthatthetorsionalstress

zx、

zyarefunctionofxandyonly.或?qū)懗桑簩⑸鲜霰磉_式代入相容方程：Rewrittenas由微分理論可知，一定存在一個函數(shù)（x，y）使得：Hence,thereexistsacertainfunctionsothat前四式自然滿足，最后兩式為：將代入上式這說明：Hence,mustbeconstant1、睛桿件越側(cè)面丑：邊界條件xyzMMon=0，X=Y=Z=0代入邊界前兩式恒滿足，第三式為：Co障ns暖id察er黑t滔he臺b降ou真nd鋒ar標y支co顧nd僻it說io監(jiān)nsOn欲t揮he池l吩at頭er繁al牛s穿ur匹fa帽ceTh塵e檢fi填rs耳t葵tw醫(yī)oEq樓s.詢Ar屠e智id牲en涼ti賊ca守ll芒y幫sa江ti舅sf議ie麻d與wh腿il兇e廊th灰e窯th幼ir寸d披eq纖ua渠ti窮on印r賄ed勻uc糕es偽t密oSo：所以，以上邊界條件可寫為：Since：ontheboundaryofacross-section,wehaveShowsthatmustbeconstantalongtheboundaryofacross-section常數(shù)淚如何殿取？Since所以在應力函數(shù)上增加或減少一個常數(shù)，對應力分量無影響，可取s=0（在單連域?qū)嵭闹那闆r下）thestresscomponentsarenotaffectedbyadditionofaconstantto.Hence,inthecaseofsimplyconnectedcross-section,forsimplicity,wemaytaketheboundaryvalueofaszero.在多連域情況下，每個邊界上的為常數(shù)，但每個常數(shù)并不相同，只能取其中一個邊界的為零.Inthecaseofmultiplyconnectedcross-section,theconstantvaluesofondifferentboundarycurvesmaydifferfromeachother.Hence,thevalueofcanbetakenaszeroalongonlyoneoftheboundarycurves,whilethevaluesofonallotherboundarycurvesmustbedeterminedbytheconditionofsingle-valueddisplacement.2、柿桿件泛端面?zhèn)z（上滿端）邁：邊界條件xyzMMol=漢m=抓0靈n絡(luò)=-恢1代入筑邊界團條件草得：且兩場端的兇面力鄭必須慨合成器為力僚偶：On簡e偶it征he勻r懸en踢d夫pl板an蝦e膚(s秀ee五t解he品u詢pp趨er校o叨ne厲)Si畝nc男e淋th灣e搬su戀rf神ac劑e店fo懷rc扯e僚co水mp南on泳en健ts憤m非us饒t收co墓mp助os叢ed混a暑c筋ou主pl餃e牙wi么th療m鞠om橋en游t芬M,圖i懂t喉is產(chǎn)r永eq閑ui癥re裕d毛th毯at驗證如下邊界條件：xyMoAB

A、B為邊界上A、B點的值，取零，所以同理，可證明：Wh桐er庭e

A、Bar闊e諸th蔬e熄va友lu腎es定o誘f

at陪t襯wo襲p亂oi肆nt幫s柜A峰an駝d騎B蛛on戚t可he崇b菜ou璃nd害ar肉y,囑w別hi桶ch攝m汪us卻t咱be您z裁er傾o.其中也的一運項用洞分部貝積分萍：xyMoAB

A、B為邊界上A、B點的值，取零，所以Where

A、Barethevaluesof

attwopointsAandBontheboundary,whichmustbezero.同理所以：Thus歸納To搬s礙um供u返p邊：

等截面直桿的扭轉(zhuǎn)問題最終歸結(jié)為求應力函數(shù)（x，y），使它滿足且

s=0，然后憑由下蘋列公原式求滔應力駱分量嗎：Tosumup,inatorsionproblem,ifwecanfindafunction

whichsatisfies,

s=0,,then,thetorsionalstressescanbefound.求位加移分骨量：（將督應力濾分量碰代入值物理酷方程學）No義w霞de丟ri嬸ve住t裙he隱f爹or慢mu朵la沒s調(diào)fo預r鍋di兄sp話la番ce壤m(xù)e僑nt摔c蒙om矮po來ne頁nt麗s.砌S興ub建st罷it越ut噸io擠n紹of寨s蒜tr摘es犁s搞co悟mp趕on敘en喪ts碰i趟nt使o識ph顛ys牲ic茂al財e屯qu鹿at輪io古ns框.將幾何方程代入上述表達式，得：Substitutionofgeometricalequations.u0,v0,

x,y,z是積妨分常農(nóng)數(shù)，全代表占剛體罷位移良，k也是溪積分宏常數(shù)某，若猴不計閣積分澤常數(shù)幣，則如果災用柱鴿坐標養(yǎng)表示壺，則u0,v0,

x,y,站

zar犧e排ar哭bi曉tr慶ar孩y音co草ns關(guān)ta鵝nt峽s土re唐pr返es隔en旁ti撐ng慌t加he域r敬ig莖id油-b碰od剛y島mo買ve貴me教nt低s拌of峽t蜂he箱b環(huán)ar陶.纏As姨su戴mi雜ng魯t唉ha諸t普th魯e奧up卵pe渡r-禽en痛d夠of饅t走he軌b牌ar庫i言s廊co巷ns濱tr叔ai父ne斑d顆to鈔p露re圾ve驗nt櫻t爭he麻se享r塌ig慢id攜-b沖od課y挽mo僅ve蘋me虧nt制s,消w搖e澆ha變ve免t剪he曲s水im盲pl壯e穴ex號pr循es朝si愧on斷s.In士p森ol傳ar映c圖oo廢rd巨in貴at最es要,t剪he略d睛is帝pl源ac訊em拜en國t旬co年mp穗on但en弊ts兇w搭il簡l袖beThusitisseenthateverycross-sectionofthebarrotatesanangle=kzaboutthezaxisandrepresentsthetwistperunitlength,thatis,therelativeangulardisplacementoftwocross-sectionsatunitdistanceapart.由此撞可得狐結(jié)論旗，每晴個橫籮截面游在xy面上話的投雖影不膚改變桌形狀寨，只緒是轉(zhuǎn)紛過一遇個角床度=kz，且單韻位長亭度的爬扭轉(zhuǎn)池角：將u=-kyz，v=kxz代入