第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（四大題型）（講義）

第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).（2）通過實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，會畫指數(shù)函數(shù)的圖象.（3）理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用．2022年甲卷第12題，5分2020年新高考II卷第11題，5分從近五年的高考情況來看,指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)是高考的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)基本點(diǎn),常與二次函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜合,考查數(shù)值大小的比較和函數(shù)方程問題.1、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算(1)根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．(2)根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①，，；②，，；③，，；④，，．2、指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，；時(shí)，時(shí)，；時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)【解題方法總結(jié)】1、指數(shù)函數(shù)常用技巧(1)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“”和“”兩種情形討論．(2)當(dāng)時(shí)，，；的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．當(dāng)時(shí)，；的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．(3)指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱．【典例例題】題型一：指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式【例1】（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B.【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．設(shè)則 B．若，則C．若，則 D．【答案】B【解析】對于A，根據(jù)分式指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，，故，選項(xiàng)B正確；對于C，，，因?yàn)?，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B．【對點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B【對點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲?乙兩人解關(guān)于x的方程，甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，得到的根為或x=，乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，得到的根為或，則原方程的根是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】令，則方程可化為，甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，所以和是方程的兩根，所以，乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，所以1和2是方程的兩根，所以，則可得方程，解得，所以原方程的根是或故選：D【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】方程有解，有解，令，則可化為有正根，則在有解，又當(dāng)時(shí)，所以，故選：．【對點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）不等式的解集為______．【答案】【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：【對點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為___________.【答案】【解析】由，可得.令，因?yàn)榫鶠樯蠁握{(diào)遞減函數(shù)則在上單調(diào)逆減，且，，故不等式的解集為.故答案為：.【解題總結(jié)】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題.對于形如，，的形式常用“化同底”轉(zhuǎn)化，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對數(shù)”的方法求解.形如或的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解.題型二：指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)【例2】（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象可能為（

）A．B．C． D．【答案】ABD【解析】根據(jù)函數(shù)解析式的形式，以及圖象的特征，合理給賦值，判斷選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，圖象A滿足；當(dāng)時(shí)，，，且，此時(shí)函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，圖象B滿足；當(dāng)時(shí)，，，且，此時(shí)函數(shù)是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，圖象D滿足；圖象C過點(diǎn)，此時(shí)，故C不成立.故選：ABD【對點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】∵的定義域?yàn)镽，∴0對任意x∈R恒成立，即恒成立，即對任意恒成立，，則．故答案為．【對點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，，則其值域?yàn)開______．【答案】【解析】令，∵，∴，∴，又關(guān)于對稱，開口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，.故答案為：.【對點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)的最大值是最小值的兩倍，且，則______【答案】或【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)的最大值為，最小值為，由題意得，解得，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)的最大值為，最小值為，由題意得，解得，則，此時(shí)．故答案為：或.【對點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)定義知，同時(shí)，且，所以解得.故選：C【對點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖像如圖，則實(shí)數(shù)a，b的取值只可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】若，為增函數(shù)，且，與圖象不符，若，為減函數(shù)，且，與圖象相符，所以，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可知，此時(shí)，所，則，所以，故選:C.【對點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于x，y的方程，則的最小值為（

）A．8 B．24 C．4 D．6【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)圖象恒過定點(diǎn)又點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于，的方程，所以，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號；所以的最小值為4．故選：C．【對點(diǎn)訓(xùn)練13】（多選題）（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測期內(nèi)人口年增長率，為預(yù)測期間隔年數(shù)，則（

）A．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢B．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈擺動變化C．當(dāng)時(shí)，的最小值為3D．當(dāng)時(shí)，的最小值為3【答案】AC【解析】，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：是關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù)，即人口數(shù)呈下降趨勢，故A正確，B不正確；，所以，所以，，所以的最小值為3，故C正確；，所以，所以，，所以的最小值為2，故D不正確；故選：AC.【對點(diǎn)訓(xùn)練14】（多選題）（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)是增函數(shù)B．曲線關(guān)于對稱C．函數(shù)的值域?yàn)镈．曲線有且僅有兩條斜率為的切線【答案】AB【解析】根據(jù)題意可得，易知是減函數(shù)，所以是增函數(shù)，即A正確；由題意可得，所以，即對于任意，滿足，所以關(guān)于對稱，即B正確；由指數(shù)函數(shù)值域可得，所以，即，所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以C錯(cuò)誤；易知，令，整理可得，令，即，易知，又因?yàn)椋?，所以，即，因此；即關(guān)于的一元二次方程無實(shí)數(shù)根；所以無解，即曲線不存在斜率為的切線，即D錯(cuò)誤；故選：AB【解題總結(jié)】解決指數(shù)函數(shù)有關(guān)問題，思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮，按照數(shù)形結(jié)合的思路分析，從圖像與性質(zhì)找到解題的突破口，但要注意底數(shù)對問題的影響.題型三：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式在R上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.【答案】．【解析】令因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以因此要使在區(qū)間上恒成立，應(yīng)有，即所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故答案為：.【對點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.【答案】【解析】由函數(shù)，均為在上的增函數(shù)，故函數(shù)是在上的單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，即，可得恒成立，即在上恒成立，則滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【對點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式，對于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】，，【解析】設(shè)，，則，對于，恒成立，即，對于，恒成立，∴，即，解得或，即或，解得或，綜上，的取值范圍為，，．故答案為：，，﹒【對點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】令，∵，∴，∵恒成立，∴恒成立，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，表達(dá)式取得最小值，∴，故答案為．【對點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·上海徐匯·高三位育中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).(1)求實(shí)數(shù)的值，并證明在上單調(diào)遞增；(2)已知且，若對于任意的、，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，解得，此時(shí)，對任意的，，即函數(shù)的定義域?yàn)?，，即函?shù)為奇函數(shù)，合乎題意，任取、且，則，所以，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，對于任意的、，都有，則，，因?yàn)椋瑒t.當(dāng)時(shí)，則有，解得；當(dāng)時(shí)，則有，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【解題總結(jié)】已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．題型四：指數(shù)函數(shù)的綜合問題【例4】（2023·全國·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，，，故，故函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，在上單調(diào)遞減，，而，故或或，解得或，故所求不等式的解集為，故選：B.【對點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）設(shè).若函數(shù)的定義域?yàn)?，則關(guān)于的不等式的解集為__________.【答案】【解析】若，對任意的，，則函數(shù)的定義域?yàn)?，不合乎題意，所以，，由可得，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，，解得，所以，，則，由可得，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.【對點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則__________.【答案】【解析】依題意函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，又，所以，所以定義域?yàn)?，因?yàn)榈膱D象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，所以，解得.又，所以，所以，即，所以，所以.故答案為：.【對點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則滿足的x的取值范圍是______________．【答案】【解析】由函數(shù)性質(zhì)知，，∴，即，解得，∴，故答案為：.【對點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·河南信陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則__________．【答案】1【解析】因?yàn)椋喌茫?，又，?gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)，在上都為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，由，∴，解得，，∴．故答案為：.【對點(diǎn)訓(xùn)練23】（多選題）（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則可能等于（

）A．-1 B． C． D．0【答案】BC【解析】由表示與點(diǎn)所成直線的斜率，又是在部分圖象上的動點(diǎn)，圖象如下：如上圖，，則，只有B、C滿足.故選：BC1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對