機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)講稿第四周

機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)講稿第四周第1頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第三周授課內(nèi)容1.相關(guān)分析及其應(yīng)用2.功率譜分析及其應(yīng)用第2頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月我們知道，對于隨機信號的描述可通過下述各量來進行：時域描述方法矩概率密度函數(shù)原點矩（如均值、均方值等）中心矩（如均方差等）聯(lián)合矩（如互相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)等）頻域描述方法：功率譜、能量譜第3頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

相關(guān)系數(shù)可用于兩個信號（如信號x和信號y)相似性（或線性相關(guān)性）的一種度量。其數(shù)學(xué)表達式為：相關(guān)系數(shù)由柯西-許瓦茲不等式其中第4頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)x與y完全線性無關(guān)；(b)x與y完全線性相關(guān)；

(c)x與y存在某種程度的線性關(guān)系?！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁy0xy0xy0··············(a)(b)(c)

(注意此時x與y卻可能還有其它的函數(shù)關(guān)系)第5頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月信號的自相關(guān)函數(shù)x(t)是各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的一個樣本函數(shù)，觀測時間為T。x(t+τ)是時移之后的樣本函數(shù)。這兩個樣本函數(shù)具有相同的均值ux和標(biāo)準(zhǔn)差σx。x(t)x(t+τ)0tit0ttiTττ定義第6頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月從另一角度看ρxy：則有：選擇參數(shù)a使得ε最小：代回得：令相對誤差能量：其中：第7頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用前述公式：則有：第8頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月得功率有限信號的自相關(guān)函數(shù)為

進一步推廣，可得：

能量有限信號的自相關(guān)函數(shù)周期信號的自相關(guān)函數(shù)T—周期第9頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月1）τ0原因：性質(zhì)第10頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月τ02）均方值第11頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月3）τ足夠大或τ→∞時，隨機變量x(t)與x(t+t)就不存在內(nèi)在的聯(lián)系了，彼此無關(guān)，即可得第12頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月4）自相關(guān)函數(shù)為實偶函數(shù)

證明：第13頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月0τ

因此，由上述這些性質(zhì)，很容易繪出自相關(guān)函數(shù)圖為：第14頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月5）周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期函數(shù)，其幅值與原周期信號的幅值有關(guān)，但丟失了原信號的相位信息。假設(shè)周期信號可得其自相關(guān)函數(shù)為第15頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月例:求正弦函數(shù)

的自相關(guān)函數(shù)解：

周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期函數(shù)，在自相關(guān)函數(shù)中包含的原信號的幅值信息與頻率信，但是卻丟失了其初始相位信息。第16頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月τ0tx(t)0正弦函數(shù)及自相關(guān)函數(shù)x0(x02)/2初始相位f的信息丟失了第17頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月典型信號的自相關(guān)函數(shù)正弦信號正弦信號+隨機噪聲窄帶隨機信號寬帶隨機信號第18頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月自相關(guān)函數(shù)的作用

主要是用來區(qū)別信號的類型，由上圖可見：

只要信號中含有周期成分，其自相關(guān)函數(shù)在τ

很大時都不衰減，并具有明顯的周期性；信號中不包含周期成分則在τ稍大時自相關(guān)函數(shù)就衰減為零；寬帶隨機信號的自相關(guān)函數(shù)相對于窄帶隨機信號的自相關(guān)函數(shù)衰減快。第19頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月①機加工表面粗糙度（用輪廓儀測）成因分析。自相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用舉例：金鋼石觸針工件相關(guān)分析電感式傳感器系統(tǒng)構(gòu)成：第20頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月10mm5mmRx(t)00.51t可能成因：①沿工件軸向走刀運動的周期性；②工件切向，則可能是由于主軸回轉(zhuǎn)振動的周期性。第21頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

②在水域中探索有無潛艇通過。

潛水艇的發(fā)動機在工作時發(fā)出周期性信號，而海浪是隨機的，如果經(jīng)過相關(guān)分析發(fā)現(xiàn)有周期性峰值，就可以知道，可能有潛艇通過。

自相關(guān)函數(shù)在電子、機械等工程中有一定的使用價值，但是利用它的傅里葉變換（自功率譜，下面的內(nèi)容）來分析噪聲中的周期信號更加實用一些。另外，從前面的分析中我們知道，自相關(guān)函數(shù)中丟失了相位信息，使其應(yīng)用受到一定的限制。第22頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月信號的互相關(guān)函數(shù)定義功率有限信號的互相關(guān)函數(shù)為

能量有限信號的互相關(guān)函數(shù)為

周期信號的互相關(guān)函數(shù)為

第23頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月互相關(guān)函數(shù)圖形互相關(guān)函數(shù)τ0τ0第24頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月1）互相關(guān)函數(shù)的限制范圍為

τ0τ0性質(zhì)第25頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2）同頻相關(guān)不同頻不相關(guān)

例：求下列兩正弦信號的互相關(guān)函數(shù)。討論如下兩種情形：①②第26頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：同頻相關(guān)，不同頻不相關(guān)解：因為信號是周期信號，可以用一個共同周期內(nèi)的平均值代替其整個歷程的平均值，故

①(應(yīng)用三角函數(shù)的正交性)②保留了①幅值②頻率③相位信息第27頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月3）互相關(guān)函數(shù)非偶函數(shù)、亦非奇函數(shù)，具有關(guān)系因為：τ0τ0第28頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月4）的峰值不在處，其峰值偏離原點的位置反映了兩信號時移的大小，相關(guān)程度最高。τ0τ0第29頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月互相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用

在噪聲背景下提取有用信息。例1：線性定常系統(tǒng)對之施加振動激勵→x(t)，檢測振動信號→y(t)，(含有大量的干擾噪聲)對x(t)和y(t)進行相關(guān)分析，根據(jù)同頻相關(guān)不同頻不相關(guān)的理論，只有和激振頻率相同的成分才可能是由激振而引起的響應(yīng)，其它成分均是干擾噪聲，這樣便可得知激勵引起的響應(yīng)的幅值及相位差的大小，完全消除了干擾噪聲的影響。

這種處理方法稱為相關(guān)濾波。第30頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月石油例：相關(guān)分析在輸油管測漏中的應(yīng)用

τ0τm中心線相關(guān)分析y(t)12sx(t)LL第31頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月例：相關(guān)測速

鋼帶運動速度的非接觸測量

鋼帶可調(diào)延遲相關(guān)器光電池冷軋6~40m/s熱軋8~30m/s第32頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月功率譜分析及其應(yīng)用

1）信號的時域描述反映了信號幅值隨時間變化的特征；2）相關(guān)分析從時域為在噪聲背景下提取有用信息提供了手段；3）信號的頻域的描述反映了信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值大??；4）功率譜密度函數(shù)、相干函數(shù)、倒譜分析則從頻域為研究平穩(wěn)隨機過程提供了重要方法。第33頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月自功率譜密度函數(shù)定義及其物理意義定義隨機信號的自功率譜密度函數(shù)（自譜）為：其逆變換為

記作：的自功率譜密度函數(shù)，簡稱為自譜或自功率譜。第34頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月為什么稱為自功率譜呢？瞬時功率總能量平均功率由于：

則二者所蘊含的信息是等價的，自功率譜密度函數(shù)必然是偶函數(shù)，如上圖所示。f0第35頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月f0

單邊譜與雙邊譜

因為經(jīng)常應(yīng)用的頻率段為f=(0,∞)，所以功率譜也常用單邊的形式來表示之。第36頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月巴塞伐爾（Parseval）定理（能量等式）定義：信號在時域中的總能量等于其在頻域中的總能量。第37頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月由卷積定理即令令證明：第38頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

下面根據(jù)Paseval定理推導(dǎo)一下自功率譜密度函數(shù)和幅值譜或能譜之間的關(guān)系。由Parseval定理()：

由功率譜定義：因此有：重要公式

可以直接對時域信號x(t)進行傅里葉變換，再利用上述公式求信號的功率譜(但這只是理論上)。第39頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

功率譜的估計

上面得到的功率譜與信號的幅值譜間的關(guān)系僅是一個理論計算公式，實際上我們不可能對一個無限長的時域信號進行分析，只能分析有限長度的信號。模擬信號數(shù)字信號第40頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

自功率譜的應(yīng)用（三個方面）①反映信號的頻率結(jié)構(gòu)

反映信號的頻率結(jié)構(gòu)，所以也反映信號的頻率結(jié)構(gòu)，但與之間是平方的關(guān)系，因此頻率結(jié)構(gòu)更加明顯。（見下頁圖）第41頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月00ff幅值譜與自功率譜第42頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月②反映系統(tǒng)的幅頻特性(但丟失了相位信息)若為線性定常系統(tǒng)有：則有：兩邊平方：亦即：由此得到：通過對輸入輸出自譜的分析便可以得到系統(tǒng)的幅頻特性。h(t)H(f)x(t)y(t)X(f)Y(f)第43頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月③檢測信號中有無周期成分

理想的周期信號的尖譜是脈沖函數(shù)，但實際信號我們只能對其取有限長度進行分析（截斷），截斷后的周期信號頻譜特點為：譜線高度有限；譜線寬度無限小。周期成分以陡峭的有限峰值的形態(tài)出現(xiàn)。故障診斷實例放大圖第44頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

互功率譜密度函數(shù)定義兩隨機信號的互功率譜密度函數(shù)（互譜）為：

其逆變換為：第45頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于互功率譜密度函數(shù)是互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，因此二者所蘊含的信息是等價的。它既保留了原來信號的幅值與相位信息，同時也保留了原信號的初始相位信息。第46頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月功率譜的估計互功率譜的應(yīng)用模擬信號數(shù)字信號①求取系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)h(t)H(f)x(t)y(t)X(f)Y(f)第47頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月單輸入、單輸出的理想線性系統(tǒng)

或通過輸入的自譜、輸入輸出的互譜分析，就能得出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。保留了幅值頻率及相位信息。

第48頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月h1(t)H1

(f)x(t)y(t)X(f)Y(f)h1(t)H1

(f)n1(t)n2(t)n3(t)N1(f)N2(f)N3(f)互譜排除噪聲影響

受外界干擾的系統(tǒng)中間環(huán)節(jié)噪聲輸入噪聲輸出端噪聲第49頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月由于輸入和噪聲是獨立無關(guān)的h1(t)H1