【?？級狠S題】2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略（人教版） 一次函數(shù)的應(yīng)用三種考法全攻略（解析版）

一次函數(shù)的應(yīng)用三種考法全攻略類型一、分配方案問題例．某公司計(jì)劃組織員工去旅游，參加人數(shù)在10至30人之間．甲、乙兩家旅行社為了吸引更多的顧客，分別提出了各自的優(yōu)惠方案．甲旅行社的優(yōu)惠方案是：買3張全票，其余人按半價(jià)收費(fèi)；乙旅行社的優(yōu)惠方案是：一律按6折收費(fèi)．已知甲、乙兩家旅行社的原價(jià)均為每人80元．(1)分別表示出甲旅行社收費(fèi)，乙旅行社與旅游人數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)參加的人數(shù)為12人時(shí)，應(yīng)該選擇哪家旅行社比較合算？(3)若公司計(jì)劃用1200元作為旅游經(jīng)費(fèi)，為了使更多的員工參加，應(yīng)該選擇哪家旅行社？【答案】(1)，(2)選擇乙旅行社比較合算(3)為了使更多的員工參加，應(yīng)該選擇甲旅行社【詳解】（1）解：由題意，得：；；（2）解：當(dāng)時(shí)，，，∴；故選擇乙旅行社比較合算．（3）解：當(dāng)時(shí)：，解得：；當(dāng)時(shí)：，解得：；∵，∴為了使更多的員工參加，應(yīng)該選擇甲旅行社．【變式訓(xùn)練1】文德中學(xué)為了緩解學(xué)生用餐擁擠，計(jì)劃購進(jìn)某種餐桌、餐椅，這是某商場給出的報(bào)價(jià)表：零售價(jià)（元/張）成套售價(jià)（元/套）餐桌450餐椅已知用720元購進(jìn)的餐桌數(shù)量與用320元購進(jìn)的餐椅數(shù)量相同．(1)求每張餐桌和餐椅的零售價(jià)．(2)采購人員計(jì)劃購進(jìn)餐椅的數(shù)量是餐桌數(shù)量的6倍還多10張，且餐桌和餐椅的總數(shù)量不少于220張．如果成套購買可享受該商場的成套售價(jià)（一張餐桌和四張餐椅配成一套）．采購人員決定先成套購買，其余餐椅以零售價(jià)購入．設(shè)購進(jìn)餐桌的數(shù)量為（張），總價(jià)為（元），求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出總價(jià)最低時(shí)的進(jìn)貨方案．【答案】(1)每張餐桌和餐椅的零售價(jià)分別為180元、80元(2)當(dāng)進(jìn)貨餐桌30張，桌椅190張時(shí)，總價(jià)最低【詳解】（1）解：由題意得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴，∴每張餐桌和餐椅的零售價(jià)分別為180元、80元；（2）解：由題意得，∵餐桌和餐椅的總數(shù)量不少于220張，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，W最小，最小為19100元，∴，，符合題意，∴當(dāng)進(jìn)貨餐桌30張，桌椅190張時(shí)，總價(jià)最低．【變式訓(xùn)練2】根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)

如何運(yùn)輸最省?素材一為做到“動態(tài)清零”，市衛(wèi)生防疫部門需運(yùn)輸一批疫苗到某縣，現(xiàn)有冷鏈車A和B型兩種運(yùn)輸車，其中型冷鏈運(yùn)輸車一次可運(yùn)輸200盒疫苗，型冷鏈運(yùn)輸車一次可運(yùn)輸150盒疫苗．素材二型冷鏈運(yùn)輸車一次需費(fèi)用元，型冷鏈運(yùn)輸車一次需費(fèi)用元．問題解決任務(wù)1若某縣需要1500盒疫苗，市衛(wèi)生防疫部門只安排型冷鏈運(yùn)輸車，則至少需型冷鏈運(yùn)輸車多少輛？任務(wù)2市衛(wèi)生防疫部門用上述兩種冷凍車共12輛運(yùn)輸這批疫苗若運(yùn)輸疫苗不少于2100盒，且總費(fèi)用小于元請你列出所有的運(yùn)輸方案．任務(wù)3在任務(wù)2的條件下，由于A型和B型兩種運(yùn)輸車，運(yùn)輸時(shí)走不同高速路線，A型需a元過路費(fèi)，B型元過路費(fèi)，求如何安排兩種車型運(yùn)輸?shù)倪^路費(fèi)總和最少？【答案】任務(wù)1：至少需要A型冷鏈運(yùn)輸車8輛；任務(wù)2：方案一：A型冷鏈運(yùn)輸車6輛，B型冷鏈運(yùn)輸車6輛；方案二：A型冷鏈運(yùn)輸車7輛，B型冷鏈運(yùn)輸車5輛；方案三：A型冷鏈運(yùn)輸車8輛，B型冷鏈運(yùn)輸車4輛；任務(wù)3：當(dāng)a=50時(shí)三種方案一樣；當(dāng)時(shí)，方案三最少；當(dāng)時(shí)，方案一最少【詳解】任務(wù)1：設(shè)需A型冷鏈運(yùn)輸車m輛，根據(jù)題意得，解得，∵m是整數(shù)，∴至少需A型冷鏈運(yùn)輸車8輛；任務(wù)2：設(shè)用A型冷鏈運(yùn)輸車x輛，則B型冷鏈運(yùn)輸車輛，根據(jù)題意得：，解得，∵x是整數(shù)，∴x可取6，7，8，∴運(yùn)輸方案有3種：方案一：用A型冷鏈運(yùn)輸車6輛，B型冷鏈運(yùn)輸車6輛，方案二：用A型冷鏈運(yùn)輸車7輛，B型冷鏈運(yùn)輸車5輛，方案三：用A型冷鏈運(yùn)輸車8輛，B型冷鏈運(yùn)輸車4輛；任務(wù)3：設(shè)過路費(fèi)總和為y元，，當(dāng)時(shí),，三種方案一樣；當(dāng)，即時(shí)，y隨x的增大而增大，∴時(shí)，y取最小值，最小值為（元），即安排A型冷鏈運(yùn)輸車6輛，B型冷鏈運(yùn)輸車6輛，過路費(fèi)總和最少；當(dāng)，即時(shí)，y隨x的增大而減小，∴時(shí)，y取最小值，最小值為元，即安排A型冷鏈運(yùn)輸車8輛，B型冷鏈運(yùn)輸車4輛，過路費(fèi)總和最少；答：當(dāng)a=50時(shí)三種方案一樣；當(dāng)時(shí)，方案三最少；當(dāng)時(shí)，方案一最少．【變式訓(xùn)練3】某市火車貨運(yùn)站現(xiàn)有蘋果1530噸，梨1150噸，安排一列貨車將這批蘋果和梨運(yùn)往深圳市．這列貨車可以掛A、B兩種不同規(guī)格的貨箱50節(jié)，已知用一節(jié)A型貨箱的運(yùn)費(fèi)是0.5萬元，用一節(jié)B型貨箱的運(yùn)費(fèi)是0.8萬元．(1)設(shè)運(yùn)輸這批蘋果和梨的總運(yùn)費(fèi)為y萬元，用A型貨箱的節(jié)數(shù)為x節(jié)，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知蘋果35噸和梨15噸可裝滿一節(jié)A型車廂，蘋果25噸和梨35噸可裝滿一節(jié)B型車廂，按此要求安排A、B兩種貨箱的節(jié)數(shù)，有哪幾種運(yùn)輸方案，請你設(shè)計(jì)出來；(3)哪種方案的總運(yùn)費(fèi)最??？最少運(yùn)費(fèi)是多少？【答案】(1)(2)有三種方案，詳見解析(3)方案三的總運(yùn)費(fèi)最少，最少運(yùn)費(fèi)為萬元【詳解】（1）解：設(shè)用型貨箱節(jié)，則用型貨箱節(jié)，根據(jù)題意，可得：，即；（2）解：根據(jù)題意，可得，解得：，∵為整數(shù)，∴的取值為，，，∴運(yùn)送方案有三種：方案一：型貨廂節(jié)，型貨廂節(jié)；方案二：型貨廂節(jié)，型貨廂節(jié)；方案三：型貨廂節(jié)，型貨廂節(jié)；（3）解：在中，∵，∴隨的增大而減小，∴

當(dāng)時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最少，即方案三的總運(yùn)費(fèi)最少，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)（萬元）．【變式訓(xùn)練4】咸陽是中國農(nóng)業(yè)文明的發(fā)祥地，果業(yè)作為全市的支柱產(chǎn)業(yè)，近些年，咸陽市的果業(yè)規(guī)模迅速擴(kuò)大，果品質(zhì)量逐年提升，果業(yè)效益顯著提升，已成為陜西第一果業(yè)大市．一家果業(yè)加工廠承擔(dān)出口某種水果的加工任務(wù)，有一批水果需要裝入某一規(guī)格的禮盒，而這種禮盒的來源有兩種方案可供選擇：方案一：從禮盒加工廠訂購，購買禮盒所需費(fèi)用為（元）；方案二：由該果業(yè)加工廠租賃機(jī)器，自己加工制作這種禮盒，所需費(fèi)用（包括租賃機(jī)器的費(fèi)用和生產(chǎn)禮盒的費(fèi)用）為（元）．其中（元）、（元）與禮盒數(shù)（個）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象解答下列問題：(1)請分別求出、與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該果業(yè)加工廠需要這種禮盒2000個，你認(rèn)為選擇哪種方案更省錢？并說明理由；(3)當(dāng)該果業(yè)加工廠需要這種禮盒多少個時(shí)，選擇兩種方案所需的費(fèi)用相同？【答案】(1)；(2)該果業(yè)加工廠需要這種禮盒2000個，選擇方案二更省錢，理由見解析(3)當(dāng)該果業(yè)加工廠需要這種禮盒1250個時(shí)，選擇兩種方案所需的費(fèi)用相同【詳解】（1）解：設(shè)．將點(diǎn)代入，得解得，所以；

設(shè)．因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即．由圖象知函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入，得，解得，所以．（2）當(dāng)時(shí)，，

，

因?yàn)?，所以若該果業(yè)加工廠需要這種禮盒2000個，選擇方案二更省錢．（3）令，則解得．即當(dāng)該果業(yè)加工廠需要這種禮盒1250個時(shí)，選擇兩種方案所需的費(fèi)用相同．類型二、最大利潤問題例．為了迎接兔年的到來，廣大市民紛紛開始購買兔年裝飾物，某網(wǎng)店上架了“玉兔燈籠”和“玉兔擺件”這兩款產(chǎn)品，已知10個“玉兔燈籠”和15個“玉兔擺件”的售價(jià)為2400元；30個“玉兔燈籠”和20個“玉兔擺件”的售價(jià)為5200元．(1)每個“玉兔燈籠”和“玉兔擺件”的售價(jià)分別為多少元？(2)已知“玉兔燈籠”和“玉兔擺件”的成本分別為80元/個和50元/個．進(jìn)入2023年一月后，這兩款產(chǎn)品持續(xù)熱銷，于是網(wǎng)店再購進(jìn)了這兩款產(chǎn)品共600個，其中“玉兔擺件”的數(shù)量不超過“玉兔燈籠”數(shù)量的2倍，且購進(jìn)總價(jià)不超過37800元．為回饋新老客戶，網(wǎng)店決定對“玉兔燈籠”降價(jià)10%后再銷售，若一月份購進(jìn)的這兩款產(chǎn)品全部售出，則“玉兔燈籠”購進(jìn)多少個時(shí)該網(wǎng)店當(dāng)月銷售利潤最大？最大利潤為多少？【答案】(1)每個“玉兔燈籠”的售價(jià)為元，每個“玉兔擺件”的售價(jià)為元．(2)“玉兔燈籠”購進(jìn)個，所獲得的利潤最大，最大利潤為元．【詳解】（1）解：設(shè)每個“玉兔燈籠”的售價(jià)為元，每個“玉兔擺件”的售價(jià)為元，則，解得：，答：每個“玉兔燈籠”的售價(jià)為元，每個“玉兔擺件”的售價(jià)為元．（2）設(shè)當(dāng)月銷售利潤為元，“玉兔燈籠”購進(jìn)個，則“玉兔擺件”購進(jìn)個，∴，又∵，解得：，∵，∴隨的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)；∴“玉兔燈籠”購進(jìn)個，所獲得的利潤最大，最大利潤為元．【變式訓(xùn)練1】6月13日是“文化和自然遺產(chǎn)日”，某商店為了抓住此次活動的商機(jī)，決定購買一些紀(jì)念品進(jìn)行銷售，若購進(jìn)A種紀(jì)念品20件，B種紀(jì)念品10件，需要2000元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品8件，B種紀(jì)念品6件，需要1100元．(1)求購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品每件各需多少元？(2)若每件A種紀(jì)念品的售價(jià)為60元，每件B種紀(jì)念品的售價(jià)為180元．考慮到市場需求，商店決定購進(jìn)這兩種紀(jì)念品共300件，要求購進(jìn)B種紀(jì)念品的數(shù)量不少于30件，設(shè)購進(jìn)B種紀(jì)念品m件，總利潤為w元，請寫出總利潤w（元）與m（件）的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)函數(shù)關(guān)系式說明利潤最高時(shí)的進(jìn)貨方案．【答案】(1)A種紀(jì)念品每件價(jià)格為25元，B種紀(jì)念幣每件價(jià)格為150元(2)購進(jìn)A種紀(jì)念品270件，購進(jìn)B種紀(jì)念品30件時(shí)利潤最高，利潤最高為10350元【詳解】（1）解：設(shè)購進(jìn)A種紀(jì)念品每件價(jià)格為x元，B種紀(jì)念幣每件價(jià)格為y元，根據(jù)題意，得，解得，答：A種紀(jì)念品每件價(jià)格為25元，B種紀(jì)念幣每件價(jià)格為150元；（2）解：根據(jù)題意，得，解得，，∵，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值：，（件），故購進(jìn)A種紀(jì)念品270件，購進(jìn)B種紀(jì)念品30件時(shí)利潤最高，利潤最高為10350元．【變式訓(xùn)練2】服裝店經(jīng)銷甲種品牌的服裝，受市場影響，現(xiàn)在每件降價(jià)50元銷售，如果賣相同件數(shù)的服裝，原價(jià)的銷售額為9000元，現(xiàn)價(jià)銷售額為8000元．(1)銷售甲種品牌服裝現(xiàn)價(jià)每件為多少元？(2)服裝店決定增加經(jīng)銷乙種品牌的服裝，已知甲種品牌服裝每件進(jìn)價(jià)為350元，乙種品牌服裝每件進(jìn)價(jià)為300元，服裝店用不多于6600元且不少于6400元的資金購進(jìn)這兩種品牌的服裝共20件．①問有幾種進(jìn)貨方案？②乙種品牌的服裝每件售價(jià)為370元，服裝店決定每售出1件乙種品牌服裝，返還顧客元，要使①所有方案獲利相同，求的值．【答案】(1)400元；(2)①5種；②20【詳解】（1）設(shè)銷售甲種品牌服裝現(xiàn)價(jià)每件為元，依題意得解得：檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以，原分式方程的解為答：銷售甲種品牌服裝現(xiàn)價(jià)每件為400元；（2）①設(shè)購甲種品牌服裝件，則乙種品種服裝件解得：，∵為正整數(shù)，∴8，9，10，11，12，共有5種進(jìn)貨方案，答：共有5種進(jìn)貨方案．②設(shè)總獲利為元，∵要使①中所有方案獲利相同，∴的結(jié)果與無關(guān)，∴，∴．答：的值為20．【變式訓(xùn)練3】某商店欲購進(jìn)甲、乙兩種商品，已知甲的進(jìn)價(jià)是乙的進(jìn)價(jià)的一半，進(jìn)3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙兩種商品的售價(jià)每件分別為80元、130元，該商店決定用不少于6710且不超過6810元購進(jìn)這兩種商品共100件．(1)甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)各是多少？(2)設(shè)其中甲商品的進(jìn)貨件數(shù)為件，商店有幾種進(jìn)貨方案？(3)設(shè)銷售兩種商品的總利潤為元，試寫出利潤與的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明哪一種進(jìn)貨方案可獲得最大利潤，并求出最大利潤是多少？【答案】(1)進(jìn)價(jià)為40元，乙商品的進(jìn)價(jià)為80元(2)有三種進(jìn)貨方案：方案1，甲種商品30件，乙商品70件；方案2，甲種商品31件，乙商品69件；方案3，甲種商品32件，乙商品68件(3)時(shí)，最大，此時(shí)【詳解】（1）解：設(shè)甲商品的進(jìn)價(jià)為元，乙商品的進(jìn)價(jià)為元，由題意得，，解得，答：商品的進(jìn)價(jià)為40元，乙商品的進(jìn)價(jià)為80元；（2）解：設(shè)購進(jìn)甲種商品件，則購進(jìn)乙種商品件，由題意得，，解得：，為整數(shù)，，有三種進(jìn)貨方案：方案1，甲種商品30件，乙商品70件；方案2，甲種商品31件，乙商品69件；方案3，甲種商品32件，乙商品68件；（3）解：設(shè)利潤為元，由題意得，，，隨的增大而減小，時(shí)，最大，此時(shí)．【變式訓(xùn)練4】某商場代銷甲、乙兩種商品，其中甲種商品進(jìn)價(jià)為120元/件，售價(jià)為130元/件，乙種商品進(jìn)價(jià)為100元/件，售價(jià)為150元/件．(1)若商場用39000元購進(jìn)這兩種商品若干，銷售完后可獲利潤9500元，則該商場購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？(2)現(xiàn)商場需購進(jìn)這兩種商品共200件，設(shè)購進(jìn)甲種商品件，兩種商品銷售完后可獲總利潤為元，如果購進(jìn)甲種商品的數(shù)量至少100件，求銷售完這批商品獲得的最大利潤．【答案】(1)甲種商品200件，乙種商品150件(2)6000元【詳解】（1）解：設(shè)購進(jìn)甲種商品件，乙種商品件，由題意，得，解得：，答：該商場購進(jìn)甲種商品200件，乙種商品150件．（2）已知購進(jìn)甲種商品件，則購進(jìn)乙種商品件，根據(jù)題意，得，，隨的增大而減?。?dāng)購進(jìn)甲種商品的件數(shù)為100件時(shí)利潤最大，最大利潤元．類型三、幾何問題例．A、B兩地相距260km，甲、乙兩車從A地駛向B地，并以各自的速度勻速行駛，甲車比乙車早行駛2h，并且甲車途中休息了h，甲車休息前后速度一樣，如圖是甲、乙兩車行駛的路程與甲車的行駛時(shí)間的函數(shù)圖象．(1)直接寫出和的值；(2)甲車從A地到B地共用多少小時(shí)？(3)乙車出發(fā)后，當(dāng)兩車相距50km時(shí)，乙車行駛了多長的時(shí)間？【答案】(1)，(2)7小時(shí)(3)小時(shí)或小時(shí)【詳解】（1）解：由題意，得．，．∴，；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，由題意，得，解得：，，當(dāng)時(shí)，甲車與之間的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，解得：，甲車共行駛時(shí)間是7小時(shí)；（3）設(shè)乙車行駛的路程與時(shí)間之間的解析式為，由題意，得，解得：，．當(dāng)時(shí)，解得：．當(dāng)時(shí)，解得：，，，答：乙車行駛小時(shí)或小時(shí)，兩車恰好相距．【變式訓(xùn)練1】如圖中的圖像（折線）描述了一汽車在某一直線的行駛過程中，汽車離出發(fā)地的距離（千米）和行駛時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，填空：(1)汽車共行駛了___________千米；(2)汽車在行駛途中停留了___________小時(shí)；(3)汽車自出發(fā)后4點(diǎn)到小時(shí)之間行駛的速度是___________千米/小時(shí)；求出此時(shí)汽車離出發(fā)地的距離（千米）和行駛時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出解題過程）【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：由，可得：汽車共行駛了（千米）；（2）由，可得：汽車在行駛途中停留了（小時(shí)）；（3）由，可得：行駛速度為每小時(shí)：（千米）；設(shè)，∴，解得：，∴．【變式訓(xùn)練2】如圖1，是一段遙控車直線雙車道跑道．甲、乙兩遙控車分別從A，B兩處同時(shí)出發(fā)，沿軌道向C勻速行駛，7秒后甲車先到達(dá)C點(diǎn)．設(shè)兩車行駛時(shí)間為（秒），兩車之間的距離為（米），則與的關(guān)系如圖2所示，根據(jù)圖象解決下列問題：(1)甲車經(jīng)過______秒追上乙車，______．(2)設(shè)相遇前兩車之間的距離為，直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式：______；設(shè)相遇后兩車之間的距離為，直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式：______．(3)兩遙控車出發(fā)后多長時(shí)間，它們之間的距離為4米?【答案】(1)3；8(2)；(3)5秒．【詳解】（1）由圖2得3秒時(shí)，兩車之間的距離為0，速度差為設(shè)乙速度為xm/s,則甲速度為x+2m/s由題得，所以7秒后，甲行駛了28m，乙行駛了14m，再加上一開始相距的6m，．（2）設(shè)，把帶入得∴