【常考?jí)狠S題】2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題攻略（人教版）勾股定理應(yīng)用的四種考法全攻略（解析版）

勾股定理應(yīng)用的四考法全攻略類(lèi)型一、最短距離問(wèn)題例1．空心玻璃圓柱的底面圓的周長(zhǎng)是，高是5，內(nèi)底面的點(diǎn)A有一只飛蟲(chóng)，要吃到B點(diǎn)的食物，最短路徑的長(zhǎng)是（

）A．6 B．7 C．13 D．10【答案】C【詳解】如圖所示，連接，∵空心玻璃圓柱的底面圓的周長(zhǎng)是，∴，解得，∵，高是5，∴．∴最短路徑的長(zhǎng)是13．故選：C．例2．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短路程是______．【答案】【詳解】解：把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖1：∵長(zhǎng)方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，∴A；把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖2：長(zhǎng)方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，；把長(zhǎng)方體的上表面剪開(kāi)與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖3：長(zhǎng)方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，；，螞蟻爬行的最短距離是．故答案為：．【變式訓(xùn)練1】在一個(gè)長(zhǎng)為米,寬為米的長(zhǎng)方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長(zhǎng)平行且大于場(chǎng)地寬，木塊的主視圖是邊長(zhǎng)為1米的正三角形，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是______米．【答案】【詳解】解：如圖，將木塊展開(kāi)，相當(dāng)于長(zhǎng)方形草地的長(zhǎng)多了正三角形的一個(gè)邊長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為米，長(zhǎng)方形的寬為3米，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是對(duì)角線，米，故答案為．【變式訓(xùn)練2】如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，則它爬行的最短距離為_(kāi)____．【答案】13m【詳解】解：如圖所示，臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，，，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．由勾股定理得：，即，，故答案為：m．【變式訓(xùn)練3】棱長(zhǎng)分別為兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)P在上，且，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P，需要爬行的最短距離是______．【答案】cm．【詳解】解：如圖，有兩種展開(kāi)方法：方法一∶，方法二∶．故需要爬行的最短距離是cm．故答案為：cm．【變式訓(xùn)練4】如圖，長(zhǎng)方體中，P為中點(diǎn)，在P處有一滴蜂蜜，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面到點(diǎn)P處吃蜂蜜，那么它爬行的最短路程是________________．【答案】【詳解】解：如圖1，如圖2．【變式訓(xùn)練5】如圖，教室的墻面與地面垂直，點(diǎn)在墻面上．若米，點(diǎn)到的距離是6米，有一只螞蟻要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它的最短行程是________米．【答案】【詳解】解：如圖，將教室的墻面與地面展成一個(gè)平面，過(guò)P作于G，連接，∵米，米，∴(米)，∴米，∴（米）．故這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是米．故答案為：．類(lèi)型二、水杯中的筷子問(wèn)題例．如圖，將一根長(zhǎng)30cm的筷子，置于底面直徑為10cm，高24cm的裝滿(mǎn)水的無(wú)蓋圓柱形水杯中，設(shè)筷子浸沒(méi)在杯子里面的長(zhǎng)度為hcm，則h的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子浸沒(méi)在杯子里面的長(zhǎng)度最短，∴h＝BD＝24（cm）；當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子浸沒(méi)在杯子里面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，在Rt△ABD中，AD＝10cm，BD＝24cm，∴AB＝（cm），所以h的取值范圍是：24cm≤h≤26cm．故選：C．【變式訓(xùn)練1】如圖，玻璃杯的底面半徑為3cm，高為8cm，有一只長(zhǎng)12cm的吸管任意斜放于杯中，則吸管露出杯口外的長(zhǎng)度至少為（

）cmA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解：如圖：玻璃杯的底面半徑為3cm，高為8cm，∵CD＝6，AD＝8，∴BD＝cm，露出杯口外的長(zhǎng)度為＝12?10＝2cm，故選：B．【變式訓(xùn)練2】如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，求水的深度是（）尺A．8 B．10 C．13 D．12【答案】D【詳解】解：設(shè)蘆葦?shù)拈L(zhǎng)為x尺，即BC=x尺，則AB=（x-1）尺，AC=5尺由題意可得：，∴，解得，∴尺故選D.【變式訓(xùn)練3】如圖，八年級(jí)一班的同學(xué)準(zhǔn)備測(cè)量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿豎直插到水底，此時(shí)竹竿離岸邊點(diǎn)C處的距離米．竹竿高出水面的部分長(zhǎng)0.2米，如果把竹竿的頂端A拉向岸邊點(diǎn)C處，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度為（）A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米【答案】A【詳解】解：設(shè)BD的長(zhǎng)度為xm，則AB=BC=（x+0.2）m，在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，解得x=1.5．故選：A．【變式訓(xùn)練4】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲?，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈10尺）其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端B恰好到達(dá)池邊的水面D處，問(wèn)水的深度是多少？【答案】12尺【詳解】解：設(shè)水深為h尺，則蘆葦長(zhǎng)為(h+1)尺，根據(jù)勾股定理列方程，解出h即可．設(shè)水深為h尺，則蘆葦長(zhǎng)為(h+1)尺，根據(jù)勾股定理，得(h+1)2-h2=52解得h=12，∴水深為12尺，故答案是：12尺．類(lèi)型三、臺(tái)風(fēng)影響問(wèn)題例．如圖，公路和公路在點(diǎn)處交匯，且，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，．假設(shè)汽車(chē)行駛時(shí)，周?chē)詢(xún)?nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么汽車(chē)在公路上沿方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由．如果受影響，已知汽車(chē)的速度為，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？【答案】學(xué)校會(huì)受到噪聲影響；理由見(jiàn)解析；學(xué)校受影響的時(shí)間為8秒【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)B，∵，，∴，∵，∴學(xué)校會(huì)受到噪音的影響；設(shè)從點(diǎn)E開(kāi)始學(xué)校學(xué)到影響，點(diǎn)F結(jié)束，則，∵，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∵汽車(chē)的速度為，∴受影響的時(shí)間為：．【變式訓(xùn)練2】臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)鷶?shù)十千米的范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市的正南方向的處有一臺(tái)風(fēng)中心，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)在正以的速度沿北偏東方向移動(dòng)，若在距離臺(tái)風(fēng)中心范圍內(nèi)都要受到影響．（結(jié)果精確到）（）(1)該城市是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？說(shuō)明理由．(2)若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】(1)該城市會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響，理由見(jiàn)解析(2)臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有小時(shí)【詳解】（1）解：該城市會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響．理由是：如圖，過(guò)A作于．在直角中，，，，，該城市會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響；（2）如圖以A為圓心，為半徑作交于、．則．臺(tái)風(fēng)影響該市持續(xù)的路程為：．臺(tái)風(fēng)影響該市的持續(xù)時(shí)間（小時(shí)），臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有小時(shí)．【變式訓(xùn)練3】如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)處，并沿東北方向（北偏東），以千米/小時(shí)的速度勻速移動(dòng)，在距離臺(tái)風(fēng)中心千米的區(qū)域內(nèi)會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，在點(diǎn)的北偏東方向，距離千米的地方有一城市，問(wèn)：市是否會(huì)受到此臺(tái)風(fēng)的影響？若受到影響，請(qǐng)求出受到影響的時(shí)間；若不受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】會(huì)受到影響，受到影響時(shí)間約為小時(shí)【詳解】解：會(huì)受到影響，影響時(shí)間約為小時(shí)．理由如下：由題意得，，，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∵，∴會(huì)受到影響，如圖，，由題意知，臺(tái)風(fēng)從點(diǎn)開(kāi)始影響城市到點(diǎn)影響結(jié)束，∵，∴，∴，∵風(fēng)速為，∴（小時(shí)），∴影響時(shí)間約為小時(shí)．【變式訓(xùn)練4】今年9月，第十五號(hào)臺(tái)風(fēng)登陸廣東，A市接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心位于A市正南方向125km的B處，正以15km/h的速度沿方向移動(dòng)，已知A市到的距離．(1)臺(tái)風(fēng)中心從B點(diǎn)移到D點(diǎn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？(2)如果在距臺(tái)風(fēng)中心40km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺(tái)風(fēng)影響，那么A市受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是多長(zhǎng)？【答案】(1)臺(tái)風(fēng)中心從B點(diǎn)移到D點(diǎn)需要8小時(shí)；(2)A市受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為小時(shí)．【詳解】（1）解：由題意得，在中，，∴，∴時(shí)間為小時(shí)，即臺(tái)風(fēng)中心從B點(diǎn)移到D點(diǎn)需要8小時(shí)；（2）解：以A為圓心，以40km為半徑畫(huà)弧，交于P、Q，則A市在P點(diǎn)開(kāi)始受到影響，Q點(diǎn)恰好不受影響（如圖），由題意，，在中，，∵，∴，∴，時(shí)間為(小時(shí))．即A市受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為小時(shí)．類(lèi)型四、汽車(chē)超速問(wèn)題例．如圖，，是兩條公路相交成，沿公路方向離點(diǎn)米的點(diǎn)A處有一所學(xué)校，當(dāng)重型運(yùn)輸卡車(chē)沿道路方向行駛時(shí)，在以重型運(yùn)輸卡車(chē)所在的點(diǎn)P為圓心、長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到卡車(chē)噪聲的影響，且點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離越近噪聲影響越大．假設(shè)重型運(yùn)輸卡車(chē)沿著道路方向行駛的速度為18千米/小時(shí)．(1)求對(duì)學(xué)校的噪聲影響最大時(shí)，卡車(chē)與學(xué)校之間的距離（保留根號(hào)）；(直角三角形中銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)．(2)求卡車(chē)沿道路方向行駛一次給學(xué)校帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間．【答案】(1)40米(2)卡車(chē)沿道路方向行駛一次給學(xué)校帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間為12秒【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作于H，∵，米，∴米，∴對(duì)學(xué)校的噪聲影響最大時(shí)，卡車(chē)與學(xué)校之間的距離為40米；（2）解：如圖，當(dāng)米時(shí)，則卡車(chē)在CD段對(duì)學(xué)校A有影響，由（1）知米，∴（米），∵，∴（米），∵重型運(yùn)輸卡車(chē)行駛的速度為18千米/小時(shí)，即米/秒，∴（秒），∴卡車(chē)沿道路方向行駛一次給學(xué)校帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間為12秒．【變式訓(xùn)練1】“某市道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車(chē)在城市道路上行駛速度不得超過(guò)60千米時(shí)，如圖，一輛小汽車(chē)在一條城市道路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面對(duì)車(chē)速檢測(cè)儀正前方24米的處，過(guò)了1.5秒后到達(dá)處（），測(cè)得小汽車(chē)與車(chē)速檢測(cè)儀間的距離為40米，判斷這輛小汽車(chē)是否超速？若超速，則超速了多少？若沒(méi)有超速，說(shuō)明理由．【答案】超速，超速千米時(shí)【詳解】解：小汽車(chē)已超速，理由如下：根據(jù)題意得：米，米，，在中，根據(jù)勾股定理得：（米），小汽車(chē)1.5秒行駛32米，小汽車(chē)行駛速度為76.8千米時(shí)，，小汽車(chē)已超速，超速（千米時(shí)）．【變式訓(xùn)練2】超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同學(xué)在幸福大道段，嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車(chē)速，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到公路l的距離為的P處．這時(shí)，一輛紅旗轎車(chē)由西向東勻速駛來(lái)，測(cè)得此車(chē)從A處行駛到B處所用的時(shí)間為，并測(cè)得，，(1)求AP的長(zhǎng)？(2)試判斷此車(chē)是否超過(guò)了/的限制速度？（）【答案】(1)AP的長(zhǎng)為200m(2)此車(chē)超過(guò)了80/的限制速度【詳解】（1）解：，；（2）解：在中，，

，在中，，∴，∴，，∴此車(chē)超過(guò)的限制速度．【變式訓(xùn)練3】如圖，公路AB和公路CD在點(diǎn)P處交匯，點(diǎn)E處有一所學(xué)校，EP＝160米，點(diǎn)E到公路AB的距高EF＝80米，假若拖拉機(jī)行駛時(shí)，周?chē)?00米內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路AB上沿方向行駛時(shí)，學(xué)校是否受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？【答案】0.4分鐘【詳解】：∵EF=80＜100，∴學(xué)校是否受到影響，設(shè)拖拉機(jī)在公路AB上行駛時(shí)，從點(diǎn)M到點(diǎn)N學(xué)校受到影響，在Rt△MEF中，∵EM=100，EF=80，∴MF==60，∴MN=2MP=120，∵拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，∴=0.4（分鐘），答：學(xué)校受到影響的時(shí)間為0.4分鐘．【變式訓(xùn)練4】根據(jù)道路交通管理?xiàng)l例的規(guī)定，在某段筆直的公路l上行駛的車(chē)輛，限速60千米/時(shí)．已知測(cè)速點(diǎn)M到測(cè)速區(qū)間的端點(diǎn)A，B的距離分別為50米、34米，M距公路l的距離（即MN的長(zhǎng)）為30米．現(xiàn)測(cè)得一輛汽車(chē)從A到B所用的時(shí)間為5秒，通過(guò)計(jì)算判