微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分課件

第三章導(dǎo)數(shù)與微分§3.1導(dǎo)數(shù)的概念§3.2導(dǎo)數(shù)基本公式和求導(dǎo)運(yùn)算法則§3.3鏈法則與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)§3.4高階導(dǎo)數(shù)§3.5微分§3.6邊際與彈性第三章導(dǎo)數(shù)與微分§3.1導(dǎo)數(shù)的概念§3.2導(dǎo)數(shù)基本公1§3.1導(dǎo)數(shù)的概念引例1、變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度一、引例§3.1導(dǎo)數(shù)的概念引例1、變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度一、引例2（1）當(dāng)物體作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)（2）當(dāng)物體作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)（1）當(dāng)物體作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)（2）當(dāng)物體作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)3引例2——平面曲線的切線斜率在點(diǎn)求曲線L：處切線的斜率.割線MN切線MT引例2——平面曲線的切線斜率在點(diǎn)求曲線L：處切線的斜4割線

MN的斜率為：當(dāng)

x

0時(shí)

動(dòng)點(diǎn)N將沿曲線趨向于定點(diǎn)M

從而割線MN也將隨之變動(dòng)而趨向于切線MT

即割線MN的極限位置就是曲線L在點(diǎn)M處的切線MT.當(dāng)時(shí),切線MT

的斜率為：割線MN的斜率為：當(dāng)x0時(shí)動(dòng)點(diǎn)N將沿曲線趨向5二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義6微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件7微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件8微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件9注意注意10微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件11三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義12微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件13四、左、右導(dǎo)數(shù)四、左、右導(dǎo)數(shù)14微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件15例3.討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性.解所以,函數(shù)在處不可導(dǎo).xyo思考例3.討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性.解所以,函數(shù)在處不可導(dǎo).xyo16五、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系事實(shí)上,因在處可導(dǎo),即定理所以,函數(shù)在處連續(xù).五、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系事實(shí)上,因在處可導(dǎo),即定理所以,函17問題：連續(xù)是否一定可導(dǎo)？結(jié)論函數(shù)在其可導(dǎo)的點(diǎn)處一定連續(xù)函數(shù)在其連續(xù)的點(diǎn)處不一定可導(dǎo)函數(shù)在其不連續(xù)的點(diǎn)處一定不可導(dǎo)問題：連續(xù)是否一定可導(dǎo)？結(jié)論函數(shù)在其可導(dǎo)的點(diǎn)處一定連續(xù)函數(shù)在18注意（1）曲線處是尖點(diǎn)

在點(diǎn)（2）曲線在點(diǎn)在點(diǎn)（3）曲線間斷

處有

垂直切線

處

注意（1）曲線處是尖點(diǎn)在點(diǎn)（2）曲線在點(diǎn)在點(diǎn)（3）曲線間19P89:T8；P106：T1(1)；T2；T5.作業(yè)先看書再做練習(xí)P89:T8；作業(yè)先看書20

因?yàn)樘幒瘮?shù)無定義，所以該點(diǎn)處函數(shù)間斷

第二類無窮間斷點(diǎn).

所以是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)，作業(yè)講評(píng)P88.5(2)因?yàn)樘幒瘮?shù)無定義，所以該點(diǎn)處函數(shù)間斷第二類無窮間斷點(diǎn).21P89.6.(5).解法1：

解法2：原式=P89.6.(5).解法1：解法2：原式=22解法3：而解法4：解法3：而解法4：23解法1：而

解法2：P89.6.解法1：而解法2：P89.6.24

25六、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限例4：

解六、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限例4：解26微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件27練一練解答練一練解28注意分段函數(shù)分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)必須用定義求例5：

設(shè)函數(shù)解因?yàn)樽⒁夥侄魏瘮?shù)分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)必須用定義求例5：設(shè)函數(shù)解因?yàn)?9例6：

解例6：解30微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件31方法一：例7：解方法一：例7：解32微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件33方法二：方法二：34微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件35例10:解:例10:解:36§3.2求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)運(yùn)算法則一、求導(dǎo)基本公式例1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解§3.2求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)運(yùn)算法則一、求導(dǎo)基本公式例1.37例2.求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例2.求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解38例3.設(shè)求解特別地:例3.設(shè)求解特別地:39例4.設(shè)求解正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù).類似得,余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負(fù)的正弦函數(shù).例4.設(shè)求解正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù).類似得,余弦函數(shù)的40二、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則二、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則41微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件42微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件43證畢.證畢.44例5.

解例5.解45解:例6

解:例646常用公式：例7.

解常用公式：例7.解47練一練解答練一練解48P117:T5(6),(9);T6(2);T8.作業(yè)先看書再做練習(xí)P117:T5(6),(9);作業(yè)先看書49三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則50微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件51解:例8.

解:例8.52解例6.

解例6.53四、導(dǎo)數(shù)的基本公式四、導(dǎo)數(shù)的基本公式54微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件55微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件56§3.3鏈法則與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈法則）猜想§3.3鏈法則與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈法則）57微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件58微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件59微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件60解:例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)61更簡(jiǎn)明的過程更簡(jiǎn)明的過程62注意注意63解例2更簡(jiǎn)明的過程解例2更簡(jiǎn)明的過程64解例3更簡(jiǎn)明的過程解例3更簡(jiǎn)明的過程65微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件66例4

解或例4解或67復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多重復(fù)合的情形.設(shè)則或復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多重復(fù)合的情形.設(shè)則或68例5求解例5求解69更簡(jiǎn)明的過程更簡(jiǎn)明的過程70這里求y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)是從外向里經(jīng)過

每個(gè)中間在熟悉了法則之后,運(yùn)算就不必寫出中間變量,變量的導(dǎo)數(shù)最后導(dǎo)到x上.因此對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)搞清楚復(fù)合層次后,只要從外層向里層逐層求導(dǎo)即可.這里求y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)是從外向里經(jīng)過每個(gè)中間在熟悉了法則之后,71例6求解例6求解72易犯的錯(cuò)誤易犯的錯(cuò)誤73

例7例774例8求解例8求解75例9解例9解76例10解例10解77小結(jié)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)首先必須搞清函數(shù)是怎樣復(fù)合的.求導(dǎo)時(shí)由外到里逐層求導(dǎo).注意:一定要到底,不要遺漏,不要重復(fù).小結(jié)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)首先必須搞清函數(shù)是怎樣復(fù)合的.求導(dǎo)時(shí)由外到里78例11

例12

例11例1279練一練練一練80解答解81P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).作業(yè)先看書再做練習(xí)P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).82微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件83形如，的函數(shù)稱為顯函數(shù).若與的函數(shù)關(guān)系由方程所確定,稱這類函數(shù)為隱函數(shù).二、隱函數(shù)求導(dǎo)法又如，形如，的函數(shù)稱為顯函數(shù).若與的函數(shù)關(guān)系由方程所確定,稱這類函84解例12解例1285解例13

解例1386解例14解例1487小結(jié)

方程兩邊對(duì)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法:視為的函數(shù)由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,的方程,解出即可.得到關(guān)于注意:結(jié)果中既含也含.小結(jié)方程兩邊對(duì)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法:視為的函數(shù)由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法88練一練解答解練一練解解89三、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法兩類函數(shù)有簡(jiǎn)便求先給這些函數(shù)取對(duì)數(shù),然后再求導(dǎo)就可使求導(dǎo)運(yùn)算簡(jiǎn)便多了,這種先取對(duì)數(shù)然后再求導(dǎo)的方法就叫對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.三、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法兩類函數(shù)有簡(jiǎn)便求先給這些函數(shù)取對(duì)數(shù),然后再求導(dǎo)90解例15

解例1591例16

求的導(dǎo)數(shù).解解法1

兩邊取對(duì)數(shù),化為兩邊對(duì)x求導(dǎo)例16求的導(dǎo)數(shù).解解法1兩邊取對(duì)數(shù),化為92解法2

將函數(shù)化為復(fù)合函數(shù)解法2將函數(shù)化為復(fù)合函數(shù)93微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件94微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件95微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件96微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件97微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件98微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件99例21例211002).兩邊對(duì)求導(dǎo);3).兩邊同乘以得4).將結(jié)果表示為的顯函數(shù).小結(jié)

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

常用于多因子乘冪求導(dǎo)，或冪指函數(shù)求導(dǎo).對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的步驟:1).函數(shù)式兩邊取自然對(duì)數(shù);2).兩邊對(duì)求導(dǎo);3).兩邊同乘以得4).將結(jié)果表示為的顯函101四、分段函數(shù)求導(dǎo)法解:四、分段函數(shù)求導(dǎo)法解:102微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件103易犯的錯(cuò)誤易犯的錯(cuò)誤104微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件105練一練解答解練一練解解106

P128T4(4)；T5；T6(1),(2).作業(yè)先看書再做練習(xí)P128T4(4)；T5；作業(yè)先看書107§3.4高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)記作：或即類似地

二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做的三階導(dǎo)數(shù)，記作：或§3.4高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)記作：或即類似地二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)108三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，記作：或階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做階導(dǎo)數(shù)，記作：或函數(shù)有階導(dǎo)數(shù)，也說函數(shù)為階可導(dǎo).二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù),三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，記作：或階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做109

例1

y=(1+x2)arctanx

求y

解

例2

證明

所以y3y

1例1y=(1+x2)arctanx110二、隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)例3

解

二、隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)例3解111

解：方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)上式兩邊同時(shí)再對(duì)x求導(dǎo)例4解：方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)上式兩邊112三、幾個(gè)初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)

解

類似地有三、幾個(gè)初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)解類似地有113微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件114微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件115

得到

得到116微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件117微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件118由上面各階導(dǎo)數(shù)可以得到由上面各階導(dǎo)數(shù)可以得到119±四、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式函數(shù)和差的n階導(dǎo)數(shù)

(u

v)(n)

u(n)

v(n)函數(shù)積的n階導(dǎo)數(shù)

這一公式稱為萊布尼茨（Leibniz)公式

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：±四、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式函數(shù)和差的n階導(dǎo)數(shù)(uv120上面這些導(dǎo)數(shù)外表和二項(xiàng)展開式很相似，如果設(shè)上面這些導(dǎo)數(shù)外表和二項(xiàng)展開式很相似，如果121微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件122小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的求法(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)間接法——利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式如,(4)利用萊布尼茲公式小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的求法(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)123練一練練一練124解答解125微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件126

例

例127作業(yè)先看書再做練習(xí)

P133:T1(4),(8);T4(2),(3);T7.作業(yè)先看書P133:T1(4),(8);T4(2),(3128§3.5微分一、微分的概念

問此薄片面積改變了多少?變到長由引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊設(shè)薄片邊長為x,面積為S,則當(dāng)x

在取得增量時(shí),面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小量時(shí)為故稱為面積函數(shù)在的微分§3.5微分一、微分的概念問此薄片面積改變了多少?變129定義:定義:130證(必要性)證(必要性)131(充分性)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),即與無關(guān),所以函數(shù)在點(diǎn)處可微.且(充分性)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),即與無關(guān),所以函數(shù)在點(diǎn)處可微.且132函數(shù)y

f(x)在任意點(diǎn)x的微分

稱為函數(shù)的微分

記作dy或df(x)

即dy

f

(x)Dx

例如

dcosx

(cosx)

Dx

sinx

Dx

dex

(e

x)

Dx

exDx

函數(shù)yf(x)在任意點(diǎn)x的微分133因?yàn)楫?dāng)y=x時(shí)

dy=dx=(x)

Dx=Dx

所以通常把自變量x的增量Dx稱為自變量的微分

記作dx

即

dx

Dx因此

函數(shù)y

f(x)的微分又可記作于是有可微與可導(dǎo)的關(guān)系函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)

函數(shù)在點(diǎn)x0的微分為因?yàn)楫?dāng)y=x時(shí)因此134切線縱坐標(biāo)的增量微分的幾何意義切線縱坐標(biāo)的增量微分的幾何意義135增量與微分的關(guān)系由微分定義知,當(dāng)時(shí),因此,當(dāng)很小時(shí),有近似等式:例如求在解：增量與微分的關(guān)系由微分定義知,當(dāng)時(shí),因此,當(dāng)很小時(shí),有近似等136二、基本微分公式與微分法則根據(jù)可得基本初等函數(shù)的微分公式：二、基本微分公式與微分法則根據(jù)可得基本初等函數(shù)的微分公式：137例1.在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意:數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.例1.在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:上述微138

微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變性5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)由此可見

無論u是自變量還是中間變量

微分形式dy

f

(u)du保持不變

微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(139微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件140例4若方程xy=cosy-x2確定y=f（x）解一：兩邊對(duì)x求導(dǎo)解二：兩邊同時(shí)微分例4若方程xy=cosy-x2確定y=f（x）141微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件142微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件143解：兩邊同時(shí)微分例8若方程（arcsinx）lny-e2x+tany=0確定y=f（x），求解：兩邊同時(shí)微分例8若方程（arcsinx）lny144例9

設(shè)解：例9設(shè)解：145例10解：例10解：146練一練

解答

解

練一練解解147三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用由微分定義知,當(dāng)時(shí),因此,當(dāng)很小時(shí),有近似公式:(1)即(2)(3)三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用由微分定義知,當(dāng)時(shí),因此,當(dāng)很小時(shí)148在(2)式中令當(dāng)很小時(shí),(4)在(2)式中令當(dāng)很小時(shí),(4)149微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件150

例13

計(jì)算sin30

30

的近似值

解

有sin(x0

Dx)

sinx0

cosx0Dxsin30

30

即sin30

30

0

5076

例13計(jì)算sin3030的近似值151微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件152

說明：曲線在切點(diǎn)附近可用其切線來近似代替該曲線.且離切點(diǎn)越近近似程度越好.

說明：曲線在切點(diǎn)附近可用其切線來近似代替該曲線.且離153近似公式表示曲線附近可用切線.在切點(diǎn)近似曲線，且離切點(diǎn)越近近似程度越好.近似公式表示曲線附近可用切線.在切點(diǎn)近似曲線，且離切點(diǎn)越近近154練一練解答練一練解155類似可證,當(dāng)很小時(shí),有近似公式:類似可證,當(dāng)很小時(shí),有近似公式:156

如

解如解157作業(yè)先看書再做練習(xí)

P142:T6(4),(6),(9);T7(2).作業(yè)先看書P142:T6(4),(6),(9);T7(2)158例11解例11解159習(xí)題講評(píng)P134,4（2）解方法1習(xí)題講評(píng)P134,4（2）解方法1160方法2方法2161§3.6邊際與彈性一、邊際的概念§3.6邊際與彈性一、邊際的概念162微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件163微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件164微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件165微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件166微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件167微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件168微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件169