(完整版)函數(shù)奇偶性的歸納總結(jié)

(完整版)函數(shù)奇偶性的歸納總結(jié)函數(shù)的奇偶性是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與在相對(duì)稱的點(diǎn)的函數(shù)值是否相等或相反。具體地說，如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就是偶函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就是奇函數(shù)。需要注意的是，奇偶性是針對(duì)整個(gè)定義域而言的，而單調(diào)性是針對(duì)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的。根據(jù)奇偶性的定義，函數(shù)可以分為四類：奇函數(shù)非偶函數(shù)、偶函數(shù)非奇函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、亦奇亦偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，而偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。常用的結(jié)論是，若f(x)是奇函數(shù)，且x在0處有定義，則f(0)=0。另外，奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同，最值相反；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反，最值相同。任意定義在R上的函數(shù)f(x)都可以唯一地表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和。因此，掌握函數(shù)的奇偶性的類型和方法，以及函數(shù)的奇偶性應(yīng)用的類型和方法，對(duì)于理解和分析各種函數(shù)具有重要意義。同時(shí)，也需要培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納的能力，以及勇于探索創(chuàng)新的精神。當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)。因此，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有f(-x)=-f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。【例4】已知函數(shù)f(x)(x∈R且x≠0)，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x1,x2，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，判斷函數(shù)f(x)(x∈R且x≠0)的奇偶性。當(dāng)x1=x2=1時(shí)，f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0；當(dāng)x1=x2=-1時(shí)，f(1)=f(-1)+f(-1)，即2f(-1)=f(1)，因此f(-1)=-f(1)=0。取x1=-1,x2=x，則f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)，因此函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。【例5】已知函數(shù)f(x)=(ax2+1)/(bx+c)是奇函數(shù)，且f(1)=2，f(2)<3，求a,b,c的值。由f(-x)=-f(x)得到-bx+c=-(-bx+c)，即c=0。又f(1)=2，得到a+1=2b，又f(2)<3，即4a+1<6b，代入a+1=2b中解得-1<a<2。由于a∈Z，所以a=1或a=-1。若a=1，則b=1，若a=-1，則b=-1，因?yàn)閎∈Z，所以只有a=1，b=1，c=0滿足條件。【例6】若f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f(x)=x-1，求f(x-1)<0的解集。由于f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，即當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，f(x)=(-x)-1。因此，當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，f(x-1)=x-2，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f(x-1)=(x-2)-1=2-x。因此，f(x-1)<0的解集為{x|-1<x<2}。已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)=－xlg(2－x)，求f(x)。解：先設(shè)x＞0，求f(x)的表達(dá)式，再合并。當(dāng)x＞0時(shí)，由于f(x)為奇函數(shù)，所以有：f(-x)=-f(x)代入f(x)的表達(dá)式中得：-f(x)=-(-x)lg(2+x)即：f(x)=xlg(2+x)當(dāng)x＜0時(shí)，同樣由于f(x)為奇函數(shù)，所以有：f(-x)=-f(x)代入f(x)的表達(dá)式中得：-f(x)=-(-x)lg(2-x)即：f(x)=-xlg(2-x)綜上所述，f(x)的表達(dá)式為：f(x)={-xlg(2-x)(x<0)xlg(2+x)(x≥0)}說明：修改了段落的排版，同時(shí)對(duì)于解題過程進(jìn)行了補(bǔ)充和說明。1/2(ex-e^-x)，f(x)=ex，所以F(x)=af(x)+bg(x)+2=aex+beg(x)+2。由于f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，所以beg(x)是偶函數(shù)，F(xiàn)(x)也是奇函數(shù)。所以F(x)在區(qū)間(-∞,0)上的最小值等于-F(0)。又F(x)在區(qū)間(0,+∞)上的最大值為5，所以F(0)=5，F(xiàn)(x)在區(qū)間(-∞,0)上的最小值為-5。13.由于f(x)是奇函數(shù)，所以f(2+a)+f(1-2a)=2f(2-a)。又f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增，所以2-a>0，即a<2。又因?yàn)閒(2+a)+f(1-2a)>0，所以f(2-a)>0，即2-a>0，即a<2。綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<2。證明：假設(shè)存在某個(gè)x使得f(x)不是偶函數(shù)，則存在y使得f(y)≠f(-y)，令x=y，則有f(x)+f(-x)=2f(0)≠2f(x)，與偶函數(shù)的定義矛盾，因此f(x)必定是偶函數(shù)。通過賦值法，我們可以得到f(0)=1。解：根據(jù)函數(shù)f(x)和g(x)的性質(zhì)，我們可以得到f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)。將此代入題目中的方程組，可以得到f(x)=9x/(9-x^2)，g(x)=3/(9-x^2)。需要注意的是，由于分母不能為0，所以x不能等于±3。分析：題目中的函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，因此g(-2)=g(2)，從而可以得到f(2)。對(duì)于其他題目，也可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性質(zhì)來進(jìn)行推導(dǎo)。解：設(shè)h(x)=af(x)+bg(x)，則h(x)是奇函數(shù)。由于F(x)在區(qū)間(0,∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)=F(x)-2在該區(qū)間上的取值范圍為(-∞,3]。又因?yàn)閔(x)是奇函數(shù)，所以h(x)在區(qū)間(-∞,0)上的最小值為-h(0)=2。因此F(x)在區(qū)間(-∞,0)上的最小值為-1