控制系統(tǒng)的數學描述與建模

控制系統(tǒng)的數學描述與建模MATLAB技術應用控制系統(tǒng)的數學描述與建?？刂葡到y(tǒng)的數學模型在控制系統(tǒng)的研究中有著相當重要的地位，要對系統(tǒng)進行仿真處理，首先應當知道系統(tǒng)的數學模型，然后才可以對系統(tǒng)進行模擬。同樣，如果知道了系統(tǒng)的模型，才可以在此基礎上設計一個合適的控制器，使得系統(tǒng)響應達到預期的效果，從而符合工程實際的需要。在線性系統(tǒng)理論中，一般常用的數學模型形式有：傳遞函數模型（系統(tǒng)的外部模型）、狀態(tài)方程模型（系統(tǒng)的內部模型）、零極點增益模型和部分分式模型等。這些模型之間都有著內在的聯(lián)系，可以相互進行轉換。系統(tǒng)的分類按系統(tǒng)性能分：線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)；連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)；定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)；確定系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)。線性連續(xù)系統(tǒng)：用線性微分方程式來描述，如果微分方程的系數為常數，則為定常系統(tǒng)；如果系數隨時間而變化，則為時變系統(tǒng)。今后我們所討論的系統(tǒng)主要以線性定常連續(xù)系統(tǒng)為主。線性定常離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)指系統(tǒng)的某處或多處的信號為脈沖序列或數碼形式。這類系統(tǒng)用差分方程來描述。非線性系統(tǒng)：系統(tǒng)中有一個元部件的輸入輸出特性為非線性的系統(tǒng)。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程模型微分方程是控制系統(tǒng)模型的基礎，一般來講，利用機械學、電學、力學等物理規(guī)律，便可以得到控制系統(tǒng)的動態(tài)方程，這些方程對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)而言是一種常系數的線性微分方程。如果已知輸入量及變量的初始條件，對微分方程進行求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達式，并由此對系統(tǒng)進行性能分析。通過拉氏變換和反變換，可以得到線性定常系統(tǒng)的解析解，這種方法通常只適用于常系數的線性微分方程，解析解是精確的，然而通常尋找解析解是困難的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的數值解法函數，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，也適用于非線性及時變系統(tǒng)。電路圖如圖，R=1.4歐，L=2亨，C=0.32法，初始狀態(tài)：電感電流為零，電容電壓為0.5V，t=0時刻接入1V的電壓，求0<t<15s時，i(t)，vo(t)的值，并且畫出電流與電容電壓的關系曲線。傳遞函數描述對線性定常系統(tǒng)，式中s的系數均為常數，且a1不等于零，這時系統(tǒng)在MATLAB中可以方便地由分子和分母系數構成的兩個向量唯一地確定出來，這兩個向量分別用num和den表示。

num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1]

注意：它們都是按s的降冪進行排列的。連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數模型連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數如下：傳遞函數MATLAB中創(chuàng)建傳遞函數（TF）對象創(chuàng)建兩個行向量，按降階順序分別包含分子和分母多項式中s各次冪的系數使用tf命令建立TF對象例如：>>numG=[43];denG=[165];>>G1=tf(numG,denG)或>>G1=tf([43],[156])零極點增益模型零極點模型實際上是傳遞函數模型的另一種表現(xiàn)形式，其原理是分別對原系統(tǒng)傳遞函數的分子、分母進行分解因式處理，以獲得系統(tǒng)的零點和極點的表示形式。在MATLAB中零極點增益模型用[z,p,K]矢量組表示。即：z=[z1,z2,…,zm]p=[p1,p2,...,pn]K=[k]函數tf2zp()可以用來求傳遞函數的零極點和增益。K為系統(tǒng)增益，zi為零點，pj為極點零極點增益模型零點、極點、增益形式（ZPK）表示輸入零點和極點列向量及標量形式的增益使用zpk命令建立ZPK對象例：>>zG=-0.75;pG=[-1;-5];kG=4;>>G2=zpk(zG,pG,kG)

或者：>>G2=zpk(-0.75,[-1;-5],4)傳遞函數兩種形式互換TF形式變換為ZPK形式

Gzpk=zpk(Gtf)[zz,pp,kk]=zpkdata(Gzpk,’v’)%獲得G(s)的零點、極點和增益ZPK形式變換為TF形式Svv=tf(Sxx)[nn,dd]=tfdata(Svv,’v’)%獲得分子分母多項式系數部分分式展開控制系統(tǒng)常用到并聯(lián)系統(tǒng)，這時就要對系統(tǒng)函數進行分解，使其表現(xiàn)為一些基本控制單元的和的形式。[resG,polG,otherG]=residue(numG,denG)resG留數

polG極點

otherG

常數函數[r,p,k]=residue(b,a)對兩個多項式的比進行部分展開，以及把傳函分解為微分單元的形式。向量b和a是按s的降冪排列的多項式系數。部分分式展開后，余數返回到向量r，極點返回到列向量p，常數項返回到k。[b,a]=residue(r,p,k)可以將部分分式轉化為多項式比p(s)/q(s)。舉例：傳遞函數描述1）》num=[12,24,0,20];den=[24622];2）借助多項式乘法函數conv來處理：》num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));》den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));零極點增益模型：》num=[1,11,30,0];》den=[1,9,45,87,50];[z,p,k]=tf2zp(num,den)》z=0-6-5p=-3.0000+4.0000i-3.0000-4.0000i-2.0000-1.0000k=1結果表達式：部分分式展開：》num=[2,0,9,1];》den=[1,1,4,4];[r,p,k]=residue(num,den)》p=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1.0000k=2r=0.0000-0.2500i0.0000+0.2500i-2.0000結果表達式：狀態(tài)空間描述狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達式，又稱為動態(tài)方程，經典控制理論用傳遞函數將輸入—輸出關系表達出來，而現(xiàn)代控制理論則用狀態(tài)方程和輸出方程來表達輸入—輸出關系，揭示了系統(tǒng)內部狀態(tài)對系統(tǒng)性能的影響。在MATLAB中，系統(tǒng)狀態(tài)空間用（A,B,C,D)矩陣組表示。舉例系統(tǒng)為一個兩輸入兩輸出系統(tǒng)：》A=[16910;31268;47911;5121314];》B=[46;24;22;10];》C=[0021;8022];》D=zeros(2,2);模型的轉換與連接在一些場合下需要用到某種模型，而在另外一些場合下可能需要另外的模型，這就需要進行模型的轉換。模型轉換的函數包括：residue：傳遞函數模型與部分分式模型互換ss2tf：狀態(tài)空間模型轉換為傳遞函數模型ss2zp：狀態(tài)空間模型轉換為零極點增益模型tf2ss：傳遞函數模型轉換為狀態(tài)空間模型tf2zp：傳遞函數模型轉換為零極點增益模型zp2ss：零極點增益模型轉換為狀態(tài)空間模型zp2tf：零極點增益模型轉換為傳遞函數模型

模型的轉換用法舉例已知系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為：》A=[01;-1-2];B=[0;1];》C=[1,3];D=[1];》[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)

％iu用來指定第n個輸入，當只有一個輸入時可忽略?！穘um=152;den=121;》[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)》z=-4.5616p=-1k=1-0.4384-1已知一個單輸入三輸出系統(tǒng)的傳遞函數模型為：》num=[00-2;0-1-5;120];den=[16116];》[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)》A=-6-11-6B=1C=00-2D=010000-1-5001001200系統(tǒng)的零極點增益模型：》z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6;》[num,den]=zp2tf(z,p,k)》num=00618den=181710》[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k)》a=-1.000000