第3章-解線性方程組的數(shù)值解法3-迭代法課件

3.4向量和矩陣的范數(shù)

為了研究線性方程組近似解的誤差估計(jì)和迭代法的收斂性，我們需要對(duì)Rn(n維向量空間)中的向量或Rnxn中矩陣的“大小”引入一種度量，——向量和矩陣的范數(shù)。3.4向量和矩陣的范數(shù) 為了研究線性方程組近似解的誤差估計(jì)1向量和矩陣的范數(shù)

在一維數(shù)軸上，實(shí)軸上任意一點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離用|x|表示。而任意兩點(diǎn)x1，x2之間距離用|x1-x2|表示。向量和矩陣的范數(shù) 在一維數(shù)軸上，實(shí)軸上任意一點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離2向量和矩陣的范數(shù)

而在二維平面上，平面上任意一點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離用表示。而平面上任意兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距離用表示。推廣到n維空間，則稱為向量范數(shù)。向量和矩陣的范數(shù) 而在二維平面上，平面上任意一點(diǎn)P(x,y)3向量范數(shù)

向量范數(shù) 4常見的向量范數(shù)

常見的向量范數(shù) 5向量范數(shù)性質(zhì)向量范數(shù)性質(zhì)6向量范數(shù)性質(zhì)等價(jià)性質(zhì)：向量范數(shù)性質(zhì)等價(jià)性質(zhì)：7向量的收斂性向量的收斂性8第3章-解線性方程組的數(shù)值解法3-迭代法ppt課件93.4.2矩陣范數(shù)3.4.2矩陣范數(shù)10相容范數(shù)相容范數(shù)11算子范數(shù)算子范數(shù)12算子范數(shù)算子范數(shù)13第3章-解線性方程組的數(shù)值解法3-迭代法ppt課件14算子范數(shù)算子范數(shù)15常見的矩陣范數(shù)常見的矩陣范數(shù)16常見的矩陣范數(shù)常見的矩陣范數(shù)17對(duì)稱矩陣范數(shù)對(duì)稱矩陣范數(shù)18例題例題193.4.3矩陣的譜半徑和矩陣序列收斂性3.4.3矩陣的譜半徑和矩陣序列收斂性20例題例題21譜半徑和矩陣序列的收斂性譜半徑和矩陣序列的收斂性22第3章-解線性方程組的數(shù)值解法3-迭代法ppt課件23矩陣序列的收斂性矩陣序列的收斂性24第3章-解線性方程組的數(shù)值解法3-迭代法ppt課件253.5病態(tài)方程組與矩陣的條件數(shù)3.5病態(tài)方程組與矩陣的條件數(shù)263.5.1病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析3.5.1病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析27病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析28病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析29病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析30病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析31病態(tài)方程組擾動(dòng)方程由于計(jì)算機(jī)字長限制，在解AX=b時(shí)，舍入誤差是不可避免的。因此我們只能得出方程的近似解。是方程組（A+△A）x=b+△b(1)

病態(tài)方程組擾動(dòng)方程32在沒有舍入誤差的解。稱方程（1）為方程Ax=b的擾動(dòng)方程。其中△A，△b為由舍入誤差所產(chǎn)生的擾動(dòng)矩陣和擾動(dòng)向量。當(dāng)△A，△b的微小擾動(dòng)，解得（1）的解與Ax=b的解x的相對(duì)誤差不大稱為良態(tài)方程，否則為病態(tài)方程。在沒有舍入誤差的解。稱方程（1）為方程Ax=b的擾動(dòng)方程33擾動(dòng)方程組的誤差界擾動(dòng)方程組的誤差界34第3章-解線性方程組的數(shù)值解法3-迭代法ppt課件35第3章-解線性方程組的數(shù)值解法3-迭代法ppt課件36第3章-解線性方程組的數(shù)值解法3-迭代法ppt課件373.5.2矩陣的條件數(shù)3.5.2矩陣的條件數(shù)38第3章-解線性方程組的數(shù)值解法3-迭代法ppt課件39矩陣的條件數(shù)的性質(zhì)矩陣的條件數(shù)的性質(zhì)40相對(duì)誤差的事后估計(jì)定理3.6.3相對(duì)誤差的事后估計(jì)定理3.6.341例題例題423.6解線性方程組的迭代法3.6解線性方程組的迭代法433.6.1解線性方程組迭代法概述3.6.1解線性方程組迭代法概述44解線性方程組迭代法概述解線性方程組迭代法概述45解線性方程組迭代法概述解線性方程組迭代法概述46解線性方程組迭代法概述解線性方程組迭代法概述473.6.2Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法3.6.2Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代48Jacobi迭代法Jacobi迭代法49Jacobi迭代法Jacobi迭代法50例題例題51例題例題52Jacobi迭代法的矩陣形式Jacobi迭代法的矩陣形式53Jacobi迭代法的算法Jacobi迭代法的算法54Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法55Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法56例題例題57Gauss-Seidel迭代法的算法Gauss-Seidel迭代法的算法583.6.3線性方程組迭代法收斂條件3.6.3線性方程組迭代法收斂條件59迭代法的收斂條件迭代法的收斂條件60迭代法的收斂條件迭代法的收斂條件61迭代法的誤差估計(jì)迭代法的誤差估計(jì)62迭代法的誤差估計(jì)迭代法的誤差估計(jì)63迭代法的誤差估計(jì)迭代法的誤差估計(jì)64收斂的判別條件收斂的判