中考第一輪復(fù)習(xí)-銳角三角函數(shù)課件

第二十三講銳角三角函數(shù)第二十三講銳角三角函數(shù)一、特殊角的三角函數(shù)值:1一、特殊角的三角函數(shù)值:1二、直角三角形中的邊角關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系:________.(2)兩銳角之間的關(guān)系:_____________.(3)邊角之間的關(guān)系:sinA=cosB=___,sinB=cosA=___,tanA=___,tanB=___.a2+b2=c2∠A+∠B=90°二、直角三角形中的邊角關(guān)系a2+b2=c2∠A+∠B=90°三、解直角三角形的應(yīng)用1.仰角和俯角:如圖1,在同一鉛垂面內(nèi)視線和水平線間的夾角,視線在水平線_____的叫做仰角,在水平線_____的叫做俯角.圖1上方下方三、解直角三角形的應(yīng)用圖1上方下方2.坡度(坡比)和坡角:如圖2,通常把坡面的鉛直高度h和__________之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母__表示,即i=___;坡面與_______的夾角叫做坡角,記作α.所以i=__=tanα.3.方位角:指北或指南的方向線與目標(biāo)方向所成的小于90°的角叫做方位角.圖2水平寬度li水平面2.坡度(坡比)和坡角:如圖2,通常把坡面的鉛直高度h和__【思維診斷】(打“√”或“×”)1．銳角三角函數(shù)是一個比值.()2．銳角三角函數(shù)中，角度是自變量.()3．直角三角形各邊長擴(kuò)大3倍，其正弦值也擴(kuò)大3倍.()4．由cosα＝得銳角α＝60°.()√√×√【思維診斷】(打“√”或“×”)√√×√5．銳角α的正弦值隨角度的增大而增大.()6．銳角α的余弦值隨角度的增大而增大.()7．坡比是坡面的水平寬度與鉛直高度之比.()8．解直角三角形時，必須有一個條件是邊.()√××√5．銳角α的正弦值隨角度的增大而增大.()√××√熱點考向一銳角三角函數(shù)概念【例1】(2014·巴中中考)在Rt△ABC中，∠C=90°,sinA=則tanB的值為()熱點考向一銳角三角函數(shù)概念【思路點撥】先由sinA＝表示出Rt△ABC中∠A的對邊與斜邊長，再由勾股定理求出另一條直角邊長，利用銳角三角函數(shù)的定義求解.【思路點撥】先由sinA＝表示出Rt△ABC中∠A的【自主解答】選D.∵sinA=∴設(shè)BC=5x，AB=13x，【自主解答】選D.∵sinA=∴設(shè)BC=5x，AB【規(guī)律方法】根據(jù)定義求三角函數(shù)值的方法1.分清直角三角形中的斜邊與直角邊.2.正確地表示出直角三角形的三邊長，常設(shè)某條直角邊長為k(有時也可以設(shè)為1)，在求三角函數(shù)值的過程中約去k.3.正確應(yīng)用勾股定理求第三條邊長．4.應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義，求出三角函數(shù)值．

【規(guī)律方法】根據(jù)定義求三角函數(shù)值的方法【真題專練】1.(2014·湖州中考)如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=則BC的長是()A．2B．8C．2D.4【真題專練】【解析】選A.因為所以解得BC=2.【解析】選A.因為2.(2014·威海中考)如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，O都在格點上，則∠AOB的正弦值是()2.(2014·威海中考)如圖，在下列網(wǎng)格中，【解析】選D.作AC⊥OB于點C，【解析】選D.作AC⊥OB于點C，【變式訓(xùn)練】如圖,∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角,則cos∠AOB的值是

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【變式訓(xùn)練】如圖,∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角,則c【解析】連接AC．由網(wǎng)格圖知△AOC是等腰直角三角形，設(shè)小正方形的邊長為1，則∴cos∠AOB＝答案：【解析】連接AC．由網(wǎng)格圖知△AOC是3.(2014·汕尾中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，若則cosB的值是()【解析】選B.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以3.(2014·汕尾中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，若熱點考向二特殊角三角函數(shù)值的計算【例2】(2013·重慶中考)計算6tan45°-2cos60°的結(jié)果是()A.4B.4C.5D.5【思路點撥】將cos60°，tan45°的值分別代入計算，即可得出答案．【自主解答】選D.6tan45°-2cos60°=6×1-2×=6-1=5.熱點考向二特殊角三角函數(shù)值的計算【自主解答】選D.6tan【規(guī)律方法】熟記特殊角的三角函數(shù)值的兩種方法1.按值的變化：30°，45°,60°角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分別是余弦的分子分別是正切分別是2.特殊值法：(1)在直角三角形中，設(shè)30°角所對的直角邊為1,那么三邊長分別為1,2.(2)在直角三角形中，設(shè)45°角所對的直角邊為1,那么三邊長分別為再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義推導(dǎo)即可.【規(guī)律方法】熟記特殊角的三角函數(shù)值的兩種方法【真題專練】1.(2014·天津中考)cos60°的值等于()【解析】選A.cos60°=【真題專練】2.(2014·涼山州中考)在△ABC中，若|cosA-|+(1-tanB)2=0,則∠C的度數(shù)是()A.45°B.60°C.75°D.105°【解析】選C.由題意得，cosA-=0,1-tanB=0，cosA=,tanB=1,∠A=60°,∠B=45°,故∠C=180°-∠A-∠B=75°.2.(2014·涼山州中考)在△ABC中，若|cosA-【方法技巧】銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用(1)已知特殊角，求相應(yīng)角的三角函數(shù)值.(2)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，求相應(yīng)銳角的度數(shù)．(3)15°，75°角的三角函數(shù)值，可通過構(gòu)造含30°角或45°角的直角三角形求出．【方法技巧】銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用3.(2014·白銀中考)△ABC中，∠A，∠B都是銳角，若sinA則∠C=_____.【解析】因為所以∠A=60°，∠B=60°，所以∠C=60°.答案：60°3.(2014·白銀中考)△ABC中，∠A，∠B都是銳角，若4.(2013·齊齊哈爾中考)請運用你喜歡的方法求tan75°＝_____．【解析】如圖，作△BCD，使∠C＝90°，∠DBC＝30°，延長CB到A，使AB＝BD，連接AD．∵AB＝BD，∴∠A＝∠ADB．∵∠DBC＝30°＝2∠A，∴∠A＝15°，∠ADC＝75°．4.(2013·齊齊哈爾中考)請運用你喜歡的方法求tan7設(shè)CD＝x(x≠0)，則AB＝BD＝2CD＝2x，答案：2＋設(shè)CD＝x(x≠0)，則AB＝BD＝2CD＝2x，5.(2014·賀州中考)計算：【解析】原式=5.(2014·賀州中考)計算：熱點考向三解直角三角形【例3】(2013·常德中考)如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C＝45°，sinB＝AD＝1．(1)求BC的長.(2)求tan∠DAE的值．熱點考向三解直角三角形【解題探究】(1)求BC的長的兩個思考:①圖中有直角三角形嗎?若有,請寫出來.提示:圖中的直角三角形分別是Rt△ABD,Rt△ADC,Rt△ADE.②能求出BD,DC的長嗎?提示:分別在Rt△ABD,Rt△ADC中,求BD,DC的長.【解題探究】(1)求BC的長的兩個思考:(2)求tan∠DAE值的兩個思考:①∠DAE在哪個直角三角形中?提示:在Rt△AED中.②如何求∠DAE的對邊DE的長?提示:先由AE是BC邊上的中線求出CE的長,再由DE=CE-CD求得DE的長.(2)求tan∠DAE值的兩個思考:【嘗試解答】(1)∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，sinB＝AD＝1，∴AB＝3．∴BD＝在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴CD＝AD＝1．∴BC＝BD＋CD＝【嘗試解答】(1)∵AD是BC邊上的高，(2)∵AE是BC邊上的中線，(2)∵AE是BC邊上的中線，【規(guī)律方法】解直角三角形的三點注意1.解直角三角形時,要盡量用到已知條件的數(shù)據(jù),防止“積累誤差”.2.遵守“有弦(斜邊)用弦(正弦、余弦),無弦用切(正切),寧乘勿除”的原則,提高解題的正確性.3.必要時,畫出圖形幫助分析.【規(guī)律方法】解直角三角形的三點注意【真題專練】1.(2014·孝感中考)如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD相交成的銳角為α,若AC=a,BD=b,則?ABCD的面積是(

)A.absinα

B.absinαC.abcosαD.abcosα【真題專練】【解析】選A.作DE⊥AC，垂足為E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，BD=b，【解析】選A.作DE⊥AC，垂足為E，2.(2014·蘇州中考)如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=∠BAC,則tan∠BPC=

.2.(2014·蘇州中考)如圖,在△ABC中,AB=AC=5【解析】如圖所示，過點A作AE⊥BC于點E.∵AB=AC=5,∴BE=BC=×8=4,∠BAE=∠BAC,∵∠BPC=∠BAC,∴∠BPC=∠BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理得答案：【解析】如圖所示，過點A作AE⊥BC于點E.3.(2013·荊門中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中點,過D點作AB的垂線交AC于點E,BC=6,sinA=,則DE=

.3.(2013·荊門中考)如圖,在Rt△ABC中,【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∴AB＝10，∵D是AB的中點，∴AD＝AB＝5．∵△ADE∽△ACB，答案：【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，4.(2014·重慶中考)如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=求sinC的值．4.(2014·重慶中考)如圖，△ABC中，AD⊥BC，【解析】∵AD⊥BC,∴tan∠BAD=∵tan∠BAD=AD=12,∴BD=9,∴CD=BC-BD=14-9=5.在Rt△ADC中，由勾股定理,得【解析】∵AD⊥BC,∴tan∠BAD=熱點考向四解直角三角形的應(yīng)用【例4】(2014·南充中考)馬航MH370失聯(lián)后,我國政府積極參與搜救.某日,我兩艘專業(yè)救助船A，B同時收到有關(guān)可疑漂浮物的訊息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏東53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正東方向140海里處.(參考數(shù)據(jù)：sin36.5°≈0.6,cos36.5°≈0.8,tan36.5°≈0.75).熱點考向四解直角三角形的應(yīng)用(1)求可疑漂浮物P到A，B兩船所在直線的距離.(2)若救助船A、救助船B分別以40海里/時，30海里/時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達(dá)P處.(1)求可疑漂浮物P到A，B兩船所在直線的距離.【思路點撥】(1)過點P作PE⊥AB于點E,在Rt△APE中求PE即可.(2)在Rt△BPE中,求出BP,分別計算出兩艘船需要的時間,即可作出判斷.【思路點撥】(1)過點P作PE⊥AB于點E,在Rt△APE中【自主解答】(1)如圖所示，過點P作PE⊥AB于點E.由題意，得∠PAE=36.5°，∠PBA=45°，設(shè)PE=x海里，則BE=PE=x海里.∵AB=140海里，∴AE=(140-x)海里.在Rt△PAE中，解得x=60海里.所以可疑漂浮物P到A，B兩船所在直線的距離為60海里.【自主解答】(1)如圖所示，過點P作PE⊥AB于點E.由題意(2)在Rt△PBE中，PE=60海里，∠PBE=45°,則BP=≈84.8(海里),B船需要的時間為：≈2.83(小時),在Rt△PAE中，=sin∠PAE，∴AP=PE÷sin∠PAE=60÷0.6=100(海里),∴A船需要的時間為:100÷40=2.5.∵2.83＞2.5,∴A船先到達(dá).(2)在Rt△PBE中，PE=60海里，∠PBE=45°,【規(guī)律方法】直角三角形解決實際問題的方法1.利用直角三角形或構(gòu)造直角三角形解決實際問題,一般先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,若題中無直角三角形,需要添加輔助線(如作三角形的高等)構(gòu)造直角三角形,再利用解直角三角形的知識求解.2.解直角三角形時結(jié)合圖形分清圖形中哪個三角形是直角三角形,哪條邊是角的對邊、鄰邊、斜邊.此外正確理解俯角、仰角等名詞術(shù)語是解答此類題目的前提.【規(guī)律方法】直角三角形解決實際問題的方法【真題專練】1.(2014·臺州中考)如圖,某翼裝飛行運動員從離水平地面高AC=500m的A處出發(fā),沿著俯角為15°的方向,直線滑行1600米到達(dá)D點,然后打開降落傘以75°的俯角降落到地面上的B點,求他飛行的水平距離BC(結(jié)果精確到1m).(參考數(shù)據(jù):sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)【真題專練】【解析】過點D作DE⊥AC，作DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn).∵AC⊥BC，∴四邊形ECFD為矩形，∴EC=DF.在Rt△ADE中，∠ADE=15°，AD=1600，∴AE=ADsin∠ADE=1600sin15°，DE=ADcos∠ADE=1600cos15°.【解析】過點D作DE⊥AC，作DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn).∵EC=AC-AE，∴DF=500-1600sin15°.在Rt△DBF中，BF=DFtan∠FDB=ECtan15°.∴BC=CF+BF=1600cos15°+(500-1600sin15°)tan15°≈1575.答：運動員水平飛行的距離為1575米.∵EC=AC-AE，∴DF=500-1600sin15°2.(2014·聊城中考)美麗的徒駭河宛如一條玉帶穿城而過,沿河兩岸的濱河大道和風(fēng)景帶成為我市的一道新景觀.在數(shù)學(xué)課外實踐活動中,小亮在河西岸濱河大道一段AC上的A,B兩點處,利用測角儀分別對東岸的觀景臺D進(jìn)行了測量,分別測得∠DAC=60°,∠DBC=75°,又已知AB=100米,求觀景臺D到徒駭河西岸AC的距離約為多少米(精確到1米).(tan60°≈1.73,tan75°≈3.73)2.(2014·聊城中考)美麗的徒駭河宛如一條玉帶穿城而過,【解析】作DF⊥AC，垂足為點F，設(shè)DF=h.在Rt△DFA中，即觀景臺D到徒駭河西岸AC的距離約為323米.【解析】作DF⊥AC，垂足為點F，設(shè)DF=h.命題新視角銳角三角函數(shù)的閱讀理解題【例】(2014·遂寧中考)如圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空,再按要求答題:sin2A1+sin2B1=

;sin2A2+sin2B2=

;sin2A3+sin2B3=

.命題新視角銳角三角函數(shù)的閱讀理解題(1)觀察上述等式,猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B=

.(2)如圖④,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對邊分別是a,b,c,利用三角函數(shù)的定義和勾股定理,證明你的猜想.(3)已知:∠A+∠B=90°,且sinA=求sinB.(1)觀察上述等式,猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,都【審題視點】【審題視點】【自主解答】(1)1.(2)在Rt△ABC中，∠C=90°.∴sin2A+sin2B=∵∠ADB=90°，∴BD2+AD2=AB2，∴sin2A+cos2A=1.(3)∵sin2A+sin2B=1，【自主解答】(1)1.【規(guī)律方法】銳角三角函數(shù)中的幾個重要關(guān)系式1.若∠A為銳角，則有sin(90°－A)=cosA，cos(90°－A)=sinA.2.平方關(guān)系：同一個角的正弦和余弦的平方和等于1，即sin2A+cos2A=1.【規(guī)律方法】銳角三角函數(shù)中的幾個重要關(guān)系式3.正余弦與正切之間的關(guān)系：一個角的正切值等于這個角的正弦值與余弦值的比，即或sinA=tanA·cosA.4.正切之間的關(guān)系：tanA·tanB=1(∠A+∠B=90°).3.正余弦與正切之間的關(guān)系：一個角的正切值等于這個角的【真題專練】1.(2014·宜賓中考)規(guī)定sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx·cosy+cosx·siny，據(jù)此判斷下列等式成立的是_________(寫出所有正確的序號).①cos(-60°)=②sin75°=③sin2x=2sinx·cosx；④sin(x-y)=sinx·cosy-cosx·siny.【真題專練】【解析】①cos(-60°)=cos60°=命題錯誤；②sin75°=sin(30°+45°)=sin30°·cos45°+cos30°·sin45°=故命題正確.③sin2x=sinx·cosx+cosx·sinx=2sinx·cosx，故命題正確；④sin(x-y)=sinx·cos(-y)+cosx·sin(-y)=sinx·cosy-cosx·siny，故命題正確．答案：②③④【解析】①cos(-60°)=cos60°=命題錯誤2.(2013·湛江中考)閱讀下面的材料：先完成閱讀填空，再按要求答題：