數(shù)學(xué)線段和(差)的最值問題

數(shù)學(xué)線段和(差)的最值問題最值問題總體理論依據(jù)：1.線段公理：兩點(diǎn)之間的線段最短。2.對稱性質(zhì)：①關(guān)于一條直線對稱的兩個(gè)圖形全等。②對稱軸是兩個(gè)對稱圖形對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。3.三角形兩邊之和大于第三邊。4.三角形兩邊之差小于第三邊。5.垂直線段最短。類型一：已知兩個(gè)定點(diǎn)1.在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最小。（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：AA||B--m--PB||A'B'2.在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：A'--m--AP'--m--P|\||\|B--n--QB'--n--Q'（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）臺(tái)球兩次碰壁模型A'--m--AD--m--B|\|/|\|/B--n--EC--n--F|/|\|/|\B'--m--A'E'--m--D'變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m、n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E，使得圍成的四邊形ADEB周長最短。nm||A--D--n--E--B||mn變式二：已知點(diǎn)A位于直線m、n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q，使得PA+PQ+QA周長最短。nm||A--P--m--Q--A||mn例題1：一次函數(shù)y=kx+b的圖像與x、y軸分別交于點(diǎn)A(2,0)、B(0,4)。（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC+PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)。例2：如圖，矩形OABC頂點(diǎn)O位于原點(diǎn)，OA、OC分別在x軸、y軸上。B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊的三等分點(diǎn)。在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長最?。咳绻嬖?，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由。類型二：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)B在直線n上運(yùn)動(dòng)，在直線m上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小（在圖中畫出點(diǎn)P和點(diǎn)B）。1.兩點(diǎn)在直線兩側(cè)：2.兩點(diǎn)在直線同側(cè)：B--n--AB--n--A||||PmAP||||A'B'B'A'（二）動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)B在圓O上運(yùn)動(dòng)，在直線m上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小（在圖中畫出點(diǎn)P和點(diǎn)B）。1.點(diǎn)與圓在直線兩側(cè)：2.點(diǎn)與圓在直線同側(cè)：O--B--mO--B'--m||PP'||A'--m--AA--m--A'）為反比例函數(shù)y=k/x的圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．（3，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（4，0）當(dāng)點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)時(shí)，可以通過構(gòu)造對稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長交直線m于點(diǎn)P，使得PB=PB'，從而得到PA-PB的最大值為AB'。當(dāng)點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)時(shí)，則可以通過在直線m上找到一點(diǎn)P'，使得P'BP與直線m垂直，連接AP'并延長交直線m于點(diǎn)P，同樣可以得到PA-PB的最大值。在反比例函數(shù)y=k/x的圖象上，已知點(diǎn)A（1，y1）和B（2，y2），動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)。要使線段AP與線段BP之差達(dá)到最大值，可以通過構(gòu)造對稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長交x軸于點(diǎn)P，使得PB=PB