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第第頁(yè)2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古通遼市科左中旗實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(含解析)2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古通遼市科左中旗實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)
一、單選題(本大題共12小題,共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng))
1.已知集合,,則()
A.B.C.D.
2.若,是二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),則的值是()
A.B.C.D.
3.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()
A.B.C.D.無(wú)數(shù)個(gè)
4.是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),,,則()
A.B.C.D.
5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且,則()
A.B.C.D.
6.若,,且滿足,,則的值為()
A.B.C.D.
7.下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()
A.B.C.D.
8.設(shè),,,則()
A.B.C.D.
9.冪函數(shù)在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)值為()
A.B.C.或D.
10.若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為()
A.B.C.D.
11.若,則曲線在處的切線方程為()
A.B.C.D.
12.已知,分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),直線與的一個(gè)交點(diǎn)為,,則的離心率為()
A.B.C.D.
二、填空題(本大題共4小題,共20.0分)
13.已知,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓的上頂點(diǎn),若內(nèi)切圓半徑為,則橢圓的離心率為_(kāi)_____.
14.若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_____.
15.已知點(diǎn)為拋物線:的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于,兩點(diǎn),若,則______.
16.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為_(kāi)_____.
三、解答題(本大題共6小題,共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)
17.本小題分
設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率,且過(guò)點(diǎn),求這個(gè)橢圓的方程.
18.本小題分
已知雙曲線:的實(shí)軸長(zhǎng)為,右焦點(diǎn)為.
求雙曲線的方程;
已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn),,求.
19.本小題分
求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
實(shí)軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
焦點(diǎn)在軸正半軸上,且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
20.本小題分
已知函數(shù).
求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
求在區(qū)間上的最值.
21.本小題分
設(shè).
Ⅰ求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
Ⅱ若函數(shù)的極大值為,求函數(shù)在上的最小值.
22.本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
求曲線的極坐標(biāo)方程;
若射線:與曲線的交點(diǎn)為,,與曲線的交點(diǎn)為,求的值.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:因?yàn)椋裕?/p>
因?yàn)?,所以?/p>
則.
故選:.
求出集合,,再求其并集即可.
本題主要考查并集及其運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
2.【答案】
【解析】解:由題意知,是二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),
故,是的兩個(gè)根,
則,且,則且,
故.
故選:.
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義可知,是的兩個(gè)根,可得,的關(guān)系式,代入化簡(jiǎn),即得答案.
本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
3.【答案】
【解析】解:因?yàn)楹瘮?shù);
令求得,或,
故函數(shù)的零點(diǎn)有個(gè),即或,
故選:.
利用函數(shù)的零點(diǎn)的定義,求得函數(shù)的零點(diǎn),可得結(jié)論.
本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義,求函數(shù)的零點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.
4.【答案】
【解析】解:由知,函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),
又是奇函數(shù),,
所以.
故選:.
根據(jù)給定條件,利用函數(shù)的周期性及奇偶性求解作答.
本題考查函數(shù)的周期性,奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.
5.【答案】
【解析】解:因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),所以,
因?yàn)?,所以?/p>
所以,
所以的周期為,
所以.
故選:.
由題意可得函數(shù)的周期為,然后利用周期和,可求得結(jié)果.
本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及周期性在函數(shù)求值中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
6.【答案】
【解析】解:由,,得,即,解得,
把代入,得,即,兩邊平方得,由得,
則.
故選:.
由已知可得,解得,再代回已知等式求出,可得的值.
本題主要考查指數(shù)的運(yùn)算以及計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
7.【答案】
【解析】解:對(duì)于,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以在上單調(diào)遞減,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以在上單調(diào)遞減,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,
所以在上單調(diào)遞增,故C正確;
對(duì)于,因?yàn)椋?,?/p>
顯然在上不單調(diào),D錯(cuò)誤.
故選:.
利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷,舉反例排除即可.
本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性的判斷,屬于基礎(chǔ)題.
8.【答案】
【解析】解:因?yàn)椋?/p>
所以,
因?yàn)椋?/p>
所以,
所以,則,
因?yàn)椋?/p>
所以,
綜上所述,.
故選:.
先確定,的范圍,然后利用作商法結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算判斷,的大小,利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得的范圍,綜合可得解.
本題考查數(shù)的大小關(guān)系,解題中注意估值思想的應(yīng)用,屬于中檔題.
9.【答案】
【解析】解:冪函數(shù),
,
解得,或;
又時(shí)為減函數(shù),
當(dāng)時(shí),,冪函數(shù)為,滿足題意;
當(dāng)時(shí),,冪函數(shù)為,不滿足題意;
綜上,,
故選:.
根據(jù)冪函數(shù)的定義,令,求出的值,再判斷是否滿足冪函數(shù)在上為減函數(shù)即可.
本題考查了冪函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是求出符合題意的值.
10.【答案】
【解析】解:由曲線在點(diǎn)處的切線方程為,得,且,
設(shè),則,得,
故曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.
故選:.
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解得答案.
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.
11.【答案】
【解析】解:由,得,
取,得,,
則,可得,
曲線在處的切線方程為,即.
故選:.
求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),可得,進(jìn)一步求出,再由直線方程的點(diǎn)斜式得答案.
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程,求解是關(guān)鍵,是中檔題.
12.【答案】
【解析】解:因?yàn)榕c的一個(gè)交點(diǎn)為,可得軸,
所以,
由雙曲線的性質(zhì)定義可得,
又因?yàn)椋?/p>
可得,可得,
即,
可得離心率.
故選:.
由題意可得的大小,再由雙曲線的定義可得的大小,再由題意可得,的關(guān)系,進(jìn)而可得雙曲線的離心率.
本題考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
13.【答案】
【解析】解:設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的外心必在線段上,的方程為,
可得,得,
即,得,
橢圓的離心率為.
故答案為:.
由題意畫(huà)出圖形,利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑,轉(zhuǎn)化求解,即可求得橢圓的離心率.
本題考查橢圓的幾何性質(zhì),考查圓與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.
14.【答案】
【解析】解:雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),
,,解得.
又,
則該雙曲線的漸近線方程為
故答案為:
雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),代入,,解得,進(jìn)而得出漸近線方程
本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
15.【答案】
【解析】解:由題意知,的方程為,代入的方程,得,
設(shè),,則,;
因?yàn)?,,且?/p>
所以,整理得以,
所以,結(jié)合,解得.
故答案為:.
通過(guò)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)斜式即可求解出直線的方程,代入的方程,設(shè),,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系即可得出,與的關(guān)系,通過(guò)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線距離相等可知,,代入即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二元一次方程,即可求解.
本題主要考查拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的綜合,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
16.【答案】
【解析】解:由題意可得:,
所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.
故答案為:.
根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念求解.
本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查了共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.
17.【答案】解:橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上且過(guò)點(diǎn),
,又,
,
,
故這個(gè)橢圓方程是.
【解析】利用橢圓過(guò)點(diǎn),離心率和,,關(guān)系即可得出橢圓方程.
本題考查的知識(shí)要點(diǎn):橢圓的方程的求法,主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.
18.【答案】解:由已知,,
又,則,
所以雙曲線方程為;
由,得,
則,
設(shè),,則,,
所以.
【解析】根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)可求,根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可求,然后可得方程;
聯(lián)立直線與雙曲線的方程,利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可求答案.
本題主要考查直線與雙曲線的綜合,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.
19.【答案】解:雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo),
雙曲線為實(shí)軸在軸上的雙曲線,且,
又實(shí)軸長(zhǎng)為,即,得,
,則,
雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為:;
由題意可設(shè)拋物線方程為,
且,則拋物線方程為:.
【解析】由題意可知,雙曲線為實(shí)軸在軸上的雙曲線,并求得與的值,代入隱含條件求得,則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線方程及離心率可求.
由題意設(shè)拋物線方程為,再由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,得,則拋物線方程可求.
本題考查雙曲線方程的求法,考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),并考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查拋物線的幾何性質(zhì),是基礎(chǔ)題.
20.【答案】解:Ⅰ對(duì)函數(shù)求導(dǎo),,
,,
所求得的切線方程為,即;
Ⅱ由Ⅰ有,
令,解得:或者,
故函數(shù)在遞增,在遞減,
故函數(shù)在取最大值,
,,
故函數(shù)在的最大值為,最小值為.
【解析】Ⅰ直接求導(dǎo)找出切點(diǎn)處斜率,再將代入原函數(shù)得到縱坐標(biāo)從而得到切線;
Ⅱ令其導(dǎo)函數(shù)大于,判斷函數(shù)在的單調(diào)性從而確定最值.
本題主要考查導(dǎo)函數(shù)中切線問(wèn)題及封閉區(qū)間的最值問(wèn)題分析.屬于基礎(chǔ)題.
21.【答案】Ⅰ,
由得或,
的單調(diào)遞增區(qū)間為和;
Ⅱ由Ⅰ知函數(shù)在處取得極大值,
即,得,
則,
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
又,,
在上的最小值為.
【解析】Ⅰ對(duì)求導(dǎo),由即可求解單調(diào)遞增區(qū)間;
Ⅱ由極值的性質(zhì)可求得的
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