2023年吉林省白城市通榆縣中考模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題含解析

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一、單項(xiàng)選擇題。（每小題2分，共12分）

1．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為（）

A．圓柱B．圓錐C．四棱柱D．四棱錐

2．如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)M，N所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為m，n（）

A．﹣1B．0C．1D．2.2

3．如圖，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，則∠2的度數(shù)為（）

A．100°B．110°C．120°D．130°

4．代數(shù)式（x+1）2+x（x﹣2）化簡(jiǎn)，得（）

A．2x+1B．2x﹣1C．2x2+1D．2x2﹣1

5．如圖，在⊙O中，AB為直徑，CD為切線，連接OC．若∠BCD＝48°則∠AOC的度數(shù)為（）

A．42°B．48°C．84°D．106°

6．《千里江山圖》是宋代王希孟的作品，如圖，它的局部畫(huà)面裝裱前是一個(gè)長(zhǎng)為2.4米，裝裱后，整幅圖畫(huà)寬與長(zhǎng)的比是8：13，則邊襯的寬度應(yīng)是多少米？設(shè)邊襯的寬度為x米，根據(jù)題意可列方程（）

A．＝B．＝

C．＝D．＝

二、填空題。（每小題3分，共24分）

7．（3分）計(jì)算：|﹣2023|＝．

8．（3分）袁隆平院士被譽(yù)為“雜交水稻之父”，經(jīng)過(guò)他帶領(lǐng)的團(tuán)隊(duì)多年努力，目前我國(guó)雜交水稻種植面積約為2.5億畝．將250000000用科學(xué)記數(shù)法表示為2.5×10n，則n＝．

9．（3分）已知a+b＝3，a﹣b＝5，則代數(shù)式a2﹣b2的值是．

10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，點(diǎn)D，E，連接DE、DF，則四邊形BFDE的周長(zhǎng)為．

11．（3分）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)C在x軸上（7，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

12．（3分）如圖，練習(xí)本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，則線段BC＝cm．

13．（3分）如圖，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的刻度分別為3，5，7，得到CA'，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時(shí)．（結(jié)果保留π）

14．（3分）公元前2000年左右，古巴比倫人使用的楔形文字中有兩個(gè)符號(hào)（如圖所示），一個(gè)釘頭形代表1，人們使用的標(biāo)記方法和我們當(dāng)今使用的方法相同，最右邊的數(shù)字代表個(gè)位，百位．根據(jù)符號(hào)計(jì)數(shù)的方法，如圖符號(hào)表示一個(gè)兩位數(shù)．

三、解答題。（每小題5分，共20分）

15．（5分）如圖，已知AB＝DC，AC＝DB．求證：∠A＝∠D．

16．（5分）解不等式組請(qǐng)按下列步驟完成解答．

（1）解不等式①，得；

（2）解不等式②，得；

（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)；

（4）原不等式組的解集是．

17．（5分）學(xué)校開(kāi)展大課間活動(dòng)，某班需要購(gòu)買(mǎi)A、B兩種跳繩．已知購(gòu)進(jìn)10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元：購(gòu)進(jìn)15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元．求購(gòu)進(jìn)一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？

18．（5分）有五個(gè)封裝后外觀完全相同的紙箱，且每個(gè)紙箱內(nèi)各裝有一個(gè)西瓜，其中所裝西瓜的重量分別為6kg，7kg，7kg

（1）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選一個(gè)，則所選紙箱里西瓜的重量為8kg的概率是．

（2）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選兩個(gè)，請(qǐng)利用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求所選兩個(gè)紙箱里的西瓜的重量之和為14kg的概率．

四、解答題。（每小題7分，共28分）

19．（7分）如圖，在5×5的方格中，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上

（1）如圖①，畫(huà)出一條線段AC，使AC＝AB；

（2）如圖②，畫(huà)出一條線段EF，使EF、AB互相平分，F(xiàn)均在格點(diǎn)上；

（3）如圖③，畫(huà)出一個(gè)以AB為一邊的四邊形，使其是中心對(duì)稱(chēng)圖形

20．（7分）周末，王老師布置了一項(xiàng)綜合實(shí)踐作業(yè)，要求利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一棟樓的高度．小希站在自家陽(yáng)臺(tái)上，看這棟樓底部的俯角為37°，已知兩樓之間的水平距離為30m

（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

21．（7分）如圖，大、小兩個(gè)正方形的中心與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行或垂直．反比例函數(shù)（﹣2，﹣1），且經(jīng)過(guò)小正方形的頂點(diǎn)B．

（1）求反比例函數(shù)的解析式．

（2）求圖中陰影部分的面積．

22．（7分）某校九年級(jí)640名學(xué)生在“信息素養(yǎng)提升”培訓(xùn)前、后各參加了一次水平相同的測(cè)試，并以同一標(biāo)準(zhǔn)折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5個(gè)成績(jī)．為了解培訓(xùn)效果，用抽樣調(diào)查的方式從中抽取了32名學(xué)生的2次測(cè)試成績(jī)

訓(xùn)前成績(jī)（分）678910

劃記正正正正

人數(shù)（人）124754

培訓(xùn)后成績(jī)（分）678910

劃記一正正正正

人數(shù)（人）413915

（1）這32名學(xué)生2次測(cè)試成績(jī)中，培訓(xùn)前測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是m，培訓(xùn)后測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是nn；（填“＞”、“＜”或“＝”）

（2）這32名學(xué)生經(jīng)過(guò)培訓(xùn)，測(cè)試成績(jī)?yōu)椤?分”的百分比比培訓(xùn)前減少了多少？

（3）估計(jì)該校九年級(jí)640名學(xué)生經(jīng)過(guò)培訓(xùn)，測(cè)試成績(jī)?yōu)椤?0分”的學(xué)生增加了多少人？

五、解答題（每小題8分，共16分）

23．（8分）已知A、B兩地之間有一條長(zhǎng)440千米的高速公路．甲、乙兩車(chē)分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，沿此公路相向而行，甲車(chē)先以100千米/時(shí)的速度勻速行駛200千米后與乙車(chē)相遇；乙車(chē)勻速行駛至A地，兩車(chē)到達(dá)各自的目的地后停止（千米）與各自的行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

（1）m＝，n＝；

（2）求兩車(chē)相遇后，甲車(chē)距A地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)乙車(chē)到達(dá)A地時(shí)，求甲車(chē)距A地的路程．

24．（8分）下面是小明同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．

【作業(yè)】

如圖①，已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，求證：EF＝AE+CF．

證明：如圖，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM，∠A＝∠DCM，∠ADE＝∠MDC．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，

∴∠EDM＝∠EDC+∠MDC＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°．

∵∠EDF＝45°，

∴∠MDF＝∠EDF＝45°，

又∵∠A＝∠DCM＝∠DCB＝90°，

∴點(diǎn)B，F(xiàn)，C，M在一條直線上．

∵DF＝DF，

∴△EDF≌，

∴EF＝MF＝CM+CF＝+CF．

【探究】

（1）在圖①中，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，AE＝1，求EF的長(zhǎng)．

解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，AE＝1，

∴BE＝2，CM＝1．

設(shè)EF＝x，則FM＝EF＝x，F(xiàn)C＝FM﹣CM＝x﹣1，

∴BF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．

在Rt△BEF中，由22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即EF＝；

（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝4，E是AB邊上的點(diǎn)，則CE＝．

（3）如圖③，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD＝3，則AD的長(zhǎng)為．

六、解答題（每小題10分，共20分）

25．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm．P，Q兩點(diǎn)分別從A，點(diǎn)P以3cm/s的速度沿折線AB﹣BC向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q在CA上以，以PM、QM為鄰邊作矩形PMQN．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），矩形PMQN的面積為y（cm）2（注：線段看成面積為0cm2的矩形）

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，x＝；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出x的值．

26．（10分）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），其對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，與y軸交于點(diǎn)B．

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

（2）求二次函數(shù)的解析式；

（3）點(diǎn)M在線段AB上，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N．

①若MN：NC＝2：5，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②以MN為對(duì)角線作正方形MPNQ（點(diǎn)P在MN右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題。（每小題2分，共12分）

1．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為（）

A．圓柱B．圓錐C．四棱柱D．四棱錐

【分析】俯視圖為圓的幾何體為球，圓柱，再根據(jù)其他視圖，可知此幾何體為圓柱．

【解答】解：俯視圖為圓的幾何體為球，圓柱，可知此幾何體為圓柱．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是掌握常見(jiàn)幾何體的三視圖．

2．如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)M，N所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為m，n（）

A．﹣1B．0C．1D．2.2

【分析】根據(jù)在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的總比左邊的大，可得：1＜m＜2，n＝﹣1，m﹣n的結(jié)果即可求得．

【解答】解：∵M(jìn)，N所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為m，n，

∴1＜m＜2，n＝﹣7，

∴2＜m﹣n＜3，

∴m﹣n的值可能是3.2．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，利用數(shù)軸可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，確定兩個(gè)實(shí)數(shù)的范圍是解決本題的關(guān)鍵．

3．如圖，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，則∠2的度數(shù)為（）

A．100°B．110°C．120°D．130°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

【解答】解：∵l1∥l2，∠6＝70°，

∴∠3＝∠1＝70°，

∵l3∥l4，

∴∠2＝180°﹣∠2＝180°﹣70°＝110°，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記兩直線平行同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

4．代數(shù)式（x+1）2+x（x﹣2）化簡(jiǎn)，得（）

A．2x+1B．2x﹣1C．2x2+1D．2x2﹣1

【分析】利用完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可．

【解答】解：（x+1）2+x（x﹣5）

＝x2+2x+5+x2﹣2x

＝3x2+1．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．

5．如圖，在⊙O中，AB為直徑，CD為切線，連接OC．若∠BCD＝48°則∠AOC的度數(shù)為（）

A．42°B．48°C．84°D．106°

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCD＝90°，進(jìn)而得出∠OCB＝40°，再利用圓心角等于圓周角的2倍解答即可．

【解答】解：在⊙O中，AB為直徑，CD為切線，

∴∠OCD＝90°，

∵∠BCD＝48°，

∴∠OCB＝42°，

∴∠AOC＝84°，

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，切線的性質(zhì)：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．

6．《千里江山圖》是宋代王希孟的作品，如圖，它的局部畫(huà)面裝裱前是一個(gè)長(zhǎng)為2.4米，裝裱后，整幅圖畫(huà)寬與長(zhǎng)的比是8：13，則邊襯的寬度應(yīng)是多少米？設(shè)邊襯的寬度為x米，根據(jù)題意可列方程（）

A．＝B．＝

C．＝D．＝

【分析】根據(jù)題意可知，裝裱后的長(zhǎng)為2.4+2x，寬為1.4+2x，再根據(jù)整幅圖畫(huà)寬與長(zhǎng)的比是8：13，即可得到相應(yīng)的方程．

【解答】解：由題意可得，

，

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程．

二、填空題。（每小題3分，共24分）

7．（3分）計(jì)算：|﹣2023|＝2023．

【分析】負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，由此可解．

【解答】解：﹣2023的相反數(shù)是2023，

故|﹣2023|＝2023，

故答案為：2023．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是掌握負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)．

8．（3分）袁隆平院士被譽(yù)為“雜交水稻之父”，經(jīng)過(guò)他帶領(lǐng)的團(tuán)隊(duì)多年努力，目前我國(guó)雜交水稻種植面積約為2.5億畝．將250000000用科學(xué)記數(shù)法表示為2.5×10n，則n＝8．

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．

【解答】解：∵250000000＝2.5×107．

∴n＝8，

故答案為：8．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．

9．（3分）已知a+b＝3，a﹣b＝5，則代數(shù)式a2﹣b2的值是15．

【分析】原式利用平方差公式化簡(jiǎn)，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．

【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝5，

∴原式＝（a+b）（a﹣b）＝15，

故答案為：15

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．

10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，點(diǎn)D，E，連接DE、DF，則四邊形BFDE的周長(zhǎng)為9．

【分析】根據(jù)三角形中位線定理分別求出DE、DF，根據(jù)線段中點(diǎn)的概念分別求出BE、BF，計(jì)算即可．

【解答】解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AC、BC的中點(diǎn)，BC＝5，

∴DE、DF是△ABC的中位線AB＝2BC＝2.5，

∴DE＝BC＝2.6AB＝6，

∴四邊形BFDE的周長(zhǎng)為：BF+DF+BE+DE＝9，

故答案為：9．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．

11．（3分）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)C在x軸上（7，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．

【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)E，BD交y軸于點(diǎn)F，由菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，BE＝DE＝BD，再求出BD＝BF+DF＝8，則BE＝DE＝4，得OC＝EF＝3，即可得出結(jié)論．

【解答】解：如圖，連接AC，BD交y軸于點(diǎn)F，

則OC＝EF，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BE＝DE＝，

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，2），2），

∴BF＝3，DF＝7，

∴BD＝BF+DF＝8，

∴BE＝DE＝7，

∴OC＝EF＝BE﹣BF＝4﹣1＝2，

∵點(diǎn)C在x軸上，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（3，0），

故答案為：（2，0）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

12．（3分）如圖，練習(xí)本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，則線段BC＝12cm．

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CE于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)D，根據(jù)平行線分線段成比例可得，代入計(jì)算即可解答．

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CE于點(diǎn)E，

∵練習(xí)本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，

∴，

即，

∴BC＝12cm．

故答案為：12．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．

13．（3分）如圖，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的刻度分別為3，5，7，得到CA'，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時(shí)π．（結(jié)果保留π）

【分析】求線段CA掃過(guò)的圖形的面積，即求扇形ACA′的面積．

【解答】解：由題意，知AC＝7﹣3＝5，∠A′BC＝90°．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A′C＝AC＝4．

在Rt△A′BC中，cos∠ACA′＝＝．

∴∠ACA′＝60°．

∴扇形ACA′的面積為＝π．

即線段CA掃過(guò)的圖形的面積為π．

故答案為：π．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了扇形面積的計(jì)算和解直角三角形，熟練掌握扇形面積公式是解本題的關(guān)鍵．

14．（3分）公元前2000年左右，古巴比倫人使用的楔形文字中有兩個(gè)符號(hào)（如圖所示），一個(gè)釘頭形代表1，人們使用的標(biāo)記方法和我們當(dāng)今使用的方法相同，最右邊的數(shù)字代表個(gè)位，百位．根據(jù)符號(hào)計(jì)數(shù)的方法，如圖符號(hào)表示一個(gè)兩位數(shù)25．

【分析】根據(jù)題意可知，這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位上的數(shù)是5，十位上的數(shù)是2，故這個(gè)兩位數(shù)為25．

【解答】解：由題意可得，表示25．

故答案為：25．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用數(shù)字表示事件，理清題目中的符號(hào)表示的意義是解答本題的關(guān)鍵．

三、解答題。（每小題5分，共20分）

15．（5分）如圖，已知AB＝DC，AC＝DB．求證：∠A＝∠D．

【分析】分析題目條件，AB、AC圍成△ABC，DC、DB圍成△DCB，BC為它們的公共邊，容易判斷△ABC≌△DCB，從而得出∠A＝∠D．

【解答】證明：在△ABC和△DCB中，

∵AB＝DC，AC＝DB，

∴△ABC≌△DCB，

∴∠A＝∠D．

【點(diǎn)評(píng)】本題是全等三角形的判定，性質(zhì)的綜合運(yùn)用，可以由結(jié)論探究所要證明全等的三角形，然后找全等的條件．

16．（5分）解不等式組請(qǐng)按下列步驟完成解答．

（1）解不等式①，得x≥﹣3；

（2）解不等式②，得x＜1；

（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)；

（4）原不等式組的解集是﹣3≤x＜1．

【分析】分別解這兩個(gè)不等式，把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，找到解集的公共部分即可得到原不等式組的解集．

【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥﹣3；

（2）解不等式②，得：x＜1；

（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)為：

（4）原不等式組的解集為：﹣2≤x＜1．

故答案為：（1）x≥﹣3；

（2）x＜5；

（4）﹣3≤x＜1．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，在數(shù)軸上找到解集的公共部分是解題的關(guān)鍵．

17．（5分）學(xué)校開(kāi)展大課間活動(dòng)，某班需要購(gòu)買(mǎi)A、B兩種跳繩．已知購(gòu)進(jìn)10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元：購(gòu)進(jìn)15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元．求購(gòu)進(jìn)一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？

【分析】設(shè)購(gòu)進(jìn)一根A種跳繩需要x元，一根B種跳繩需要y元，根據(jù)“購(gòu)進(jìn)10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元：購(gòu)進(jìn)15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．

【解答】解：設(shè)購(gòu)進(jìn)一根A種跳繩需要x元，一根B種跳繩需要y元，

根據(jù)題意得：，

解得：．

答：購(gòu)進(jìn)一根A種跳繩需要10元，一根B種跳繩需要15元．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．

18．（5分）有五個(gè)封裝后外觀完全相同的紙箱，且每個(gè)紙箱內(nèi)各裝有一個(gè)西瓜，其中所裝西瓜的重量分別為6kg，7kg，7kg

（1）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選一個(gè)，則所選紙箱里西瓜的重量為8kg的概率是．

（2）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選兩個(gè)，請(qǐng)利用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求所選兩個(gè)紙箱里的西瓜的重量之和為14kg的概率．

【分析】（1）根據(jù)概率公式即可求得；

（2）首先畫(huà)出樹(shù)狀圖，展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩個(gè)數(shù)字之和等于14kg所占的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計(jì)算．

【解答】解：（1）∵一共有5個(gè)箱子，每個(gè)箱子被選取的概率相同，

∴這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選1個(gè)，所選紙箱里西瓜的重量為5kg的概率是，

故答案為：；

（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有20種等可能的結(jié)果，其中所選兩個(gè)紙箱里西瓜的重量之和為14kg的結(jié)果有6種，

∴所選兩個(gè)紙箱里西瓜的重量之和為14kg的概率為．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求概率公式，利用畫(huà)樹(shù)狀圖求概率，熟練掌握和運(yùn)用求概率的方法是解決本題的關(guān)鍵．

四、解答題。（每小題7分，共28分）

19．（7分）如圖，在5×5的方格中，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上

（1）如圖①，畫(huà)出一條線段AC，使AC＝AB；

（2）如圖②，畫(huà)出一條線段EF，使EF、AB互相平分，F(xiàn)均在格點(diǎn)上；

（3）如圖③，畫(huà)出一個(gè)以AB為一邊的四邊形，使其是中心對(duì)稱(chēng)圖形

【分析】（1）AB為長(zhǎng)方形對(duì)角線，作出相等線段即可；

（2）只要保證四邊形AFBE是平行四邊形即可；

（3）同（2）．

【解答】解：如圖：（1）線段AC即為所作，

（2）線段EF即為所作，

（3）四邊形ABHG即為所作．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，平行四邊形的判定，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．

20．（7分）周末，王老師布置了一項(xiàng)綜合實(shí)踐作業(yè)，要求利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一棟樓的高度．小希站在自家陽(yáng)臺(tái)上，看這棟樓底部的俯角為37°，已知兩樓之間的水平距離為30m

（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，在兩個(gè)直角三角形中，由銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，

在Rt△ABE中，∠BAE＝45°，

∴BE＝AE＝30m，

在Rt△ACE中，∠CAE＝37°，

∴CE＝tan37°×AE≈0.75×30＝22.5（m），

∴BC＝BE+CE＝52.7（m），

答：這棟樓的高度大約為52.5m．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．

21．（7分）如圖，大、小兩個(gè)正方形的中心與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行或垂直．反比例函數(shù)（﹣2，﹣1），且經(jīng)過(guò)小正方形的頂點(diǎn)B．

（1）求反比例函數(shù)的解析式．

（2）求圖中陰影部分的面積．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出k即可得到反比例函數(shù)的解析式；

（2）先根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求出小正方形的面積為4m2＝8，再求出大正方形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到大正方形的面積為4×22＝16，根據(jù)圖中陰影部分的面積＝大正方形的面積﹣小正方形的面積即可求出結(jié)果．

【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，

∴k＝xy＝﹣2×（﹣8），

∴k＝2，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；

（2）∵小正方形的中心與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行，

∴設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m），

∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，

∴m＝，

∴m2＝7，

∴小正方形的面積為4m2＝4，

∵大正方形的中心與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行，﹣1），

∴大正方形的面積為4×52＝66，

∴圖中陰影部分的面積＝大正方形的面積﹣小正方形的面積＝16﹣8＝3．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，正方形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

22．（7分）某校九年級(jí)640名學(xué)生在“信息素養(yǎng)提升”培訓(xùn)前、后各參加了一次水平相同的測(cè)試，并以同一標(biāo)準(zhǔn)折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5個(gè)成績(jī)．為了解培訓(xùn)效果，用抽樣調(diào)查的方式從中抽取了32名學(xué)生的2次測(cè)試成績(jī)

訓(xùn)前成績(jī)（分）678910

劃記正正正正

人數(shù)（人）124754

培訓(xùn)后成績(jī)（分）678910

劃記一正正正正

人數(shù)（人）413915

（1）這32名學(xué)生2次測(cè)試成績(jī)中，培訓(xùn)前測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是m，培訓(xùn)后測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是n＜n；（填“＞”、“＜”或“＝”）

（2）這32名學(xué)生經(jīng)過(guò)培訓(xùn)，測(cè)試成績(jī)?yōu)椤?分”的百分比比培訓(xùn)前減少了多少？

（3）估計(jì)該校九年級(jí)640名學(xué)生經(jīng)過(guò)培訓(xùn)，測(cè)試成績(jī)?yōu)椤?0分”的學(xué)生增加了多少人？

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)題意列式計(jì)算即可；

（3）根據(jù)題意列式計(jì)算即可．

【解答】解：∵培訓(xùn)前測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)m＝＝7.5＝7，

∴m＜n；

故答案為：＜；

（2）培訓(xùn)前：×100%×100%，

×100%﹣×100%＝25%，

答：測(cè)試成績(jī)?yōu)椤?分”的百分比比培訓(xùn)前減少了25%；

（3）培訓(xùn)前：640×＝80＝300，

300﹣80＝220，

答：測(cè)試成績(jī)?yōu)椤?0分”的學(xué)生增加了220人．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用樣本估計(jì)總體，中位數(shù)，熟練掌握中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

五、解答題（每小題8分，共16分）

23．（8分）已知A、B兩地之間有一條長(zhǎng)440千米的高速公路．甲、乙兩車(chē)分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，沿此公路相向而行，甲車(chē)先以100千米/時(shí)的速度勻速行駛200千米后與乙車(chē)相遇；乙車(chē)勻速行駛至A地，兩車(chē)到達(dá)各自的目的地后停止（千米）與各自的行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

（1）m＝2，n＝6；

（2）求兩車(chē)相遇后，甲車(chē)距A地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)乙車(chē)到達(dá)A地時(shí)，求甲車(chē)距A地的路程．

【分析】（1）由甲車(chē)先以100千米/時(shí)的速度勻速行駛200千米后與乙車(chē)相遇可求出m＝2，根據(jù)以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小時(shí)到達(dá)B地知n＝6；

（2）用待定系數(shù)法可得y＝60x+80，（2≤x≤6）；

（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所用時(shí)間，即可求得甲車(chē)距A地的路程為300千米．

【解答】解：（1）由題意知：m＝200÷100＝2，

n＝m+4＝4+4＝6，

故答案為：8，6；

（2）設(shè)y＝kx+b，將（2，（5

，

解得，

∴y＝60x+80，（6≤x≤6）；

（3）乙車(chē)的速度為（440﹣200）÷2＝120（千米/小時(shí)），

∴乙車(chē)到達(dá)A地所需時(shí)間為440÷120＝（小時(shí)），

當(dāng)x＝時(shí)，y＝60×，

∴甲車(chē)距A地的路程為300千米．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能正確識(shí)圖．

24．（8分）下面是小明同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．

【作業(yè)】

如圖①，已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，求證：EF＝AE+CF．

證明：如圖，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM，∠A＝∠DCM，∠ADE＝∠MDC．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，

∴∠EDM＝∠EDC+∠MDC＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°．

∵∠EDF＝45°，

∴∠MDF＝∠EDF＝45°，

又∵∠A＝∠DCM＝∠DCB＝90°，

∴點(diǎn)B，F(xiàn)，C，M在一條直線上．

∵DF＝DF，

∴△EDF≌△MDE，

∴EF＝MF＝CM+CF＝AE+CF．

【探究】

（1）在圖①中，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，AE＝1，求EF的長(zhǎng)．

解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，AE＝1，

∴BE＝2，CM＝1．

設(shè)EF＝x，則FM＝EF＝x，F(xiàn)C＝FM﹣CM＝x﹣1，

∴BF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．

在Rt△BEF中，由22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即EF＝；

（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝4，E是AB邊上的點(diǎn)，則CE＝5．

（3）如圖③，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD＝3，則AD的長(zhǎng)為6．

【分析】【作業(yè)】由全等三角形的判定與性質(zhì)可得出答案；

【探究】（1）由勾股定理可得出答案；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則四邊形ABHD是正方形，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DHM．證明△CDE≌△CDM（SAS），得出CE＝CM，設(shè)HM＝AE＝y(tǒng)，則CM＝CE＝y(tǒng)+2，BE＝6﹣y，由勾股定理可得出答案；

（3）把△ABD沿AB翻折得△ABQ，把△ACD沿AC翻折得△ACM，延長(zhǎng)QB、MC交于點(diǎn)G，設(shè)MG＝AM＝AQ＝QG＝a，則GB＝a﹣2，CG＝a﹣3，由勾股定理可得出答案．

【解答】解：【作業(yè)】

證明：將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM，∠A＝∠DCM．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，

∴∠EDM＝∠EDC+∠MDC＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°．

∵∠EDF＝45°，

∴∠MDF＝∠EDF＝45°，

又∵∠A＝∠DCM＝∠DCB＝90°，

∴點(diǎn)B，F(xiàn)，C，M在一條直線上．

∵DF＝DF，

∴△EDF≌△MDE（SAS），

∴EF＝MF＝CM+CF＝AE+CF．

故答案為：△MDE，AE；

【探究】

（1）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，AE＝1，

∴BE＝8，CM＝1．

設(shè)EF＝x，則FM＝EF＝x，

∴BF＝3﹣（x﹣4）＝4﹣x．

在Rt△BEF中，由24+（4﹣x）2＝x5，解得x＝，

即EF＝；

故答案為：，；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°．

∴DE＝DM，∠ADE＝∠MDH，

∵∠EDC＝45°，

∴∠ADE+∠CDH＝∠MDH+∠CDH＝45°，

∴∠EDC＝∠CDM，

又∵CD＝CD，

∴△CDE≌△CDM（SAS），

∴CE＝CM，

∵BC＝2，AD＝AB＝BH＝6，

∴CH＝2，

設(shè)HM＝AE＝y(tǒng)，則CM＝CE＝y(tǒng)+5，

在Rt△BEC中，BE2+CB2＝CE8，

∴（6﹣y）2+22＝（y+2）8，

∴y＝3，

∴CE＝CM＝2+2＝5，

故答案為：5；

（3）把△ABD沿AB翻折得△ABQ，把△ACD沿AC翻折得△ACM、MC交于點(diǎn)G，

由（1）（2）得：四邊形AMGQ是正方形，MC+BQ＝BC，DB＝BQ＝6，

設(shè)MG＝AM＝AQ＝QG＝a，

則GB＝a﹣2，CG＝a﹣3，

在Rt△BGC中，由勾股定理得：（a﹣8）2+（a﹣3）3＝52，

解得：a＝2（負(fù)值舍去），

即AD＝6，

故答案為：6．

【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化及方程的思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．

六、解答題（每小題10分，共20分）

25．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm．P，Q兩點(diǎn)分別從A，點(diǎn)P以3cm/s的速度沿折線AB﹣BC向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q在CA上以，以PM、QM為鄰邊作矩形PMQN．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），矩形PMQN的面積為y（cm）2（注：線段看成面積為0cm2的矩形）

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，x＝；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出x的值．

【分析】（1）由∠AMP＝90°，∠A＝30°，AP＝3xcm，得AM＝APcos30°＝xcm，由∠C＝90°，BC＝2cm，得AB＝2BC＝4cm，則AC＝＝2cm，而CQ＝xcm，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，則點(diǎn)M與點(diǎn)Q重合，所以x+x＝2，則x＝，于是得到問(wèn)題的答案；

（2）先求出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，x＝，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，x＝2，再分三種情況討論，一是當(dāng)0≤x≤時(shí)，y＝x（2﹣x﹣x）＝﹣x2+3x；二是當(dāng)＜x≤時(shí)，y＝x（x+x﹣2）＝x2﹣3x；三是當(dāng)＜x≤2時(shí)，y＝x（6﹣3x）＝﹣3x2+6x；

（3）分三種情況，一是當(dāng)0≤x≤時(shí)，則2﹣x＝×x；二是當(dāng)＜x≤時(shí)，則x﹣2＝×x；三是當(dāng)＜x≤2時(shí)，則x＝（6﹣3x），解方程求出符合題意