數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之四數(shù)列與級數(shù)市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

數(shù)學(xué)試驗(yàn)之四

數(shù)列與級數(shù)陳發(fā)來

中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系/10/10第1頁第1頁1、數(shù)列與級數(shù)數(shù)列

級數(shù)數(shù)列與級數(shù)關(guān)系給定數(shù)列（1），令 ，則數(shù)列（1）等價于級數(shù)（2）。反之，給定級數(shù)（2）令則級數(shù)（2）等價于數(shù)列（1）。/10/10第2頁第2頁給定數(shù)列（1），回答下列問題：1、數(shù)列有什么規(guī)律與性質(zhì)？2、數(shù)列極限是否存在有限？

3、假如數(shù)列極限趨于無窮，那么它趨于無窮階是多大？

4、假如數(shù)列極限不存在，那它在無窮大時極限狀態(tài)又如何？/10/10第3頁第3頁2、Fibonacci數(shù)列Fibonacci數(shù)列由遞推關(guān)系擬定。其前十項(xiàng)為：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，5512345/10/10第4頁第4頁為研究Fibonacci數(shù)列規(guī)律，我們在二維平面上畫出順次連接點(diǎn)列折線圖。/10/10第5頁第5頁易知故有階在與之間。為進(jìn)一步研究特性，在平面坐標(biāo)系中畫連接

折線圖。然后用直線去擬合之./10/10第6頁第6頁/10/10第7頁第7頁猜想將上式代入遞推公式中得由此然而,上式并不滿足進(jìn)一步猜想/10/10第8頁第8頁由此得能夠驗(yàn)證上式是Fibonacci數(shù)列通項(xiàng).由此，F(xiàn)ibonacci數(shù)列趨于無窮階為/10/10第9頁第9頁普通地,給定數(shù)列遞推關(guān)系假設(shè)則滿足/10/10第10頁第10頁因此通項(xiàng)為其中是上述方程根。/10/10第11頁第11頁3、調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)研究數(shù)列極限階./10/10第12頁第12頁首先研究折線圖./10/10第13頁第13頁由于

下面研究極限.從上圖猜想,極限存在.事實(shí)上,易知/10/10第14頁第14頁故知極限存在.進(jìn)而由此猜想用數(shù)據(jù)擬合發(fā)覺,稱為Euler常數(shù)./10/10第15頁第15頁也能夠直接從數(shù)列出發(fā).猜想/10/10第16頁第16頁4、3N+1問題問題：任給自然數(shù)n，假如n是偶數(shù)，則將n除2；假如n是奇數(shù)，則將n乘3加1。重復(fù)上述過程得到一個無窮數(shù)列。比如，上述數(shù)列可遞歸地定義為假如n為偶假如n為奇

/10/10第17頁第17頁我們來研究上述數(shù)列規(guī)律。先從簡樸示例開始。/10/10第18頁第18頁用Mathematica編程驗(yàn)證：1、是否對任意n，從n開始產(chǎn)生數(shù)列最后都落于421循環(huán)中？2、數(shù)列在落于421循環(huán)之前，有什么規(guī)律？/10/10第19頁第19頁對n=27得/10/10第20頁第20頁/10/10第21頁第21頁該問題起源于20世紀(jì)50年代，被稱為Syracuse猜想，角谷猜想，Collatz問題，Hasse算法問題，Ulam問題，Thwaites猜想，簡稱3x+1問題。當(dāng)前有些人驗(yàn)證到猜想仍然成立。/10/10第22頁第22頁一些觀測：假如，則對，為奇數(shù)，則/10/10第23頁第23頁假如對每個n,數(shù)列中有某一項(xiàng)小于n,則猜想成立。對n=4k+1,有對n=16k+3,有/10/10第24頁第24頁假如猜想不成立，則只有下列兩種情況之一1、數(shù)列落于有別于421循環(huán)中；2、不存在循環(huán)。此時，數(shù)列總趨勢會越來越大。/10/10第25頁第25頁引入一些概念：航班：從n開始迭代產(chǎn)生數(shù)列（直至1為止）。如第5次航班為5168421航程：航班長度。如航班5168421長度為5最大飛行高度：一個航班中最大數(shù)字。如第5航班最大飛行高度為16/10/10第26頁第26頁保持高度航程：從起點(diǎn)起連續(xù)不小于起點(diǎn)數(shù)字個數(shù)。如3105168421保持高度航程為5。假如所有航班保持高度航程有限，則3n+1問題成立。航程統(tǒng)計航班：航程不小于所有它前面航班航程。如第7航班，它航程為16。保持高度航程統(tǒng)計航班：保持高度航程不小于所有前面航班保持高度航程。/10/10第27頁第27頁最大飛行高度統(tǒng)計航班：最大飛行高度不小于所有它前面航班最大飛行高度。對于一個固定航班N,考慮它著陸前表示奇變換。其中除2變換稱為偶變換，乘3加1變換成為奇變換。用E(N)表示偶變換數(shù)，O(N)表示奇變換數(shù)。/10/10第28頁第28頁一些統(tǒng)計：保持高度航程：N=118303688851791519,G(N)=1471留數(shù)：N=993,R(N)=1.253142航程：N=1269884180266527,F(N)=2039/10/10第29頁第29頁顯然3N+1問題與下列問題等價：1）所有航班航程有限；2）所有航班保持高度航程有限；3）對所有N,E(N)有限；4）對所有N,O(N)有限。/10/10第30頁第30頁一些摸索：1）航程與起點(diǎn)關(guān)系。/10/10第31頁第31頁上述圖形中有無規(guī)律？用f(n)表示航班n航程。f(n)上界與n存在什么樣函數(shù)關(guān)系？比如，當(dāng)n適當(dāng)大后，是否有f(n)<n？一些航程統(tǒng)計：/10/10第32頁第32頁2）保持高度航程與起點(diǎn)關(guān)系。/10/10第33頁第33頁上述圖形中能看出什么規(guī)律？用G(N)表示保持高度航程。G(N)上界是否與不超出c*log(N)?對N=2^p-1,a_2=3*2^p-2,a_4=3^2*2^p-1,a_2p=3^p-1.于是，G(2^p-1)>2p.一些保持高度航程統(tǒng)計：G(3)=6,G(7)=11,G(27)=96,G(703)=132./10/10第34頁第34頁3）最大飛行高度與起點(diǎn)關(guān)系。/10/10第35頁第35頁用t(n)表示航班n最高飛行高度。上述圖形中有什么規(guī)律？t(n)與n關(guān)系如何？比如，是否有t(n)<K*n*n?/10/10第36頁第36頁偶變換與奇變換關(guān)系：/10/10第37頁第37頁O(N)/E(N)上界是什么？當(dāng)N趨于無窮時，O(N)/E(N)極限是什么？簡樸分析：其中R(N)稱為留數(shù)，它是所有形如項(xiàng)積，這里a_i是航程中奇數(shù)。比如，/10/10第38頁第38頁對于航班3105168421,E(3)=5,O(3)=2,R(3)=(1+1/9)(1+1/15)取對數(shù)得故/10/10第39頁第39頁且假如則/10/10第40頁第40頁一些猜想：（1）R(N)<=R(993)(2)令C(N)=O(N)/E(N),則C(N)<C,C<log2/log3為常數(shù)。

/10/10第41頁第41頁啟發(fā)式論證：注意每一次奇變換后必定是偶變換，但每一次偶變換后能夠是奇變換，也也許是偶變換。假設(shè)這種也許性是同樣。從某一個N開始，我們考察航班高度改變：（1）奇變換后做偶變換結(jié)果為奇數(shù)，也許性1/2，高度變換3/2；（2）奇變換后做偶變換結(jié)果為偶數(shù)，也許/10/10第42頁第42頁性為1/4，高度改變3/4；奇變換后再作三次偶改變，也許性1/8，高度改變3/8；………………..平均改變高度：高度最后下降。/10/10第43頁第43頁用c表示保持高度航程中奇變換次數(shù)平均值。利用上述模型能夠證實(shí)，c=3.49265….對3到000000之間航班保持高度航程中奇次變換取平均值，可得到3.4926…。這兩個結(jié)果驚人一致性使我們相信上述啟發(fā)式模型正確性。/10/10第44頁第44頁一些理論結(jié)果：（1）R.Terra和C.Evertt證實(shí)了：幾乎所有航班都會下降到它起點(diǎn)下列。（2）存在常數(shù)c,當(dāng)n足夠大時，在比n小航班中，能夠在1上著陸航班個數(shù)不小于或等于n^c.1978年，R.Crandal首先給出c=0.05;1989年I.Krasikov得到c=0.43;1993年G.Wirsching給出c=0.48;1995年D.Applegate和J.Lagarias得到c=0.81./10/10第45頁第45頁會不會永遠(yuǎn)證不出來？自從哥德爾發(fā)表他著名不完備定理以來，每次數(shù)學(xué)家碰到一個困難問題，都會疑神疑鬼—這會不會證不出來？哥德爾不完備定理，在包括皮亞諾自然數(shù)公理系統(tǒng)中，總有不可證實(shí)命題存在。因而3N+1問題有也許不能證實(shí)，即使它是錯誤。比如，我們也許發(fā)覺一個航班，/10/10第46頁第46頁它非得越來越高，但無論如何不能證實(shí)它永遠(yuǎn)也不會著陸到1。數(shù)學(xué)家J.Conway（創(chuàng)造了生命游戲）定義了一個類似3N+1問題不可證實(shí)命題。但他辦法仍然不能闡明3N+1是否能夠證實(shí)。/10/10第47頁第47頁各種改變與推廣（1）推廣到負(fù)數(shù)。能夠有三個不同循環(huán)：-1-2-1-5-14-7-20-10-5-17-50-25-74-37-110-55-164-82-41-122-61-182-91-272-136-68-34-17是否有更多循環(huán)？/10/10第