Excel回歸結(jié)果的解讀

#Excel回歸結(jié)果的解讀利用Excel的數(shù)據(jù)分析進(jìn)行回歸，可以得到一系列的統(tǒng)計(jì)參量。下面以連續(xù)10年積雪深度和灌溉面積序列（圖1）為例給予詳細(xì)的說明。AIBBC1年份最大積雪洙度風(fēng)米）灌溉面積y（干田〕2197115.228.63197210.419.34197321.240.5519741S.635.66197526.448.9719恥23.4458197713.529.29197S1&.734.11019792446.71119S019.137.4圖1連續(xù)10年的最大積雪深度與灌溉面積（1971—1980）回歸結(jié)果摘要（SummaryOutput）如下（圖2）：ABCDEFGHISIHMAP.YCUTPUT回歸統(tǒng)卜Multiple0.989416RSqusre0.978944AdJusted0.976312標(biāo)推誤差1.412924觀測價(jià)10方差分析df弟HSF;mfic：ELticeF回歸分析1748.8542748.8542371.94535.425-03殘差816.106762.013345總計(jì)9764.961Cnpffir.i亡rr標(biāo)淮誤莘tS：tatf.nwpTAE%TTpnpr9硏F限95.01匕限95.刖Iniereep12.3564381.8278761.2391670.233363-1.858656.5T153-1.858656.57153最大積雪?1.8129210.09403219.285885.42E-C81.5961512.0296911.5961512.029691RESIDUALOUTPUTPROBABILITYOUTPUT觀測值體溉面和y殘差踴準(zhǔn)殘差耳分比排弐面積辛〔千田|129.91284-1.31284-0.98136519.3221.21082-1.910B2-1.428361528.6540.79035-0.29035-0.Z1TQ5鹽.J\36.07677-0.47677-0.356393534.1550.21755-1.31755-0.984894535.6圖2利用數(shù)據(jù)分析工具得到的回歸結(jié)果第一部分：回歸統(tǒng)計(jì)表這一部分給出了相關(guān)系數(shù)、測定系數(shù)、校正測定系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)誤差和樣本數(shù)目如下(表1):表1回歸統(tǒng)計(jì)表回歸統(tǒng)計(jì)Multiple0.989416RSquare0.978944Adjusted0.976312標(biāo)淮誤差1.418924觀測值10逐行說明如下：Multiple對應(yīng)的數(shù)據(jù)是相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient)，即R=0.989416。RSquare對應(yīng)的數(shù)值為測定系數(shù)(determinationcoefficient)，或稱擬合優(yōu)度(goodnessoffit),它是相關(guān)系數(shù)的平方，即有R2=0.9894162=0.978944。Adjusted對應(yīng)的是校正測定系數(shù)(adjusteddeterminationcoefficient)，計(jì)算公式為1_(n二1)(1—R2)n一m一1式中n為樣本數(shù)，m為變量數(shù)，R2為測定系數(shù)。對于本例，n=10，m=1，R2=0.978944，代入上式得R=1_(1°一1)(1一°.978944)=0.976312a10一1一1標(biāo)準(zhǔn)誤差(standarderror)對應(yīng)的即所謂標(biāo)準(zhǔn)誤差，計(jì)算公式為這里SSe為剩余平方和，可以從下面的方差分析表中讀出，即有SSe=16.10676,代入上式可得I1s二*16.10676二1.41892410—1—1最后一行的觀測值對應(yīng)的是樣本數(shù)目，即有n=10。第二部分，方差分析表方差分析部分包括自由度、誤差平方和、均方差、F值、P值等(表2)。表2方差分析表(AN0VA)方差分析dfSS1ISFficance回歸分析殘差總計(jì)1748.S542T48.8542371.94535.42E-08816.10&7&2.0133459764.961逐列、分行說明如下：第一列df對應(yīng)的是自由度(degreeoffreedom)，第一行是回歸自由度dfr,等于變量數(shù)目,即dfr=m；第二行為殘差自由度dfe，等于樣本數(shù)目減去變量數(shù)目再減1，即有dfe=n-m-1；第三行為總自由度dft,等于樣本數(shù)目減1,即有dft=n-1。對于本例，m=1，n=10，因此，

dfr=l,dfe=n-m-l=8,dft=n-l=9。第二列SS對應(yīng)的是誤差平方和，或稱變差。第一行為回歸平方和或稱回歸變差SSr,即有SSr二工(y-y)2二748.8542iii=1它表征的是因變量的預(yù)測值對其平均值的總偏差。SSr又稱組間離差平方和，反應(yīng)出不同的因子對樣本波動(dòng)的影響第二行為剩余平方和(也稱殘差平方和)或稱剩余變差SSe，即有SSe=工(y-y)2=16.10676iii=1它表征的是因變量對其預(yù)測值的總偏差，這個(gè)數(shù)值越大，意味著擬合的效果越差。上述的y的標(biāo)準(zhǔn)誤差即由SSe給出。SSe又稱組內(nèi)離差平方和，是不考慮組間方差的純隨機(jī)影響第三行為總平方和或稱總變差SSt，即有SSt=￡(y-y)2=764.961iii=1它表示的是因變量對其平均值的總偏差。容易驗(yàn)證748.8542+16.10676=764.961,即有SSr+SSe=SSt總離差平方和=組間離差平方和+組內(nèi)離差平方和丄樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)有兩個(gè)來源：一個(gè)是隨機(jī)波動(dòng)，一個(gè)是因子影響。樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)，可通過總離差平方和來反映。這個(gè)總離差平方和可分解為組間方差和組內(nèi)方差兩部分。而測定系數(shù)就是回歸平方和在總平方和中所占的比重，即有R2=H=翳=0.978944顯然這個(gè)數(shù)值越大，擬合的效果也就越好。方差、均方差：表示一組數(shù)相對平均值的離散程度丄R2：預(yù)測值與實(shí)際值相對平均值的分布情況比較，越接近1,說明預(yù)測值和實(shí)際值的分布情況越接近。第四列MS對應(yīng)的是均方差，它是誤差平方和除以相應(yīng)的自由度得到的商。第一行為回歸均方差MSr，即有MSr=竺=748.8542=748.8542第二行為剩余均方差MSe第二行為剩余均方差MSe，即有空=業(yè)空=2.013345MSe=dfe8顯然這個(gè)數(shù)值越小，擬合的效果也就越好。對于一元線性回歸，F(xiàn)值的計(jì)算公式為第四列對應(yīng)的是對于一元線性回歸，F(xiàn)值的計(jì)算公式為dfeR2(1-R2)式中R2=0.978944,dfe=10-l-l=8,因此8*0978944F=80.978944=371.94531-0.978944丄方差、均方差：表示一組數(shù)相對平均值的離散程度丄F檢驗(yàn)完整公式SSRF=MSR=MSEnSSEn-m-1丄F檢驗(yàn)法是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher提出的，主要通過比較兩組數(shù)據(jù)的均方差，以確定他們的精密度是否有顯著性差異。F<F表表明兩組數(shù)據(jù)沒有顯著差異；F三F表表明兩組數(shù)據(jù)存在顯著差異。丄此處的F檢驗(yàn)是比較回歸均方差（組間均方差）和剩余均方差（組內(nèi)均方差），如果組間均方差明顯大于組內(nèi)均方差，說明數(shù)據(jù)波動(dòng)的主要來源是組間均方差，因子是引起波動(dòng)的主要原因，可認(rèn)為因子影響是顯著的。第五列SignificanceF對應(yīng)的是在顯著性水平下的Fa臨界值，其實(shí)等于P值，即棄真概率。所謂“棄真概率”即模型為假的概率，顯然1-P便是模型為真的概率?？梢?，P值越小越好。對于本例，P=0.0000000542v0.0001，故置信度達(dá)到99.99%以上。第三部分，回歸參數(shù)表回歸參數(shù)表包括回歸模型的截距、斜率及其有關(guān)的檢驗(yàn)參數(shù)（表3）。表3回歸參數(shù)表CoefficiEnts標(biāo)準(zhǔn)誤差tStatIntercept2.35S4379291.S278761.289167最大積雪探度工（米）1.8129210650.09400219.28588P~valueLower95^Upper9隣下限95.0%上限95血0.233363-1.858G56.5715301-1.6.57153015.42E-O01.5961512.02969131.59615082.0296913第一列Coefficients對應(yīng)的模型的回歸系數(shù)，包括截距a=2.356437929和斜率B=1.812921065，由此可以建立回歸模型Y=2.3564+1.8129xTOC\o"1-5"\h\zIIY=2.3564+1.8129x+￡III第二列為回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差（用s或S表示），誤差值越小，表明參數(shù)的精確度越高。AB這個(gè)參數(shù)較少使用，只是在一些特別的場合出現(xiàn)。例如L.Benguigui等人在WhenandwhereIsacityfractal?一文中將斜率對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差值作為分形演化的標(biāo)準(zhǔn)，建議采用0.04作為分維判定的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)（參見EPB2000）。不常使用標(biāo)準(zhǔn)誤差的原因在于：其統(tǒng)計(jì)信息已經(jīng)包含在后述的t檢驗(yàn)中。第三列tStat對應(yīng)的是統(tǒng)計(jì)量t值，用于對模型參數(shù)的檢驗(yàn)，需要查表才能決定t值是

回歸系數(shù)與其標(biāo)準(zhǔn)誤差的比值，即有at=-asabt=-bsb根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)容易算出：2.3564381.812921t==1.289167，t——19.28588a1.827876b0.094002對于一元線性回歸，t值可用相關(guān)系數(shù)或測定系數(shù)計(jì)算，公式如下Rt=r:1-R2\n—m—1將R=0.989416、n=10、m=1代入上式得到=19.28588=19.28588t==：1—0.9894162V10—1—1對于一元線性回歸，F(xiàn)值與t值都與相關(guān)系數(shù)R等價(jià)，因此，相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)就已包含了這部分信息。但是，對于多元線性回歸，t檢驗(yàn)就不可缺省了。第四列Pvalue對應(yīng)的是參數(shù)的P值（雙側(cè)）。當(dāng)PV0.05時(shí)，可以認(rèn)為模型在a=0.05的水平上顯著，或者置信度達(dá)到95%；當(dāng)PV0.01時(shí)，可以認(rèn)為模型在a=0.01的水平上顯著，或者置信度達(dá)到99%；當(dāng)PV0.001時(shí)，可以認(rèn)為模型在a=0.001的水平上顯著，或者置信度達(dá)到99.9%。對于本例，P=0.0000000542v0.0001，故可認(rèn)為在a=0.0001的水平上顯著，或者置信度達(dá)到99.99%。P值檢驗(yàn)與t值檢驗(yàn)是等價(jià)的，但P值不用查表，顯然要方便得多。最后幾列給出的回歸系數(shù)以95%為置信區(qū)間的上限和下限?？梢钥闯?，在a=0.05的顯著水平上，截距的變化上限和下限為-1.85865和6.57153，即有—1.85865<a<6.57153斜率的變化極限則為1.59615和2.02969，即有1.59615<b<2.02969第四部分，殘差輸出結(jié)果這一部分為選擇輸出內(nèi)容，如果在“回歸”分析選項(xiàng)框中沒有選中有關(guān)內(nèi)容，則輸出結(jié)果不會(huì)給出這部分結(jié)果。殘差輸出中包括觀測值序號（第一列，用i表示），因變量的預(yù)測值（第二列，用y.表i示），殘差（residuals，第二列，用e,表示）以及標(biāo)準(zhǔn)殘差（表4）。表4殘差輸出結(jié)果觀測值預(yù)測權(quán)溉面積諷千田〕殘差標(biāo)準(zhǔn)殘差129.912S3S11-1.31284-0.98136221.210817-1.91082-1.42836340.7903&45-0.29036-0.21705436.07676973-0.47677-0.35639550.21755404-1.31755-0.98489&44.778790840.2212090.165356726.S3087232.3691281.770947832.632219711.467781.097181945.S665434S0.8334570.6230171036.983230270.416770.31154預(yù)測值是用回歸模型y二2.3564+1.8129xii計(jì)算的結(jié)果，式中X.即原始數(shù)據(jù)的中的自變量。從圖1可見，x1=15.2，代入上式，得y二2.3564+1.8129x二2.3564+1.8129*15.2二29.9128411其余依此類推。殘差e.的計(jì)算公式為e二y-yiii從圖1可見，y1=28.6，代入上式，得到e二y-y二28.6-29.91284=-1.31284111其余依此類推。標(biāo)準(zhǔn)殘差即殘差的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果，借助均值命令average和標(biāo)準(zhǔn)差命令stdev容易驗(yàn)證，殘差的算術(shù)平均值為0標(biāo)準(zhǔn)差為1.337774。利用求平均值命令standardize（殘差的單元格范圍，均值，標(biāo)準(zhǔn)差）立即算出表4中的結(jié)果。當(dāng)然，也可以利用數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化公式z—zz—zTOC\o"1-5"\h\zz*=i=i-°x.'var（z）bj逐一計(jì)算。將殘差平方再求和，便得到殘差平方和即剩余平方和，即有SSe=工e2=工（y一y）2=16.10676iiii=1i=1利用Excel的求平方和命令sumsq容易驗(yàn)證上述結(jié)果。以最大積雪深度x.為自變量，以殘差e^為因變量，作散點(diǎn)圖，可得殘差圖（圖3）。殘差點(diǎn)列的分布越是沒有趨勢（沒有規(guī)則，即越是隨機(jī)），回歸的結(jié)果就越是可靠。用最大積雪深度x.為自變量，用灌溉面積y.及其預(yù)測值y為因變量，作散點(diǎn)圖，可得j人i線性擬合圖（圖4）。最大積雪深度x（米）ResidualPlot1差0殘01差0殘0-1-2-310152025最大積雪深度x（米）圖3殘差圖最大積雪深度x（最大積雪深度x（米）LineFitPlotooooooOooooooO654321千面溉灌?灌溉面積y（千畝）-預(yù)測灌溉面積y（千畝）102030最大積雪深度