結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)習(xí)課件

第五章構(gòu)造位移計(jì)算與虛功DisplacementandVirtualWork1/108§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系位移目錄§5-2構(gòu)造位移計(jì)算一般公式§5-3荷載作用下位移計(jì)算§5-4荷載作用下位移計(jì)算舉例§5-5、圖乘法§5-6、靜定構(gòu)造溫度變化時(shí)位移計(jì)算§5-9互等定理2/108§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系位移1、推導(dǎo)位移計(jì)算一般公式基本思緒

第一步：由剛體體系虛位移原理（理論力學(xué)）得出剛體體系虛力原理。并由此討論靜定構(gòu)造由于支座移動(dòng)而引發(fā)位移計(jì)算問題。

第二步：討論靜定構(gòu)造由于局部變形引發(fā)位移。由剛體體系虛力原理導(dǎo)出其位移計(jì)算公式。

第三步：討論靜定構(gòu)造由于整體變形引發(fā)位移。應(yīng)用第二步導(dǎo)出局部變形引發(fā)位移計(jì)算公式，再應(yīng)用疊加原理就能夠推導(dǎo)出整體變形引發(fā)位移計(jì)算公式。3/1082、構(gòu)造位移計(jì)算概述（1）構(gòu)造位移種類絕對(duì)位移：

線位移和角位移——桿件構(gòu)造中某一截面位置或方向變化。相對(duì)位移：

相對(duì)線位移和相對(duì)角位移——兩個(gè)截面位移差值或和。絕對(duì)位移和相對(duì)位移統(tǒng)稱。廣義位移：4/108FPC'DD'ABC⊿CH⊿CVφCφCD⊿DV⊿CD絕對(duì)位移相對(duì)位移5/108

（2）引發(fā)位移原因荷載作用；溫度變化和材料漲縮；支座沉陷和制造誤差。（3）位移計(jì)算目標(biāo)

檢查構(gòu)造剛度：位移是否超出允許位移限制。為超靜定構(gòu)造計(jì)算打基礎(chǔ)。其他：如施工措施、建筑起拱、預(yù)應(yīng)力等。6/108

（4）體系（構(gòu)造）物理特性線性變形體系（線彈性體）：應(yīng)力、應(yīng)變滿足虎克定律；

變形微小：變形前后構(gòu)造尺寸、諸力作用位置不變，位移計(jì)算可用疊加原理；體系幾何不變，約束為抱負(fù)約束。非線性體系：物理非線性；幾何非線性（大變形）。7/108（5）變形體位移計(jì)算辦法及應(yīng)滿足條件辦法：用虛功原理推導(dǎo)出位移計(jì)算公式。計(jì)算時(shí)應(yīng)滿足條件：靜力平衡；變形協(xié)調(diào)條件；物理?xiàng)l件。8/1083、虛功原理一種應(yīng)用形式

——虛力原理（虛設(shè)力系，求位移）

（1）虛功概念功兩個(gè)要素——力和位移

W=FP×⊿

功=力×對(duì)應(yīng)位移FPFP對(duì)應(yīng)位移⊿W=2FP×（r×φ）

=M×φ力與位移互相對(duì)應(yīng)。FPFPABA’OB’φr9/108虛功使力作功位移不是由該力本身引發(fā)，則：作功力與對(duì)應(yīng)于力位移彼此獨(dú)立無關(guān)。虛功=力×對(duì)應(yīng)于力位移獨(dú)立無關(guān)10/108力狀態(tài)c3位移狀態(tài)（2）兩種狀態(tài)FP1FP2M1FR1FR2FR3c1c2⊿2⊿1φ111/108

兩種狀態(tài)既然力與位移彼此獨(dú)立無關(guān)，故可將力與位移視為兩種獨(dú)立狀態(tài)。

力狀態(tài)；位移狀態(tài)。外力虛功可表達(dá)為：W=FP1×△1+FP2×△2+M1×φ1

+FR1×c1+FR2×c1+FR3×c3=∑FP×⊿

FP：包括力狀態(tài)中所有力（力偶）及支座反力，稱為廣義力。

△：包括位移狀態(tài)中與廣義力對(duì)應(yīng)廣義位移。12/108（3）、剛體體系虛功原理（虛位移原理、虛力原理）

對(duì)于具有抱負(fù)約束剛體體系，其虛功原理為：設(shè)體系上作用任意平衡力系，又設(shè)體系發(fā)生符合約束條件無限小剛體體系位移，則積極力在位移上所作虛功總和恒等于零。即：

W=0

抱負(fù)約束——約束力在也許位移上所作功恒等于零約束，如：光滑鉸鏈、剛性鏈桿等。剛體

——具有抱負(fù)約束質(zhì)點(diǎn)系。剛體內(nèi)力在剛體也許位移上所作功恒為零。13/108

虛功原理（又稱虛位移原理、虛力原理）用于討論靜力學(xué)問題非常方便，是分析力學(xué)基礎(chǔ)。由于虛功原理中平衡力系與也許位移無關(guān)，因此既可把位移視為虛設(shè)，也可把力系視為虛設(shè)。根據(jù)虛設(shè)對(duì)象不一樣，虛功原理有兩種應(yīng)用形式，處理兩類不一樣問題。虛功原理兩種不一樣應(yīng)用，不但適用于剛體體系，也適用于變形體體系。14/108（4）、虛設(shè)（擬）力狀態(tài)——求位移例1：

圖示簡(jiǎn)支梁，支座A向上移動(dòng)一已知距離c1

，目前擬求B點(diǎn)豎向線位移ΔB。c1abBAC△B解：

虛設(shè)力狀態(tài)，在擬求位移ΔB方向上加一單位荷載FP=1，形成平衡力系。位移狀態(tài)BACFP=1FR1=-b/a虛設(shè)力狀態(tài)15/108虛功方程：△B

·1+c1·FR1=0

由平衡方程求出：FR1=-b/a注：

a、虛設(shè)力系，應(yīng)用虛功原理，稱為虛力原理。若設(shè)FP=1，稱為虛單位荷載法。

b、虛功方程在此實(shí)質(zhì)上是幾何方程。即利用靜力平衡求解幾何問題。

c、方程求解關(guān)鍵，在于擬求⊿方向虛設(shè)單位荷載，利用力系平衡求出與c1對(duì)應(yīng)FR1,即利用平衡方程求解幾何問題。

上述辦法也可稱為“單位荷載法”

位移狀態(tài)c1abBAC△BBACFP=1FR1=-b/a虛設(shè)力狀態(tài)△B=-FR1·c1=b/a·c116/108

d、通過上例可推出靜定構(gòu)造支座移動(dòng)時(shí)，位移計(jì)算一般公式。

注：由于靜定構(gòu)造在支座移動(dòng)作用下，不產(chǎn)生反力、內(nèi)力，也不引發(fā)應(yīng)變；因此屬于剛體體系位移問題，可用剛體虛功原理求解。17/1084、支座移動(dòng)時(shí)靜定構(gòu)造位移計(jì)算

當(dāng)支座有給定位移ck時(shí)（也許不止一種），

（a）沿?cái)M求位移⊿方向虛設(shè)對(duì)應(yīng)單位荷載，并求出單位荷載作用下支座反力FRK。（b）令虛擬力系在實(shí)際位移上作虛功，寫虛功方程：（c）由虛功方程，解出所求位移：18/108

圖示三鉸剛架，支座B下沉c1，向右移動(dòng)c2。求鉸C豎向位移⊿CV和鉸左右截面相對(duì)角位移φC。φC

例:

c2

c1

l/2l/2lCAB⊿CV

19/108φCc2

c1

l/2l/2lCAB⊿CV

CABFP=1實(shí)際狀態(tài)虛擬狀態(tài)1/21/21/41/420/108φCc2

c1

l/2l/2lCAB⊿CV

CAB實(shí)際狀態(tài)虛擬狀態(tài)1/l1/lFP=1（）21/108§5-2構(gòu)造位移計(jì)算一般公式

構(gòu)造屬于變形體，在一般情況下，構(gòu)造內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)變。構(gòu)造位移計(jì)算問題，屬于變形體體系位移計(jì)算問題。采取辦法仍以虛功法最為普遍。推導(dǎo)位移計(jì)算一般公式有幾個(gè)途徑：

1、根據(jù)變形體體系虛功方程，導(dǎo)出位移計(jì)算一般公式。（§5-8）

2、應(yīng)用剛體體系虛功原理，導(dǎo)出局部變形位移公式；然后應(yīng)用疊加原理，導(dǎo)出變形體體系位移計(jì)算公式。22/108

一、局部變形時(shí)靜定構(gòu)造位移計(jì)算舉例設(shè)靜定構(gòu)造中某個(gè)微段出現(xiàn)局部變形，微段兩端相鄰截面出現(xiàn)相對(duì)位移。而構(gòu)造其他部分沒有變形，仍然是剛體。因此，當(dāng)某個(gè)微段有局部變形時(shí)，靜定構(gòu)造位移計(jì)算問題能夠歸結(jié)為當(dāng)該處相鄰截面有相對(duì)位移時(shí)剛體體系位移計(jì)算問題。舉例說明。23/108例：懸臂梁在截面B有相對(duì)轉(zhuǎn)角θ，求A點(diǎn)豎向位移ΔAV（θ是由于制造誤差或其他原因造成）。ΔABCa aθA1ΔABCθA1ABCM1

解：①、在B處加鉸（將實(shí)際位移狀態(tài)明確地表達(dá)為剛體體系位移狀態(tài)）。②、A點(diǎn)加單位荷載FP=1，在鉸B處虛設(shè)一對(duì)彎矩M（為保持平衡）M=1?a（5-5）③、虛功方程：

1×ΔAV-M×θ=0

ΔAV

=Mθ=aθ(↑)24/108例:

懸臂梁在截面B有相對(duì)剪切位移η，求A點(diǎn)與桿軸成α角斜向位移分量Δ（η是由于制造誤差或其他原因造成）。ABCa aηA1B1αΔABCηA1B1αΔFQ1ABC

解：①在B截面處加機(jī)構(gòu)如圖（將實(shí)際位移狀態(tài)明確地表達(dá)為剛體體系位移狀態(tài)）。③虛功方程：②A點(diǎn)加單位荷載FP=1，在鉸B處虛設(shè)一對(duì)剪力FQ（為保持平衡）25/108二、局部變形時(shí)位移公式基本思緒：

把局部變形時(shí)位移計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為剛體體系位移計(jì)算問題。

如圖所示，已知只有B點(diǎn)附近微段ds有局部變形，構(gòu)造其他部分沒有變形。求A點(diǎn)沿α方向位移分量d⊿

d⊿局部變形有三部分：軸向伸長(zhǎng)應(yīng)變?chǔ)?/p>

平均剪切應(yīng)變?chǔ)?

軸線曲率

κ

（κ=1/R，R為桿件軸向變形后曲率半徑）26/108

位移狀態(tài)（實(shí)際）力狀態(tài)（虛擬）（1）兩端截面三種相對(duì)位移對(duì)應(yīng)內(nèi)力相對(duì)軸向位移dλ=εds相對(duì)剪切位移dη=γ0ds相對(duì)轉(zhuǎn)角dθ=ds/R=κds

相對(duì)位移dλ、dη、dθ是描述微段總變形三個(gè)基本參數(shù)。軸力FN剪力FQ彎矩M27/108基本思緒：dηABCABCsdsA1αdΔdθdλdsdλBC dηdθR1αFNFQMFNFQMFNFQM28/108

（2）ds趨近于0，三種相對(duì)位移還存在。相稱于整個(gè)構(gòu)造除B截面發(fā)生集中變形（dλ，dη，dθ）外，其他部分都是剛體，沒有任何變形。屬剛體體系位移問題。（3）應(yīng)用剛體體系虛功原理，根據(jù)截面B相對(duì)位移可分別求出點(diǎn)A位移d⊿，局部變形位移公式：（5-8）彎曲軸向剪切29/108三、構(gòu)造位移計(jì)算一般公式由疊加原理：

總位移⊿=疊加每個(gè)微段變形在該點(diǎn)(B)處引發(fā)微小位移d⊿即：若構(gòu)造有多種桿件，則：（5-9）單位荷載虛功=所求位移30/108

考慮支座有給定位移，則可得出構(gòu)造位移計(jì)算一般公式：其中包括：彎曲變形對(duì)位移影響（5-11）軸向變形對(duì)位移影響（5-12）剪切變形對(duì)位移影響（5-13）支座移動(dòng)對(duì)位移影響（5-10）（5-14）31/108討論：

（1）式（5-10）根據(jù)剛體體系虛功原理和疊加原理導(dǎo)出，適用于小變形情況。

（2）式(5-10)實(shí)質(zhì)上是幾何方程，給出已知變形（內(nèi)部變形κ、ε、γ0

和支座位移ck），與擬求位移⊿之間關(guān)系。32/108

（3）、式（5-10）是普遍公式。（由于在推導(dǎo)中未包括變形原因、構(gòu)造類型、材料性質(zhì)）可考慮任何情況：①、變形類型：彎曲、軸向、剪切變形。②、產(chǎn)生變形原因：荷載、溫度變化、支座移動(dòng)等。③、構(gòu)造類型：梁、剛架、拱、桁架等靜定、超靜定。④、材料性質(zhì)：彈性、非彈性。33/108（4）、變形體虛功原理：將式（6-10）改寫為：（5-15）外力虛功W=內(nèi)虛功Wi

（5-16）可視為變形體虛功原理一種體現(xiàn)形式。34/108四、構(gòu)造位移計(jì)算一般步驟

已知構(gòu)造桿件各微段應(yīng)變?chǔ)?、ε、?（根據(jù)引發(fā)變形原因而定），支座移動(dòng)ck。求構(gòu)造某點(diǎn)沿某方向位移⊿。1、沿欲求⊿方向設(shè)FP=1。2、根據(jù)平衡條件求出FP=1作用下M、FN、FQ、FR。3、根據(jù)公式（5-10）可求出⊿。注意正負(fù)號(hào)：②、公式（8-10）中各乘積表達(dá)，力與變形方向一致，乘積為正，反之為負(fù)。①、求得⊿為正，表白位移⊿實(shí)際方向與所設(shè)單位荷載方向一致。35/108五、廣義位移計(jì)算廣義位移：某截面沿某方向線位移；某截面角位移；某兩個(gè)截面相對(duì)位移；等。

在利用（5-10）求廣義位移時(shí)，必須根據(jù)廣義位移性質(zhì)虛設(shè)廣義單位荷載。ABqθAθBΔABMA

=1MB=1

如：右圖所示簡(jiǎn)支梁，求AB兩截面相對(duì)角位移。求解過程：可先求θA和θB，再疊加。也可直接求出θAB=θA+θB36/108

廣義位移和廣義虛單位荷載示例廣義位移廣義虛單位荷載（外力）虛功BAΔAΔBBAFP=1FP=11·⊿A+1·⊿B

=⊿A+⊿B=⊿ABABlABBAθABΔAΔBlAB1lAB11/lAB·⊿A+1/lAB·⊿B=(⊿A+⊿B)/lAB=θAB37/108

廣義位移和廣義虛單位荷載示例廣義位移廣義虛單位荷載（外力）虛功ABBACClilj1li1li1lj1lj1/li·⊿Ai+1/li·⊿Bi

+1/lj·⊿Bj+1/lj·⊿Cj=(⊿Ai+⊿Bi)/li+

(⊿Bj+⊿Cj)/lj=θi+θj=θijCABCAB111·

θCL+1·

θCR=θCL+θCR=θC38/108§5-3

荷載作用下位移計(jì)算1、荷載作用下構(gòu)造位移計(jì)算公式

根據(jù)公式（5-9）

本節(jié)討論中，設(shè)材料是線彈性。在此，微段應(yīng)變

κ、

ε、

γ0

是由荷載引發(fā)（實(shí)際位移狀態(tài)），由荷載—內(nèi)力—應(yīng)力—應(yīng)變次序求出。39/108由材料力學(xué)公式可知：

荷載作用下對(duì)應(yīng)彎曲、拉伸、剪切應(yīng)變可表達(dá)為：彎曲應(yīng)變：軸向應(yīng)變：剪切應(yīng)變：（5-18）

40/108式中：①FNP，

FQP

，

MP是荷載作用下，構(gòu)造各截面上軸力，剪力，彎矩。注意這是在實(shí)際狀態(tài)下內(nèi)力。②E，G材料彈性模量和剪切彈性模量。③A，I桿件截面面積和慣性矩。④EA，GA，EI桿件截面抗拉，抗剪，抗彎剛度。⑤k是與截面形狀有關(guān)系數(shù)（剪應(yīng)力分布不均勻系數(shù)），計(jì)算公式：（5-26）41/108

將（5-18）代入（5-9）可得荷載作用下平面桿件構(gòu)造彈性位移計(jì)算一般公式：（5-19）公式將位移計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為兩種狀態(tài)下內(nèi)力計(jì)算問題。正負(fù)號(hào)要求：FN

、FNP

拉力為正；FQ、FQP

同材料力學(xué)M、MP使桿件同側(cè)纖維受拉時(shí)，乘積為正。42/1082、各類構(gòu)造位移計(jì)算公式

（1）梁和剛架：位移主要由彎曲變形引發(fā)。

（2）桁架：各桿只有軸力，且各桿截面和各桿軸力沿桿長(zhǎng)一般為常數(shù)。43/108

（3）組合構(gòu)造：某些桿件主要受彎，某些桿件只有軸力。

（4）拱：①扁平拱及拱合理軸線與拱軸相近時(shí)：②一般情況：44/108思考:

（1）公式（5-9）與（5-19）中各量值物理意義。

（2）公式（5-9）適用條件？公式（5-19）適用條件？

（3）若體系為非彈性體系，荷載作用下計(jì)算構(gòu)造位移是否可用公式（5-19）？45/108§5-4荷載作用下位移計(jì)算舉例例:

求圖示簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)C豎向位移⊿CV

和截面B轉(zhuǎn)角φB。簡(jiǎn)支梁位移計(jì)算。ABCl/2l/2q⊿CVφB解：1、求C點(diǎn)豎向位移。實(shí)際狀態(tài)虛擬狀態(tài)如右圖；ABCFP=1x1/2虛擬狀態(tài)實(shí)際狀態(tài)

虛擬狀態(tài)

因?qū)ΨQ性，只計(jì)算二分之一。46/108

討論剪切變形和彎曲變形對(duì)位移影響：

設(shè)簡(jiǎn)支梁為矩形截面，k=1.2,I/A=h2

/12,

橫向變形系數(shù)μ=1/3,E/G=2(1+μ)=8/3。

⊿γ/

⊿κ=(kql2/8GA)/(5ql4/384EI)=9.6/l2·k·E/G·I/A=2.56(h/l)2ABCl/2l/2q⊿CVφBABCFP=1x1/2彎曲變形引發(fā)位移

討論剪切變形和彎曲變形對(duì)位移影響：剪切變形引發(fā)位移47/108當(dāng)

h/l=1/10時(shí),則：⊿γ

/

⊿κ=2.56﹪

對(duì)一般梁來說，可略去剪切變形對(duì)位移影響。

但當(dāng)梁h/l＞1/5時(shí),則：⊿γ

/

⊿κ=10.2﹪

對(duì)于深梁，剪切變形對(duì)位移影響不可忽視。48/108ABCl/2l/2q⊿CVφB實(shí)際狀態(tài)ABCx虛擬狀態(tài)2、求截面B轉(zhuǎn)角φB

。M=11/l1/l虛擬狀態(tài)如圖所示。實(shí)際狀態(tài)虛擬狀態(tài)（逆時(shí)針）

計(jì)算成果為負(fù)，說明實(shí)際位移與虛擬力方向相反。49/108

圖示一屋架，屋架上弦桿和其他壓桿采取鋼筋混凝土桿，下弦桿和其他拉桿采取鋼桿。試求頂點(diǎn)C豎向位移。解：

（1）求FNP先將均布荷載q化為結(jié)點(diǎn)荷載FP=ql/4。求結(jié)點(diǎn)荷載作用下FNP

。例:桁架位移計(jì)算。AEDCBGF18cm×24cm1?2218cm×18cm3?222?22AFCDEGFPFPFP0.278l0.222l0.25l0.25l0.088l0.263l0.263ll12l12l50/1080.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l1111/21/2FNP3.002.02.0-4.74-4.42-0.951.504.500.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l10.50.5FN（2）求-1.58-1.581.501.500051/108（3）求ΔC根據(jù)表中成果:材料桿件FNPlAFNFNFNPl鋼筋混凝土ADDCDE-4.74l-4.42l-0.95l0.263l0.263l0.088lAhAh0.75Ah-1.58-1.5801.97FPl/AhEh1.84FPl/AhEh0∑=3.81FPl/AhEh鋼筋CEAEEG1.50l4.50l3.00l0.278l0.278l0.222lAg3Ag2Ag01.501.5000.63FPl/AgEg0.5FPl/AgEg∑=1.31FPl/AgEgEA52/108代入原始數(shù)據(jù)：跨度荷載混凝土鋼筋則53/108§5-5、圖乘法一、圖乘法適用條件

計(jì)算彎曲變形引發(fā)位移時(shí)，要求下列積分：

符合下列條件時(shí)，積分運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為圖乘運(yùn)算，比較簡(jiǎn)便。適用條件為：（1）、桿軸為直線；（2）、桿段

EI=常數(shù)；（3）、M和MP中最少有一種是直線圖形。54/108二、圖乘公式

圖示為AB桿兩個(gè)彎矩圖。

M為直線圖形，MP

為任意圖形。

該桿截面抗彎剛度EI=常數(shù)。OO’α

M圖由M圖可知：M=y=xtanαdxdA=MPdxyxCxCyCMP圖AB55/108

由此可見，當(dāng)滿足上述三個(gè)條件時(shí)，積分式值⊿就等于MP圖面積A乘其形心所對(duì)應(yīng)M圖上豎標(biāo)yC，再除以EI。

正負(fù)號(hào)要求：

A與yC在基線同一側(cè)時(shí)為正，反之為負(fù)。56/108三、應(yīng)用圖乘法計(jì)算位移時(shí)幾點(diǎn)注意1、應(yīng)用條件：

桿段必須是分段等截面；EI不能是x函數(shù)；兩圖形中必有一種是直線圖形，yC取自直線圖形中。2、正負(fù)號(hào)要求：A與yC同側(cè)，乘積AyC取正；A與yC不一樣側(cè)，則乘積AyC取負(fù)。3、幾個(gè)常用圖形面積和形心位置：

見教材P.175，圖5-17，注意正面積和斜面積是相同。曲線圖形要注意圖形中頂點(diǎn)位置。57/1084、假如兩個(gè)圖形均為直線圖形，則標(biāo)距yC可取自任何一種圖形。5、當(dāng)yC所屬圖形是由幾段直線組成折線圖形，則圖乘應(yīng)分段進(jìn)行。在折點(diǎn)處罰段圖乘，然后疊加。（為何？）A1A3A2y1y2y3

當(dāng)桿件為階段變化桿件時(shí)（各段EI=常數(shù)），應(yīng)在突變處罰段圖乘，然后疊加。（為何？）EI1EI2A1A2y1y258/1086、把復(fù)雜圖形分為簡(jiǎn)單圖形

（使其易于計(jì)算面積和判斷形心位置）

取作面積圖形有時(shí)是不規(guī)則圖形，面積大小或形心位置不好確定?？煽紤]把圖形分解為簡(jiǎn)單圖形（規(guī)則圖形）分別圖乘后再疊加。59/108

（1）如兩圖形均為梯形，無須求梯形形心，可將其分解為兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)三角形進(jìn)行計(jì)算。ABCDabC1C2MPlcdMyC1yC2ACDMP'C1aMP"ADBbC2+ABCDabC1C2MP⊿=l6EI(2ac+2bd+ab+bc)60/108

（2）左圖也可分為兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)三角形，進(jìn)行圖乘運(yùn)算。ABCDabMPcdMlC1C2yC1yC2yC2=2d/3-c/3其中:yC1=2c/3-d/3C1ACMP'aBC2BMP"ADb+ABCDabMPC1C2⊿=l6EI(2ac+2bd-ab-bc)61/108ABMAMB+=+（3）一般情況

右圖所示為某一段桿（AB）MP圖。可將此圖分解為三個(gè)圖形，均為標(biāo)準(zhǔn)圖形，然后與M圖圖乘，圖乘后疊加。62/108四、圖乘法示例

求懸臂梁中點(diǎn)C撓度⊿CV，EI=常數(shù)。例1：l/2l/2⊿CVAFPBCAFPBCMP圖FPl5FPl/61ABCl/2M解：

（1）、設(shè)虛擬力狀態(tài)如圖，作M和MP。由于均為直線圖形，故AP可任取。M：

A=1/2×l/2×l/2=l2/8MP：

yC=5/6×FP

l⊿CV=A·yC

/EI=(l2/8×5/6×FPl)/EI

=5FP

l3/48EI(↓)

63/108（2）、討論若：l/2l/2⊿CVAFPBCAFPBCMP圖FPl1ABCl/2Ml/6AP=1/2×FPl×l=FPl2/2yC=1/3×l/2=l/6⊿CV=AP·yC/EI=(FPl2/2×l/6)/EI=FP

l3/12EI(↓)正確否？錯(cuò)在哪里？折點(diǎn)分段圖乘64/108（3）、正確作法l/2l/2⊿CVAFPBCAFPBCMP圖FPl1ABCl/2My1y2y3AP1=1/2×FP

l×l/2=FP

l2/4y1=l/3AP2=1/2×FP

l/2×l/2=FPl2/8y2=l/6AP3=1/2×FP

l/2×l/2=FP

l2/8

y3=0⊿CV=∑AP·yC/EI=(FP

l2/4×l/3+FP

l2/8×l/6+FP

l2/8×0)/EI=5FP

l3/48EI(↓)65/108例:

圖示剛架，用圖乘法求B端轉(zhuǎn)角θB

；CB桿中點(diǎn)D豎向線位移⊿DV。各桿EI=常數(shù)。解:1、作荷載作用下構(gòu)造彎矩圖。ABCD3mEI=常數(shù)60kN12kN3m3m3m10kN/m72kN72kN12kN66/108ABCD3mEI=常數(shù)60kN12kN3m3m3m10kN/m72kN72kN12kN1、作荷載作用下構(gòu)造彎矩圖。ABCD2524590MP圖（kN·m）2、作虛擬力狀態(tài)下圖M。ABCDM=11M3、求θB。圖乘時(shí)注意圖形分塊。C1C1y1C3C4y2y3y467/108ABCD2524590MP圖（kN·m）ABCD3mEI=常數(shù)60kN12kN3m3m3m10kN/m72kN72kN12kNABCDM=11My1y2y3y4同側(cè)異側(cè)同側(cè)異側(cè)這個(gè)圖形是標(biāo)準(zhǔn)曲邊三角形嗎？68/108ABCD3mEI=常數(shù)60kN12kN3m3m3m10kN/m72kN72kN12kNABCD2524590MP圖（kN·m）ABCD13M（m）CBD2528145/4圖形分塊4、CB桿中點(diǎn)D豎向線位移⊿DV圖乘時(shí)注意圖形分塊。69/108例：

求鉸C左右截面相對(duì)轉(zhuǎn)角θC。各桿EI=5×104kN·m2

。解：作荷載作用下彎矩圖；虛擬力作用下彎矩圖。

（注意：①斜桿彎矩圖做法；②各彎矩圖單位。）64kN64kN16kN16kNq=16kN/m4m4m3m5m70/108θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1)

-(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI

kN·m

m

kN?m2=0.005867（弧度）

方向與虛擬力方向一致。4m4m3m5m8080MP圖(kN?m)32321115/815/8M斜桿彎矩圖乘。沿桿長(zhǎng)積分！71/108§5-6、靜定構(gòu)造溫度變化時(shí)位移計(jì)算

平面桿件構(gòu)造位移計(jì)算一般公式在此：ε，γ0，

κ由溫度作用引發(fā)。注意靜定構(gòu)造特性：

①組成：無多出約束幾何不變體系；②靜力：溫度作用下靜定構(gòu)造無反力、內(nèi)力；桿件有變形，構(gòu)造有位移。

溫度作用時(shí)由于材料熱脹冷縮，使構(gòu)造產(chǎn)生變形和位移。72/1081、溫度變化時(shí)靜定構(gòu)造特點(diǎn)：（1）、有變形（熱脹冷縮）均勻溫度變化（軸向變形）；不均勻溫度變化（彎曲、軸向變形）；無剪切變形。（2）、無反力、內(nèi)力。73/1082、微段由于溫度變化產(chǎn)生變形計(jì)算設(shè)溫度沿截面厚度直線變化。（1）軸向伸長(zhǎng)（縮短）變形：設(shè)桿件上邊緣溫度升高t10，下邊緣升高t20。形心處軸線溫度：

t0=(h1t2+h2t1)/h

（截面不對(duì)稱于形心）

t0=(t2+t1)/2

（截面向稱于形心）

du=εds=α·t0ds

α——材料線膨脹系數(shù)。ds形心軸+t1

+t2+t0

h

h1

h2αt1dsαt2dsdudφ74/108

（2）由上下邊緣溫差產(chǎn)生彎曲變形：

上下邊緣溫差

⊿t=t2–t1dφ=κds=α(t2-t1)ds/h=α⊿tds/h

（3）溫度作用不產(chǎn)生剪切變形

γ0ds=075/1083、溫度作用時(shí)位移計(jì)算公式如t0，⊿t和h沿每桿桿長(zhǎng)為常數(shù)，則：①正負(fù)號(hào)：比較虛擬狀態(tài)變形與實(shí)際狀態(tài)中由于溫度變化引發(fā)變形，若二者變形方向相同，則取正號(hào)，反之，則取負(fù)號(hào)。②剛架（梁）中由溫度變化引發(fā)軸向變形不可忽視。76/108例：

圖示剛架，施工時(shí)溫度為200C，試求冬季當(dāng)外側(cè)溫度為-100C，內(nèi)側(cè)溫度為00C時(shí)，點(diǎn)A豎向位移⊿AV，已知α=10-5，h=40cm（矩形截面）。l=4ml=4mA00C-100C外側(cè)溫度變化：t1=-10–20=-300內(nèi)側(cè)溫度變化：t2=0–20=-200-300C-200C77/108l=4ml=4mA-300

C-200

CFP=1FNFN=0FN=-1FP=1lMt0=(t1+t2)/2=（-30–20）/2=-250⊿t=t2

-t1=-20-（-30）=10

0⊿AV=α×(-25)×(-1)

×l+(-)α×10/h×

(1/2×l×l+l×l)=-0.5cm(

↑)78/108提問：

（1）若當(dāng)構(gòu)造某些桿件發(fā)生尺寸制造誤差，要求構(gòu)造位移，應(yīng)如何處理？應(yīng)根據(jù)位移計(jì)算一般公式進(jìn)行討論。特點(diǎn)：除有初應(yīng)變（制造誤差）桿件外，其他桿件不產(chǎn)生任何應(yīng)變。在有初應(yīng)變桿件中找κ、ε、γ0即可。79/108

（2）靜定構(gòu)造由荷載、溫度變化、支座移動(dòng)、尺寸誤差、材料漲縮等原因共同作用下，產(chǎn)生位移應(yīng)如何計(jì)算？

可先分開計(jì)算，在進(jìn)行疊加80/108§5-9互等定理一、功互等定理

貝蒂（E.Betti

意1823—1892）定理FP1FP1狀態(tài)ⅠFR1ds⊿21FP2狀態(tài)Ⅱds⊿12⊿12

令狀態(tài)Ⅰ上力系在狀態(tài)Ⅱ位移上作虛功81/108FP1FP1狀態(tài)ⅠFR1ds⊿21FP2狀態(tài)Ⅱds⊿12⊿12

令狀態(tài)Ⅱ上力系在狀態(tài)Ⅰ位移上作虛功

比較（a）、（b）兩式，知：W12=W21

（5-41）或?qū)憺椋骸艶P1⊿12=∑FP2⊿2182/108功互等定理

在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)外力在第二狀態(tài)位移上作虛功W12，等于第二狀態(tài)上外力在第一狀態(tài)上作虛功W21。應(yīng)用時(shí)注意：廣義力廣義位移對(duì)應(yīng)FP11⊿21M2M22⊿12283/108功互等定理應(yīng)用條件：（1）材料彈性，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。

（2）小變形，不影響力作用。即為線性彈性體系。

思考：功互等定理必須應(yīng)用于線性彈性體系，為何？功互等定理應(yīng)用條件與虛功原理有何不一樣？84/108

二、位移互等定理

（位移影響系數(shù)互等）位移互等定理（Maxwell定理）功互等定理一種特殊情況。位移互等定理：在任一線性彈性體系中，由荷載FP1所引發(fā)與荷載FP2對(duì)應(yīng)位移影響系數(shù)δ21，等于由荷載FP2所引發(fā)與FP1對(duì)應(yīng)位移影響系數(shù)δ12。85/108兩種狀態(tài)如圖示

δij—單位力FPj=1在i方向上引發(fā)與FPi對(duì)應(yīng)位移，也稱位移系數(shù)。

⊿ij=δij×

FPj由功互等定理

W12=W21

FP1·δ12=FP2·δ21∵FP1=FP2=1∴

δ12=δ21

(5-42)注：數(shù)值相同，量綱相同。FP1=1FP2=1δ21δ1286/108FP1=1狀態(tài)ⅠFP2=1狀態(tài)Ⅱδ21δ12兩種狀態(tài)如圖示δij—單位力FPj=1在i方向上引發(fā)與FPi對(duì)應(yīng)位移，也稱位移系數(shù)。⊿ij=δij×FPj由功互等定理W12=W21FP1·δ12=FP2·δ21∵FP1=FP2=1∴

δ12=δ21

(5-42)注：數(shù)值相同，量綱相同。87/108

廣義位移系數(shù)量綱（單位）δij=位移單位（實(shí)際）

引發(fā)位移廣義力單位（實(shí)際）88/108三、反力互等定理

反力互等定理（瑞利

Regleigh

定理）功互等定理一種特殊情況。用以說明在超靜定構(gòu)造中，假設(shè)兩個(gè)支座分別發(fā)生單位位移，兩種狀態(tài)中反力互相關(guān)系。89/108Δ1=112Δ2=1r11r22r21r12同一線性變形體系中兩種變形狀態(tài)rij—支座j

發(fā)生單位位移⊿j=1時(shí)，在支座i

處產(chǎn)生反力，也稱反力影響系數(shù)。rij=Rij/⊿j90/108

由功互等定理：W12=W21

∵⊿1=⊿2=1r12·⊿1=r21·⊿2∴r12=r21(5-43)

即為反力互等定理。91/108反力互等定理

在任一線性變形體系中，由支座位移⊿1所引發(fā)，與支座位移⊿2對(duì)應(yīng)反力影響系數(shù)r21

，等于由支座位移⊿2