2021屆四川省新津高三9月月考數(shù)學（文）試題（解析版）

2021屆四川省新津高三9月月考數(shù)學（文）試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【詳解】試題分析：,,所以，故選A.【考點】集合的運算.2．設(shè)是等差數(shù)列的前項和,若,則A． B． C． D．【答案】A【解析】，，選A.3．已知，則（）A． B． C． D．-5【答案】D【解析】先用誘導公式變形，再由商數(shù)關(guān)系弦化切后可得．【詳解】，解得．故選：D．【點睛】本題考查誘導公式和同角間的三角函數(shù)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4．已知且，，若，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知：，，當時，，當時，可得，利用排除法即可得正確選項.【詳解】由題意知：，，當時，單調(diào)遞增，，可得，所以，所以，排除，排除，，排除選項正確；當時，單調(diào)遞減，，可得，選項正確；所以，故選：D【點睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.5．設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A，2x∈B，則（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈BC．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B【答案】C【解析】【詳解】由題意得命題的否定為；故選C.6．圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心到直線y＝x＋3的距離為()A．1 B．2C． D．2【答案】C【解析】試題分析：圓心坐標為，由點到直線的距離公式可知，故選C.【考點】直線與圓的位置關(guān)系【名師點睛】點到直線（即）的距離公式記憶容易，對于知求，很方便.7．若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則此雙曲線的離心率為()A． B． C． D．【答案】D【解析】因為雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點（3，-4），故選D.【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【名師點睛】漸近線是雙曲線獨特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問題時，需結(jié)合漸近線從數(shù)形結(jié)合上找突破口.與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有：（1）與雙曲線共漸近線的可設(shè)為；（2）若漸近線方程為，則可設(shè)為；（3）雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長；（4）的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質(zhì)都表示雙曲線張口的大?。硗饨鉀Q不等式恒成立問題關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是確定極端或極限位置.8．中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，右圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的，，依次輸入的為2，2，5，則輸出的（）A．7 B．12 C．17 D．34【答案】C【解析】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；結(jié)束循環(huán)，輸出，選C.點睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學問題，是求和還是求項.9．已知函數(shù)且，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】對，討論，通過求出，再代入計算即可．【詳解】解：當時，，方程無解；當時，，解得，此時．故選：A．【點睛】本題考查分段函數(shù)的應用，指數(shù)對數(shù)的運算，注意分類討論，是基礎(chǔ)題．10．若函數(shù)在區(qū)間上有極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】求出導函數(shù)，由在上有變號的零點即可得．【詳解】由已知，顯然，即或，在上有極值點，則在上有解．，，則，由勾形函數(shù)性質(zhì)知在上遞減，在上遞增，，，，∴．綜上．故選：D．【點睛】本題考查導數(shù)與極值的關(guān)系，的變號零點才能是的極值點．11．函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由五點作圖知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故單調(diào)減區(qū)間為（，），，故選D.【考點】三角函數(shù)圖像與性質(zhì)12．設(shè)定義在上的函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù)，是的導函數(shù).當時，；當且時，.則函數(shù)在上的零點個數(shù)為（）A．2 B．4 C．5 D．8【答案】B【解析】由導數(shù)得出函數(shù)在上的單調(diào)性，再利用偶函數(shù)和周期性得出其在上的單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得零點個數(shù)．【詳解】當且時，，則時，，遞減，時，，遞增，又是偶函數(shù)，周期為，∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，（）是極大值，是極小值，，，，函數(shù)在上的零點就是與的交點的橫坐標，顯然當和時，，無交點，當和上遞增，在和上遞減，，，因此在，，，四個區(qū)間上與各有一個交點，即各有一個零點，共4個．實際上作出函數(shù)的圖象，再作出（）圖象的大致走向，如圖，由圖可知它們的交點個數(shù)是4．故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)零點個數(shù)，解題時把零點個數(shù)轉(zhuǎn)化函數(shù)圖象交點個數(shù)是常用方法，為此需要研究兩個函數(shù)的性質(zhì)．即可得結(jié)論．二、填空題13．已知向量與的夾角為且,則______________．【答案】10．【解析】試題分析：，由平面向量數(shù)量積的定義得．【考點】平面向量數(shù)量積．14．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為__________．【答案】【解析】由主視圖知CD⊥平面ABC，設(shè)AC中點為E，則BE⊥AC，且AE=CE=1；由主視圖知CD=2，由左視圖知BE=1，在中,BC=，在中,BD=，在中,AD=則三棱錐中最長棱的長為故答案為15．函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值為________．【答案】1【解析】按照兩角和的正弦公式將式子展開，得到f(x)＝sin(x－φ)，根據(jù)－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值為1.【詳解】因為f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)，－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值為1.故答案為：1.【點睛】本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像和性質(zhì)，在研究函數(shù)的單調(diào)性和最值時，一般采用的是整體思想，將ωx+φ看做一個整體，地位等同于sinx中的x．16．已知函數(shù)，（其中）.對于不相等的實數(shù)，，設(shè)，.現(xiàn)有如下命題：（1）對于任意不相等的實數(shù)，，都有；（2）對于任意的及任意不相等的實數(shù)，，都有；（3）對于任意的，存在不相等的實數(shù)，，使得；（4）對于任意的，存在不相等的實數(shù)，，使得.其中的真命題有_________（寫出所有真命題的序號）.【答案】①④【解析】的表達式相當于函數(shù)圖象上兩點連線的斜率，由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可判斷①②，對③④，假設(shè)存在的情況下進行推理，對任意的，若能求出滿足題意即可，為此③引入函數(shù)，④引入函數(shù)，用導數(shù)研究這兩個函數(shù)的極值點，若存在極值點，則存在，（或，若不存在極值點，則不存在滿足題意的．【詳解】設(shè)，，，，對①，從的圖象可看出恒成立，故正確；對②，從二次函數(shù)圖象知可能為負，即，故不正確；對③，由，得，，令，則，由得，作出和的圖象，由圖象知方程不一定有解，∴不一定有極值點，即對于任意的，不一定存在不相等的實數(shù)，使得，即不一定存在不相等的實數(shù)，使得，故不正確．對④，由，得，，令，則，由得，作出和的圖象，由圖象知方程一定有解，∴一定有極值點，即對于任意的，一定存在不相等的實數(shù)，使得，即一定存在不相等的實數(shù)，使得，故正確．故答案為：①④【點睛】本題考查導數(shù)的運算，考查用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是問題的轉(zhuǎn)化．旨在考查學生的邏輯推理能力，運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力．屬于難題．三、解答題17．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知（1）求角的大??；（2）已知，的面積為6，求邊長的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由二倍角的余弦公式把降次，再用兩個角的和的余弦公式求，由三角形三內(nèi)角和定理可求得，從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積公式求出邊，再由余弦定理求邊.【詳解】試題分析：（1）由已知得，化簡得，故，所以，因為，所以.（2）因為，由，，，所以，由余弦定理得，所以.【點睛】本題主要考查了兩角和差公式的應用及利用余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.18．我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行調(diào)查，通過抽樣，獲得某年100為居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖的的值；（2）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；（3）估計居民月用水量的中位數(shù).

【答案】(1)；(2)36000；（3）.【解析】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計算等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題、解決問題的能力.第（Ⅰ）問，由高×組距=頻率，計算每組的頻率，根據(jù)所有頻率之和為1，計算出a的值；第（Ⅱ）問，利用高×組距=頻率，先計算出每人月均用水量不低于3噸的頻率，再利用頻率×樣本容量=頻數(shù)，計算所求人數(shù)；第（Ⅲ）問，將前5組的頻率之和與前4組的頻率之和進行比較，得出2≤x<2.5，再估計月均用水量的中位數(shù).【詳解】（Ⅰ）由頻率分布直方圖，可知：月均用水量在[0,0.5）的頻率為0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等組的頻率分別為0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12=36000.（Ⅲ）設(shè)中位數(shù)為x噸.因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.【考點】頻率分布直方圖【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計算公式等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題、解決問題的能力.在頻率分布直方圖中，第n個小矩形的面積就是相應組的頻率，所有小矩形的面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，也是識圖的基礎(chǔ)．19．如圖2，四邊形為矩形，平面，，，作如圖3折疊，折痕.其中點、分別在線段、上，沿折疊后點在線段上的點記為，并且.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）要證CF⊥平面MDF，只需證CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即證MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；（2）求出△CDE的面積S△CDE，對應三棱錐的高MD，計算它的體積VM-CDE．試題解析：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD；又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD?平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF?平面PCD，∴CF⊥MD；又CF⊥MF，MD、MF?平面MDF，MD∩MF=M，∴CF⊥平面MDF；（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，又易知∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=；∵EF∥DC，∴，即，∴，∴，，=，∴【考點】空間線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，空間幾何體的體積計算，邏輯推論證能力，運算求解能力20．已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點.與的公共弦的長為.過點的直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，且與同向.（1）求的方程；（2）若，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由拋物線方程可求出焦點，進而得出，再由公共弦的長為可得出，聯(lián)立方程可求出，，寫出方程即可；（2）設(shè)，，，，由題可得，即，設(shè)的方程為，聯(lián)立直線與拋物線可得，，聯(lián)立直線與橢圓可得，，即可建立方程求出.【詳解】（1）由知其焦點的坐標為.因為也是橢圓的一個焦點，所以.①又與的公共弦的長為，與都關(guān)于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標為，所以.②聯(lián)立①，②得，.故的方程為.（2）如圖，設(shè)，，，.因與同向，且，所以，從而，即，于是.③設(shè)直線的斜率為，則的方程為.由，得.而，是這個方程的兩根，所以，.④由，得.而，是這個方程的兩根，所以，，⑤將④，⑤代入③，得，即，所以，解得，即直線的斜率為.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查拋物線與橢圓的綜合應用，屬于中檔題.21．設(shè)f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，aR.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知f(x)在x=1處取得極大值.求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（Ⅰ）當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）先求出，然后討論當時，當時的兩種情況即得.（Ⅱ）分以下情況討論：①當時，②當時，③當時，④當時，綜合即得.試題解析：（Ⅰ）由可得，則，當時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當時，單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.①當時，，單調(diào)遞減.所以當時，，單調(diào)遞減.當時，，單調(diào)遞增.所以在x=1處取得極小值，不合題意.②