應用離散數(shù)學代數(shù)結(jié)構(gòu)題庫試卷習題及答案代數(shù)運算

應用離散數(shù)學代數(shù)結(jié)構(gòu)第四章:代數(shù)結(jié)構(gòu)§四.一代數(shù)運算題四.一 一.判斷下列集合對所給地二元運算是否封閉。 （一）集合關于普通加法與普通乘法運算,其是正整數(shù)。（二）集合關于普通加法與普通乘法運算。（三）集合關于普通加法與普通乘法運算。（四）集合關于普通加法與普通乘法運算。（五）階實可逆矩陣集合關于矩陣加法與矩陣乘法運算。對于封閉地二元運算,判斷它們是否滿足換律,結(jié)合律與分配律,并在存在地情況下求出它們地單位元,零元與所有可逆元素地逆元。 解（一）封閉。滿足換律,結(jié)合律與分配律,普通加法單位元零,沒有零元,每個元素地逆元是其相反數(shù)。普通乘法零元是零,如果n=一時有單位元一,只有一有逆元一自已,其它元素沒有逆元。如果n>一時,沒有單位元。（二）對普通加法不滿足封閉。對普通乘法滿足封閉,滿足換律,結(jié)合律。沒有零元,單位元是一,只有一有逆元一自已,其它元素沒有逆元。（三）對普通加法不滿足封閉。對普通乘法滿足封閉,滿足換律,結(jié)合律。零元是零,單位元是一,只有一有逆元一自已,零沒有逆元。（四）對普通加法不滿足封閉。對普通乘法滿足封閉,滿足換律,結(jié)合律。沒有零元與單位元。（五）封閉。矩陣加法運算滿足換律,結(jié)合律,矩陣乘法滿足結(jié)合律,不滿足換律。矩陣加法與矩陣乘法滿足分配律。矩陣加法有單位元n階零矩陣,沒有零元,每個矩陣地逆元是其相反矩陣。矩陣乘法零元是n階零矩陣,單位元是n階單位矩陣,奇異矩陣沒有逆元,非奇異矩陣有逆元,即其逆矩陣。 二.判斷下列集合對所給地二元運算是否封閉。 （一）正實數(shù)集合與*運算,其*運算定義為: （二）。*運算定義為:對于封閉地二元運算,判斷它們是否滿足換律,結(jié)合律與等冪律,并在存在地情況下求出它們地單位元,零元與所有可逆元素地逆元。 解（一）不封閉,例如: （二）封閉。 不滿足換律:滿足結(jié)合律:,滿足等冪律:都是左單位元,但無右單位元。都是右零元,但無左零元。因為無單位元,所以無逆元。三.設,這里是有理數(shù)集合,*為上地二元運算,, （一）*運算在上是否可換,可結(jié)合？是否為等冪地？ （二）*運算是否有單位元,零元？如果有,請指出,并求所有可逆元素地逆元。 （三）*運算在上是否滿足消去律？ 解（一）因為<x,y>*<u,v>=<xu,xv+y>,所以<x,y>*<u,v>≠<u，v>*<x,y又因為(<u,v>*<y,x>)*<w,t>=<uxw,uxt+uy+v>,<u,v>*(<y,x>*<w,t>)=<uxw,uxt+uy+v>,從而滿足結(jié)合律。<x,y>*<x,y>=<x二,xy+y>≠<x,y>,所以不滿足等冪律。（二）有單位元<一,零>,沒有零元。當u不為零時,<u,v>地逆元是<一/u,-v/u>。（三）滿足消去律。四.為實數(shù)集合,定義以下六個函數(shù)。有 （一）指出哪些函數(shù)是上地二元運算。（二）若是上地二元運算,說明是否是可換地,可結(jié)合地,等冪地？（三）若是上地二元運算,在存在地情況下求出單位元,零元以與每個可逆元素地逆元。若是上地二元運算,說明是否滿足消去律。 解（一）f一,f二,f三,f四,f五,f六都是R上地二元運算。（二）f一:可換,可結(jié)合,不等冪,滿足消去律。單位元零,無零元,每個元素地逆元是其相反數(shù)。（三）f二:不可換,不可結(jié)合,不等冪,無單位元,無零元。（四）f三:可換,不可結(jié)合,不等冪,無單位元,無零元。（五）f四:可換,可結(jié)合,不等冪,滿足消去律。單位元一,零元零,除零外每個元素地逆元是其倒數(shù)。（六）f五:可換,可結(jié)合,等冪,無單位元,無零元。（七）f六:可換,可結(jié)合,等冪,無單位元,無零元。五.設,問下面定義地運算*在上是否封閉？對于封閉地二元運算,請說明運算是否滿足換律,結(jié)合律,并在存在地情況下求出運算地單位元,零元與所有可逆元素地逆元。 （一）,表示與地最大公因數(shù)。 （二）,表示與地最小公倍數(shù)。 （三）大于等于與地最小整數(shù)。 （四）質(zhì)數(shù)地個數(shù),其。 解（一）封閉。滿足換律,滿足結(jié)合律,滿足等冪律。無單位元,一是零元。因為無單位元,所以無逆元。（二）不封閉,例如:（三