華師大版高等數(shù)學(xué)上冊第二章導(dǎo)數(shù)與微分市公開課一等獎?wù)n件省賽課獲獎?wù)n件

高等數(shù)學(xué)（上冊）1/128第二章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)概念第一節(jié)函數(shù)求導(dǎo)法則第二節(jié)高階函數(shù)第三節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定函數(shù)求導(dǎo)法第四節(jié)變化率問題舉例第五節(jié)2/128導(dǎo)數(shù)概念第一節(jié)3/128一、引例變速直線運動瞬時速度1.

設(shè)有一做直線運動物體，其位置函數(shù)s=s(t)，當(dāng)t=t0時，s0=s(t0)．當(dāng)由時刻t0變到t0+Δt時，物體在Δt這段時間內(nèi)所走過路程（見圖2-1）為Δs=s(t0+Δt)－s(t0)．4/128

當(dāng)物體做勻速運動時，它速度是恒定，并且等于Δs/Δt，即它是物體在任意時刻t速度．當(dāng)物體做變速運動時，Δs/Δt表達(dá)時刻從t0到t0+Δt這一段時間內(nèi)平均速度v，即而Δt越小，這個平均速度就越接近于t0時刻速度，當(dāng)Δt→0時，平均速度極限就是物體在時刻t0瞬時速度v(t0)，即一、引例5/128曲線切線斜率2.設(shè)曲線y=f(x)圖像如圖2-2所示，點M(x0,y0)為曲線上一定點，在曲線上另取一點M1(x0+Δx,y0+Δy)，點M1位置取決于Δx，它是曲線上一動點.下面來求點M(x0,y0)處切線斜率．由圖2-2易知割線MM1斜率K為一、引例6/128

當(dāng)點M1沿曲線趨向點M時，也就是當(dāng)Δx→0時，割線MM1極限位置就是曲線在點M切線MT．顯然，這時割線MM1傾角φ趨向于切線MT傾角α，則切線斜率一、引例7/128二、導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)y=f(x)在點x0導(dǎo)數(shù)概念1.定理1

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0某一種鄰域內(nèi)有定義．給x0以增量Δx，函數(shù)y對應(yīng)地有增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)，8/128

假如limΔx→0Δy/Δx不存在，則稱y=f(x)在點x0處不可導(dǎo)．尤其地，若limΔx→0Δy/Δx=∞，y=f(x)在點x0處不可導(dǎo)，但有時為方便起見，常說導(dǎo)數(shù)為無窮大．有時為了方便討論，導(dǎo)數(shù)定義也能夠?qū)懗扇缦虏灰粯有问?，常見有由?dǎo)數(shù)定義可見，導(dǎo)數(shù)從數(shù)量方面刻畫了變化率問題實質(zhì)：Δy/Δx表達(dá)自變量從x0變化到x0+Δx函數(shù)平均變化率；f′(x0)表達(dá)函數(shù)在點x0瞬時變化率．二、導(dǎo)數(shù)定義9/128函數(shù)y=f(x)在(a,b)上導(dǎo)數(shù)概念2.定義2

二、導(dǎo)數(shù)定義10/128

一般，某函數(shù)導(dǎo)數(shù)還是一種函數(shù)，我們稱之為導(dǎo)函數(shù)；而函數(shù)在某一點導(dǎo)數(shù)是一種數(shù)值，我們稱之為函數(shù)在這點導(dǎo)數(shù)值．注意二、導(dǎo)數(shù)定義11/128

由導(dǎo)數(shù)定義可知，求函數(shù)y=f(x)導(dǎo)數(shù)f′(x)，能夠分為下列三個步驟：（1）求增量：Δy=f(x+Δx)－f(x)；下面，就根據(jù)這三個步驟來求某些比較簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)．二、導(dǎo)數(shù)定義12/128【例1】二、導(dǎo)數(shù)定義13/128【例2】二、導(dǎo)數(shù)定義14/128【例3】二、導(dǎo)數(shù)定義15/128【例4】二、導(dǎo)數(shù)定義16/128【例5】二、導(dǎo)數(shù)定義17/128【例6】二、導(dǎo)數(shù)定義18/128【例7】二、導(dǎo)數(shù)定義19/128分段函數(shù)在分段點處導(dǎo)數(shù)，必須用導(dǎo)數(shù)定義來求．注意二、導(dǎo)數(shù)定義20/128函數(shù)左、右導(dǎo)數(shù)概念3.定義3

二、導(dǎo)數(shù)定義21/128定義4

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在一點左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等時，函數(shù)在該點才是可導(dǎo)．二、導(dǎo)數(shù)定義22/128（1）函數(shù)f(x)在［a,b］上是可導(dǎo)，是指f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點可導(dǎo)，并且在左端點a處f′+(a)存在，在右端點b處f′－(b)存在．（2）假如f(x)是分段函數(shù)，當(dāng)x0是分段函數(shù)分界點時，需要用定義計算出左導(dǎo)數(shù)f′－(x0)和右導(dǎo)數(shù)f′+(x0)．若f′－(x0)與f′+(x0)都存在且相等時，則f(x)在點x0可導(dǎo)，且有f′(x0)=f′－(x0)=f′+(x0)；若f′－(x0)≠f′+(x0)時，則f(x)在點x=x0處不可導(dǎo)．注意二、導(dǎo)數(shù)定義23/128【例8】二、導(dǎo)數(shù)定義24/128三、導(dǎo)數(shù)幾何意義設(shè)曲線y=f(x)如圖2-4所示，M0N=Δx,NM=Δy,tanβ=Δy/Δx，因此Δy/Δx就是割線M0M斜率．圖2-425/128當(dāng)Δx→0時，點M沿曲線y=f(x)趨于點M0，割線M0M趨于它極限位置M0T，而直線M0T是曲線y=f(x)在點M0處切線．很顯著，當(dāng)Δx→0時，有β→α，于是有因此，函數(shù)y=f(x)在點x0處導(dǎo)數(shù)值f′(x0)是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處切線斜率，即k=tanα=f′(x0)．三、導(dǎo)數(shù)幾何意義26/128【例9】三、導(dǎo)數(shù)幾何意義27/128四、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性關(guān)系

這說明函數(shù)y=f(x)在點x處連續(xù)．因此，有如下結(jié)論.28/128定理

假如函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在該點必連續(xù)．反之，一種函數(shù)在某點連續(xù)，卻不一定在該點可導(dǎo)．也就是說函數(shù)在某點連續(xù)是在該點可導(dǎo)必要條件而非充足條件．例如，函數(shù)f(x)=|x|在(－∞,+∞)上連續(xù)，但在x=0處導(dǎo)數(shù)不存在.曲線f(x)=|x|在原點處沒有切線．四、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性關(guān)系29/128【例10】四、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性關(guān)系30/128

解當(dāng)x>1和x<1時，f(x)顯然是可導(dǎo)，故要使f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，只要使其在點x=1處可導(dǎo)即可．為此，應(yīng)首先選擇a,b，使其在點x=1處連續(xù)．要使f(x)在點x=1處可導(dǎo)，必須使f′－(1)=f′+(1)，即當(dāng)a=2,b=0即可．四、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性關(guān)系31/128【例11】四、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性關(guān)系32/128討論函數(shù)在一點是否連續(xù)，是否可導(dǎo)，先討論其是否可導(dǎo).若函數(shù)在該點可導(dǎo)，則在該點必連續(xù)；若在該點不可導(dǎo)，則還需考查其在該點是否連續(xù)．注意四、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性關(guān)系33/128思考(1)若函數(shù)f(x)在點x0可導(dǎo)，是否f(x)在點x0某鄰域內(nèi)每一點都可導(dǎo)？請舉例說明．(2)判斷下列等式是否成立，請舉例說明之．①f′(x0)=［f(x0)］′,f′(0)=［f(0)］′；②f′(x)=［f(x)］′,f′(y)=［f(y)］′．四、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性關(guān)系34/128函數(shù)求導(dǎo)法則第二節(jié)35/128一、和、差、積、商求導(dǎo)法則定理1假如函數(shù)u=ux與v=vx在點x處可導(dǎo)，那么它們和、差在點x處也可導(dǎo)，且［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).證明令y=u(x)±v(x)，當(dāng)x有增量Δx時，u有增量Δu，v有增量Δv，從而y有增量Δy，且有36/128此定理能夠推廣到有限個函數(shù)代數(shù)和情形，即[u1(x)±u2(x)±…±un(x)′]=u′1(x)±u′2(x)±…±u′n(x).注意一、和、差、積、商求導(dǎo)法則37/128定理2

假如函數(shù)u=ux與v=vx在點x處可導(dǎo)，那么它們積在點x處也可導(dǎo)，且［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).證明令y=u(x)v(x)，由于Δu=u(x+Δx)－u(x),Δv=v(x+Δx)－v(x),一、和、差、積、商求導(dǎo)法則38/128此定理也能夠推廣到有限個函數(shù)乘積情形，即[u1(x)u2(x)…un(x)]′=u′1(x)u2(x)…un(x)+u1(x)u′2(x)…un(x)+…+u1(x)u2(x)…u′n(x).注意一、和、差、積、商求導(dǎo)法則39/128定理3

假如函數(shù)u=ux與v=vx在點x處可導(dǎo)，那么它們商（除分母為零點外）在點x處也可導(dǎo)，且一、和、差、積、商求導(dǎo)法則40/128

一、和、差、積、商求導(dǎo)法則41/128【例1】一、和、差、積、商求導(dǎo)法則42/128【例2】一、和、差、積、商求導(dǎo)法則43/128【例3】一、和、差、積、商求導(dǎo)法則44/128【例4】注意一、和、差、積、商求導(dǎo)法則45/128二、反函數(shù)求導(dǎo)法則定理4若函數(shù)x=φ（y）在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo),且φ′（y）≠0,則它反函數(shù)y=f（x）在區(qū)間Ix={x|x=φ(y),y∈Iy}內(nèi)也可導(dǎo),且有46/128證明由于函數(shù)x=φ(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo),由第一章內(nèi)容可知，x=φ(y)反函數(shù)y=f(x)存在，且在Ix內(nèi)單調(diào)、連續(xù).任取x∈Ix，給x以增量Δx(Δx≠0,x+Δx∈Ix)，由y=f(x)單調(diào)性知Δy=f(x+Δx)－f(x)≠0,于是有二、反函數(shù)求導(dǎo)法則47/128【例5】二、反函數(shù)求導(dǎo)法則48/128【例6】二、反函數(shù)求導(dǎo)法則49/128【例7】二、反函數(shù)求導(dǎo)法則50/128三、常數(shù)和基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式前面已經(jīng)介紹了常數(shù)和基本初等函數(shù)求導(dǎo)數(shù)辦法.為了便于記憶與應(yīng)用，現(xiàn)將這些公式歸納如下：51/128四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理5（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）若函數(shù)u=φ（x）在點x處可導(dǎo),函數(shù)y=f（u）在點u=φ（x）處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點x處可導(dǎo),且52/128證明設(shè)自變量x在點x處取得增量Δx時，中間變量u取得對應(yīng)增量Δu，從而函數(shù)y也取得對應(yīng)增量Δy，當(dāng)Δu≠0時，有四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則53/128（1）上式說明,求復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]對x導(dǎo)數(shù)時，可先求出y=f(u)對u導(dǎo)數(shù)和u=φ(x)對x導(dǎo)數(shù)，然后相乘即得.（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則能夠推廣到任意有限多種中間變量情形.以兩個中間變量為例，設(shè)y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),則復(fù)合函數(shù)y=fφ［ψ(x)］導(dǎo)數(shù)為注意四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則54/128【例8】【例9】四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則55/128【例10】【例11】四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則56/128五、應(yīng)用舉例【例12】57/128五、應(yīng)用舉例58/128【例13】五、應(yīng)用舉例59/128高階函數(shù)第三節(jié)60/128一、高階導(dǎo)數(shù)引例61/128分析假如物體運動方程為s=s(t)，則變速直線運動瞬時速度v是路程s對時間t導(dǎo)數(shù)，即而加速度a又是速度v對時間t變化率，也就是速度v對時間t導(dǎo)數(shù)，即a=dv/dt.于是這種導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)d/dt(ds/dt)或(s′)′稱為s對t二階導(dǎo)數(shù)，記為s″(t).因此，物體運動加速度就是路程s對時間t二階導(dǎo)數(shù).一、高階導(dǎo)數(shù)62/128一般地，假如函數(shù)y=fx導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)仍是x可導(dǎo)函數(shù)，就稱y′=f′(x)導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y=fx二階導(dǎo)數(shù)，記為y″,f″(x),d2y/dx2或d2f(x)/dx2.對應(yīng)地，把y=fx導(dǎo)數(shù)f′(x)稱為函數(shù)y=f(x)一階導(dǎo)數(shù).一、高階導(dǎo)數(shù)63/128二階或二階以上導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).由高階導(dǎo)數(shù)定義知，求函數(shù)y=f(x)高階導(dǎo)數(shù)，只需連續(xù)數(shù)次求導(dǎo)數(shù)即可，因此仍可應(yīng)用前面求導(dǎo)辦法進(jìn)行計算.一、高階導(dǎo)數(shù)64/128【例1】一、高階導(dǎo)數(shù)65/128【例2】一、高階導(dǎo)數(shù)66/128【例3】一、高階導(dǎo)數(shù)67/128【例4】一、高階導(dǎo)數(shù)68/128【例5】一、高階導(dǎo)數(shù)69/128【例6】一、高階導(dǎo)數(shù)70/128【例7】一、高階導(dǎo)數(shù)71/128二、萊布尼茨公式假如函數(shù)u=ux與v=vx都在點x處具有n階導(dǎo)數(shù)，那么u(x)+v(x)與u(x)-v(x)在點x處都具有n階導(dǎo)數(shù)，且u(x)±v(x)（n）=[u(x)](n)±[v(x)](n),但乘積u(x)·v(x)n階導(dǎo)數(shù)卻并不如此簡單.由［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)首先得出上式稱為萊布尼茨公式.72/128【例8】二、萊布尼茨公式73/128三、應(yīng)用舉例【例9】74/128隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定函數(shù)求導(dǎo)法第四節(jié)75/128一、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)前面研究函數(shù)都能夠表達(dá)為y=f（x）形式，例如y=x＋x2，y=arctan（lnx）等.用這種方式體現(xiàn)函數(shù)叫作顯函數(shù)．在實際問題中，經(jīng)常遇到某些函數(shù)是由方程F（x，y）=0確定．例如，方程3x＋y2＋5=0表達(dá)一種函數(shù).這樣函數(shù)稱為隱函數(shù)．76/128把一種隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫作隱函數(shù)顯化．例如，從方程3x＋y2＋5=0解出y=±-5-3x，就把隱函數(shù)化成顯函數(shù)．隱函數(shù)顯化有時是有困難，甚至是不也許．例如，ey=y＋x在x一定變化范圍內(nèi)雖然也能確定一種隱函數(shù)y=f（x），卻無法將它顯化.因此有必要介紹隱函數(shù)求導(dǎo)辦法.設(shè)y=f（x）是由F（x，y）=0所確定隱函數(shù)，則F（x，f（x））=0．由于此式左端是將y=f（x）代入F（x，y）所得到復(fù)合函數(shù)，因此，根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t將等式兩邊對x求導(dǎo)，便可得到所求導(dǎo)數(shù)．我們通過幾個例子來說明這種辦法．√一、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)77/128【例1】一、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)78/128【例2】一、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)79/128【例3】一、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)80/128下面，我們來介紹一種主要求導(dǎo)辦法——對數(shù)求導(dǎo)法，這是一種利用對數(shù)性質(zhì)與隱函數(shù)求導(dǎo)法則來簡化導(dǎo)數(shù)計算辦法．它適合于由幾個因子通過乘、除、乘方、開方所組成比較復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)．這種辦法是先在y=f（x）兩邊取對數(shù)，得到隱函數(shù)lny=lnf（x）；然后按照隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)思緒，求出y對x導(dǎo)數(shù).下面舉幾個例子.一、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)81/128【例4】一、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)82/128【例5】一、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)83/128二、由參數(shù)方程所確定函數(shù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)關(guān)系除了用顯式和隱式表達(dá)外，還能夠用參數(shù)方程來表達(dá)．一般，假如參數(shù)方程x=φ（t），確定y與x之間函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)關(guān)系所示函數(shù)為由參數(shù)方程所確定函數(shù)．對于參數(shù)方程所確定函數(shù)求導(dǎo)，一般不需要由參數(shù)方程消去參數(shù)t化為y與x之間直接函數(shù)關(guān)系后再求導(dǎo)．84/128假如函數(shù)φ（t）和ψ（t）都可導(dǎo)，φ′（t）≠0且x=φ（t）存在反函數(shù)t=φ-1（x），則y為x復(fù)合函數(shù)．根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得后來把上式作為參數(shù)方程所確定函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式．二、由參數(shù)方程所確定函數(shù)導(dǎo)數(shù)85/128【例6】二、由參數(shù)方程所確定函數(shù)導(dǎo)數(shù)86/128【例7】二、由參數(shù)方程所確定函數(shù)導(dǎo)數(shù)87/128

這時，運動方向是水平，即拋射體達(dá)成最高點（見圖2-5）．二、由參數(shù)方程所確定函數(shù)導(dǎo)數(shù)88/128變化率問題舉例第五節(jié)89/128一、求非恒定電流電流強(qiáng)度由電學(xué)知識可知，恒定電流電流強(qiáng)度是單位時間內(nèi)通過導(dǎo)體橫截面電量Q，即i=Q/t,而非恒定電流電流強(qiáng)度就不能按上述公式計算.設(shè)非恒定電流通過導(dǎo)體橫截面積電量Q是時間t函數(shù)，即Q=Q(t),當(dāng)初間由t0變到t0+Δt時，通過導(dǎo)體電量由Q（t0）變到Q（t0+Δt）,此時平均電流強(qiáng)度為在時刻t0電流強(qiáng)度為90/128【例1】一、求非恒定電流電流強(qiáng)度91/128二、求物體比熱由物理學(xué)知識可知，比熱是衡量物體吸?。ɑ蜥尫牛崃磕芰σ环N物理量.設(shè)有單位質(zhì)量物體從0℃加熱到T℃所吸取熱量Q是溫度T函數(shù)：Q=Q(T).給溫度T以增量ΔT，則可求得物體在ΔT這段溫度內(nèi)平均比熱為從而物體在T℃時比熱為92/128【例2】二、求物體比熱93/128三、進(jìn)行邊際分析在經(jīng)濟(jì)活動中，經(jīng)常會遇到邊際分析問題.例如，邊際成本分析、邊際需求分析、邊際價格分析等.從數(shù)學(xué)角度看，經(jīng)濟(jì)活動中邊際問題，就是對應(yīng)經(jīng)濟(jì)函數(shù)變化率問題.設(shè)總成本函數(shù)c=c(q)是可導(dǎo)，其中q表達(dá)產(chǎn)量，c表達(dá)總成本，則產(chǎn)量為q邊際成本為設(shè)定某種產(chǎn)品單位售價為P(P不變)，則總收入函數(shù)R(q)=P·q,總利潤函數(shù)L(q)為L(q)=R(q)-c(q)=P·q-c(q),上式兩邊對q求導(dǎo)，有L′(q)=R′(q)－c(q)=P－c′(q).94/128有關(guān)邊際有如下結(jié)論：(1)當(dāng)c′(q0)＜P時，生產(chǎn)者應(yīng)繼續(xù)增加生產(chǎn).(2)當(dāng)c′(q0)＞P時，生產(chǎn)者應(yīng)停頓增加生產(chǎn)，采取提升產(chǎn)品質(zhì)量和檔次來提升產(chǎn)品價格，或減少生產(chǎn)成本或減少產(chǎn)量措施來增加利潤.(3)當(dāng)c′(q0)=P時，此時邊際成本等于邊際收入，增加產(chǎn)量生產(chǎn)支出與銷售所增產(chǎn)量收入大體相等.在產(chǎn)量q0處可取得最大利潤.(4)當(dāng)c′(q0)＜(q0)(平均成本)時，邊際成本不大于平均成本，生產(chǎn)者可通過增加產(chǎn)量方式來減少平均成本.三、進(jìn)行邊際分析95/128【例3】三、進(jìn)行邊際分析96/128【例4】三、進(jìn)行邊際分析97/128

這表白，需求量在1225附近時，收入是減少.三、進(jìn)行邊際分析98/128四、進(jìn)行彈性分析函數(shù)彈性1.設(shè)函數(shù)y=fx在點x=x0處可導(dǎo)，函數(shù)相對增量與自然變量相對增量

當(dāng)Δx→0時極限稱為f(x)在點x=x0處彈性（或彈性系數(shù)），也稱為函數(shù)f(x)在點x0處相對變化率（或相對導(dǎo)數(shù)），記為99/128

四、進(jìn)行彈性分析100/128彈性分析2.一般地說，利用函數(shù)彈性去討論函數(shù)變化狀態(tài)，要比利用導(dǎo)數(shù)去討論函數(shù)變化狀態(tài)復(fù)雜些.但對于經(jīng)濟(jì)函數(shù)f(x)來說，由于x和f(x)都非負(fù)（除利潤函數(shù)外），因此，用函數(shù)彈性去討論經(jīng)濟(jì)函數(shù)變化狀態(tài)，不但容易，同步還能對函數(shù)變化情況與自然量變化情況進(jìn)行比較.四、進(jìn)行彈性分析101/128設(shè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)為f(x)(f(x)>0,x>0），其對應(yīng)彈性函數(shù)為η(x)=xf′(x)/f(x)，一般有下列結(jié)論：（1）當(dāng)η(x)>0(或η(x)<0)時，則f(x)是增加（或減少）;（2）當(dāng)0<η(x)<1或（－1<η(x)<0）時，則f(x)增加（或減少）幅度不大于x增加幅度；（3）當(dāng)η(x)>1(或η(x)<－1)時，則f(x)增加（或減少）幅度大于x增加（或減少）幅度；（4）當(dāng)η(x)=1（或η(x)=－1）時，則f(x)增加（或減少）幅度與x增加（或減少）幅度相同．四、進(jìn)行彈性分析102/128【例5】四、進(jìn)行彈性分析103/128

四、進(jìn)行彈性分析104/128函數(shù)微分第六節(jié)105/128一、引例引例1求自由落體運動中，物體由時刻t到t+Δt所通過路程近似值.106/128分析自由落體路程s與時間t函數(shù)關(guān)系是s=1/2gt2，當(dāng)初間從t到t+Δt時，路程s有對應(yīng)增量Δs=1/2g(t+Δt)2－1/2gt2=gtΔt+1/2g(Δt)2.上式中，gtΔt是Δt線性函數(shù)，1/2g(Δt)2是當(dāng)Δt→0時比Δt高階無窮小，因此，當(dāng)|Δt|很小時，能夠把1/2g(Δt)2忽視，而得到路程增量近似值Δs≈gtΔt.一、引例107/128引例2一塊正方形均勻鐵板(見圖2-6)，受熱膨脹后邊長由x0變到x0+Δx，問面積y變化了多少？圖2-6一、引例108/128分析分析設(shè)此鐵板邊長為x,則面積y是x函數(shù)：y=x2.鐵板受溫度變化影響時，面積增量能夠當(dāng)作是當(dāng)自變量x自x0取得增量Δx時,函數(shù)y對應(yīng)增量Δy,即Δy=(x0+Δx)2-x02=2x0Δx+(Δx)2.上式中，2x0Δx是Δx線性函數(shù)，它是Δy主要部分；Δy另一部分是(Δx)2，它是Δy次要部分，當(dāng)|Δx|很小時，(Δx)2比2x0Δx要小得多，也就是說，當(dāng)Δx很小時，面積增量Δy能夠近似地用2x0Δx表達(dá)，即Δy≈2x0Δx,由此式作為Δy近似值，略去部分(Δx)2是比Δx高階無窮小.一、引例109/128

這兩個問題實際意義雖然不一樣，但在數(shù)量關(guān)系上卻具有相同特點：函數(shù)增量能夠表達(dá)成兩部分，一部分為自變量增量線性函數(shù)，另一部分是當(dāng)自變量增量趨于零時，比自變量增量高階無窮小，據(jù)此特點，便形成了微分概念.一、引例110/128二、微分定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0及x0+Δx在這區(qū)間內(nèi),假如函數(shù)增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)可表達(dá)為Δy=A·Δx+o(Δx),其中A是與Δx無關(guān)常數(shù),則稱函數(shù)y=f(x)在點x0可微,并且稱A·Δx為函數(shù)y=f(x)在點x0處對應(yīng)于自變量增量Δx微分,記為dy|x=x0,即dy|x=x0=A·Δx.下面討論可微與可導(dǎo)之間關(guān)系.11