中考圓綜合題訓練含答案

..上異于A,C的一個動點，射線AP交于點F，連接PC與PD，PD交AB于點G.〔1〕求證：△PAC∽△PDF；〔2〕假設AB=5，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AP))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BP))，求PD的長；〔3〕在點P運動過程中，設，，求與之間的函數(shù)關系式.〔不要求寫出的取值圍〕，6．〔9分〕〔2021?24〕如圖，點A與點B的坐標分別是〔1，0〕，〔5，0〕，點P是該直角坐標系的一個動點．〔1〕使∠APB=30°的點P有個；〔2〕假設點P在y軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點P的坐標；〔3〕當點P在y軸上移動時，∠APB是否有最大值？假設有，求點P的坐標，并說明此時∠APB最大的理由；假設沒有，也請說明理由．7、〔10分〕〔2021?襄陽25．〕如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠BPC=60°，過點A作⊙O的切線交BP的延長線于點D．〔1〕求證：△ADP∽△BDA；〔2〕試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；〔3〕假設AD=2，PD=1，求線段BC的長．8、〔10分〕〔2021?25．〕如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上一點，點F在射線CM上，∠AEF=90°，AE=EF，過點F作射線BC的垂線，垂足為H，連接AC．〔1〕試判斷BE與FH的數(shù)量關系，并說明理由；〔2〕求證：∠ACF=90°；〔3〕連接AF，過A、E、F三點作圓，如圖2，假設EC=4，∠CEF=15°，求的長．9、〔12分〕〔2021?25．〕如圖，平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=﹣x+b〔b為常數(shù)，b＞0〕的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，半徑為4的⊙O與x軸正半軸相交于點C，與y軸相交于點D、E，點D在點E上方．〔1〕假設直線AB與有兩個交點F、G．①求∠CFE的度數(shù)；②用含b的代數(shù)式表示FG2，并直接寫出b的取值圍；〔2〕設b≥5，在線段AB上是否存在點P，使∠CPE=45°？假設存在，請求出P點坐標；假設不存在，請說明理由．10、〔2021?24．〕在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，以P〔1，1〕為圓心的⊙P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，點F從點M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，連接PF，過點PE⊥PF交y軸于點E，設點F運動的時間是t秒〔t＞0〕〔1〕假設點E在y軸的負半軸上〔如下列圖〕，求證：PE=PF；〔2〕在點F運動過程中，設OE=a，OF=b，試用含a的代數(shù)式表示b；〔3〕作點F關于點M的對稱點F′，經(jīng)過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，連接QE．在點F運動過程中，是否存在某一時刻，使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似？假設存在，請直接寫出t的值；假設不存在，請說明理由．11、〔202128.此題10分〕如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm，點E從點A出發(fā)，沿射線AD移動，以CE為直徑作圓O，點F為圓O與射線BD的公共點，連接EF、CF，過點E作EG⊥EF，EG與圓O相交于點G，連接CG.試說明四邊形EFCG是矩形；當圓O與射線BD相切時，點E停頓移動，在點E移動的過程中，①矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？假設存在，求出這個最大值或最小值；假設不存在，說明理由；②求點G移動路線的長.12、〔12分〕〔2021?荊州25．〕如圖①，：在矩形ABCD的邊AD上有一點O，OA=，以O為圓心，OA長為半徑作圓，交AD于M，恰好與BD相切于H，過H作弦HP∥AB，弦HP=3．假設點E是CD邊上一動點〔點E與C，D不重合〕，過E作直線EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿著動直線EF對折，點C的對應點為G．設CE=x，△EFG與矩形ABCD重疊局部的面積為S．〔1〕求證：四邊形ABHP是菱形；〔2〕問△EFG的直角頂點G能落在⊙O上嗎？假設能，求出此時x的值；假設不能，請說明理由；〔3〕求S與x之間的函數(shù)關系式，并直接寫出FG與⊙O相切時，S的值．13、〔2021日照本小題總分值14分21．〕閱讀資料：小明是一個愛動腦筋的好學生，他在學習了有關圓的切線性質后，意猶未盡，又查閱到了與圓的切線相關的一個問題：如圖l，PC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，延長剛交切線PC于點P．連接AC，BC，OC．因為PC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2．又因為∠B=∠1，所以∠B=∠2．在△PAC與△PCB中，又因為∠P=∠P，所以△PAC～△PCB，所以=，即PC2=PA·PB．問題拓展：〔1〕如果PB不經(jīng)過⊙O的圓心O〔如圖2〕，等式PC2=PA·PB，還成立嗎"請證明你的結論．綜合應用：〔2〕如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，PC是⊙O的切線，C是切點，BA的延長線交PC于點P．①當AB=PA，且PC=12時，求PA的值；②D是BC的中點，PD交AC于點E．求證：圖1圖2圖314、〔11分〕〔2021?25．〕圖1和圖2中，優(yōu)弧所在⊙O的半徑為2，AB=2．點P為優(yōu)弧上一點〔點P不與A，B重合〕，將圖形沿BP折疊，得到點A的對稱點A′．〔1〕點O到弦AB的距離是，當BP經(jīng)過點O時，∠ABA′=°；〔2〕當BA′與⊙O相切時，如圖2，求折痕的長：〔3〕假設線段BA′與優(yōu)弧只有一個公共點B，設∠ABP=α．確定α的取值圍．15、〔12分〕〔2021?24．〕閱讀材料：如圖1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，點P在AB邊上，PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，那么PE+PF=OA．〔此結論不必證明，可直接應用〕〔1〕【理解與應用】如圖2，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC，BD相交于點O，點P在AB邊上，PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，那么PE+PF的值為_________．〔2〕【類比與推理】如圖3，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AB=4，AD=3，點P在AB邊上，PE∥OB交AC于點E，PF∥OA交BD于點F，求PE+PF的值；〔3〕【拓展與延伸】如圖4，⊙O的半徑為4，A，B，C，D是⊙O上的四點，過點C，D的切線CH，DG相交于點M，點P在弦AB上，PE∥BC交AC于點E，PF∥AD于點F，當∠ADG=∠BCH=30°時，PE+PF是否為定值？假設是，請求出這個定值；假設不是，請說明理由．16、〔10分〕〔2021?28．〕在平面直角坐標系xOy中，點M〔，〕，以點M為圓心，OM長為半徑作⊙M．使⊙M與直線OM的另一交點為點B，與x軸，y軸的另一交點分別為點D，A〔如圖〕，連接AM．點P是上的動點．〔1〕寫出∠AMB的度數(shù)；〔2〕點Q在射線OP上，且OP?OQ=20，過點Q作QC垂直于直線OM，垂足為C，直線QC交x軸于點E．①當動點P與點B重合時，求點E的坐標；②連接QD，設點Q的縱坐標為t，△QOD的面積為S．求S與t的函數(shù)關系式及S的取值圍．17、〔9分〕〔2021年省23．〕如圖平面直角坐標系中，點O是坐標原點，矩形ABCD是頂點坐標分別為A〔3，0〕、B〔3，4〕、C〔0，4〕．點D在y軸上，且點D的坐標為〔0，﹣5〕，點P是直線AC上的一動點．〔1〕當點P運動到線段AC的中點時，求直線DP的解析式〔關系式〕；〔2〕當點P沿直線AC移動時，過點D、P的直線與x軸交于點M．問在x軸的正半軸上是否存在使△DOM與△ABC相似的點M？假設存在，請求出點M的坐標；假設不存在，請說明理由；〔3〕當點P沿直線AC移動時，以點P為圓心、R〔R＞0〕為半徑長畫圓．得到的圓稱為動圓P．假設設動圓P的半徑長為，過點D作動圓P的兩條切線與動圓P分別相切于點E、F．請?zhí)角笤趧訄AP中是否存在面積最小的四邊形DEPF？假設存在，請求出最小面積S的值；假設不存在，請說明理由．18、〔2021?，第22題8分〕如圖1，AB是圓O的直徑，點C在AB的延長線上，AB=4，BC=2，P是圓O上半局部的一個動點，連接OP，CP?！?〕求△OPC的最大面積；〔2〕求∠OCP的最大度數(shù)；〔3〕如圖2，延長PO交圓O于點D，連接DB，當CP=DB，求證：CP是圓O的切線.19.〔2021?株洲，第23題，8分〕如圖，PQ為圓O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ=QB=1，動點A在圓O的上半圓運動〔含P、Q兩點〕，以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC．〔1〕當線段AB所在的直線與圓O相切時，求△ABC的面積〔圖1〕；〔2〕設∠AOB=α，當線段AB、與圓O只有一個公共點〔即A點〕時，求α的圍〔圖2，直接寫出答案〕；〔3〕當線段AB與圓O有兩個公共點A、M時，如果AO⊥PM于點N，求CM的長度〔圖3〕．圓綜合大題復習答案1．〔12分〕〔2021?〕解答：解：〔1〕連接PA，如圖1所示．∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=2，∴OA=．∵點P坐標為〔﹣1，0〕，∴OP=1．∴PA==2．∴BP=CP=2．∴B〔﹣3，0〕，C〔1，0〕．〔2〕連接AP，延長AP交⊙P于點M，連接MB、MC．如圖2所示，線段MB、MC即為所求作．四邊形ACMB是矩形．理由如下：∵△MCB由△ABC繞點P旋轉180°所得，∴四邊形ACMB是平行四邊形．∵BC是⊙P的直徑，∴∠CAB=90°．∴平行四邊形ACMB是矩形．過點M作MH⊥BC，垂足為H，如圖2所示．在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．∴點M的坐標為〔﹣2，〕．〔3〕在旋轉過程中∠MQG的大小不變．∵四邊形ACMB是矩形，∴∠BMC=90°．∵EG⊥BO，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵點Q是BE的中點，∴QM=QE=QB=QG．∴點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上，如圖3所示．∴∠MQG=2∠MBG．∵∠COA=90°，OC=1，OA=，∴tan∠OCA==．∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．∴∠MQG=120°．∴在旋轉過程中∠MQG的大小不變，始終等于120°．2．〔8分〕〔2021?〕解答：〔1〕解：連接OB，OD，∵∠DAB=120°，∴所對圓心角的度數(shù)為240°，∴∠BOD=120°，∵⊙O的半徑為3，∴劣弧的長為：×π×3=2π；〔2〕證明：連接AC，∵AB=BE，∴點B為AE的中點，∵F是EC的中點，∴BF為△EAC的中位線，∴BF=AC，∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；〔3〕解：過點B作AE的垂線，與⊙O的交點即為所求的點P，∵BF為△EAC的中位線，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，∵G為BD的中點，∴BG=BD，∴BG=BF，在△PBG和△PBF中，，∴△PBG≌△PBF〔SAS〕，∴PG=PF．4、20215、20216．〔9分〕〔2021?〕解答：解：〔1〕以AB為邊，在第一象限作等邊三角形ABC，以點C為圓心，AC為半徑作⊙C，交y軸于點P1、P2．在優(yōu)弧AP1B上任取一點P，如圖1，那么∠APB=∠ACB=×60°=30°．∴使∠APB=30°的點P有無數(shù)個．故答案為：無數(shù)．〔2〕①當點P在y軸的正半軸上時，過點C作CG⊥AB，垂足為G，如圖1．∵點A〔1，0〕，點B〔5，0〕，∴OA=1，OB=5．∴AB=4．∵點C為圓心，CG⊥AB，∴AG=BG=AB=2．∴OG=OA+AG=3．∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=AB=4．∴CG===2．∴點C的坐標為〔3，2〕．過點C作CD⊥y軸，垂足為D，連接CP2，如圖1，∵點C的坐標為〔3，2〕，∴CD=3，OD=2．∵P1、P2是⊙C與y軸的交點，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2==．∵點C為圓心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=．∴P2〔0，2﹣〕．P1〔0，2+〕．②當點P在y軸的負半軸上時，同理可得：P3〔0，﹣2﹣〕．P4〔0，﹣2+〕．綜上所述：滿足條件的點P的坐標有：〔0，2﹣〕、〔0，2+〕、〔0，﹣2﹣〕、〔0，﹣2+〕．〔3〕當過點A、B的⊙E與y軸相切于點P時，∠APB最大．①當點P在y軸的正半軸上時，連接EA，作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2．∵⊙E與y軸相切于點P，∴PE⊥OP．∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．∴四邊形OPEH是矩形．∴OP=EH，PE=OH=3．∴EA=3．∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH===∴OP=∴P〔0，〕．②當點P在y軸的負半軸上時，同理可得：P〔0，﹣〕．理由：①假設點P在y軸的正半軸上，在y軸的正半軸上任取一點M〔不與點P重合〕，連接MA，MB，交⊙E于點N，連接NA，如圖2所示．∵∠ANB是△AMN的外角，∴∠ANB＞∠AMB．∵∠APB=∠ANB，∴∠APB＞∠AMB．②假設點P在y軸的負半軸上，同理可證得：∠APB＞∠AMB．綜上所述：當點P在y軸上移動時，∠APB有最大值，此時點P的坐標為〔0，〕和〔0，﹣〕．7．〔10分〕〔2021?襄陽〕解答：〔1〕證明：作⊙O的直徑AE，連接PE，∵AE是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，∴∠DAE=∠APE=90°，∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，∴∠PAD=∠E，∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，∴△ADP∽△BDA；〔2〕PA+PB=PC，證明：在線段PC上截取PF=PB，連接BF，∵PF=PB，∠BPC=60°，∴△PBF是等邊三角形，∴PB=BF，∠BFP=60°，∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA=∠BFC，在△BPA和△BFC中，，∴△BPA≌△BFC〔AAS〕，∴PA=FC，AB=BC，∴PA+PB=PF+FC=PC；〔3〕解：∵△ADP∽△BDA，∴==，∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD﹣DP=3，∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC，∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，∴PAD=∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴=，AP2=CP?PD，∴AP2=〔3+AP〕?1，解得：AP=或AP=〔舍去〕，∴BC=AB=2AP=1+．10．〔2021?〕證明：〔1〕如圖，連接PM，PN，∵⊙P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE〔ASA〕，∴PE=PF，〔2〕解：①當t＞1時，點E在y軸的負半軸上，如圖，由〔1〕得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，∴b﹣a=1+t﹣〔t﹣1〕=2，∴b=2+a，②0＜t≤1時，如圖2，點E在y軸的正半軸或原點上，同理可證△PMF≌△PNE，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，∴b+a=1+t+1﹣t=2，∴b=2﹣a，〔3〕如圖3，〔Ⅰ〕當1＜t＜2時，∵F〔1+t，0〕，F(xiàn)和F′關于點M對稱，∴F′〔1﹣t，0〕∵經(jīng)過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，∴Q〔1﹣t，0〕∴OQ=1﹣t，由〔1〕得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1當△OEQ∽△MPF∴=∴=，解得，t=，當△OEQ∽△MFP時，∴=，=，解得，t=，〔Ⅱ〕如圖4，當t＞2時，∵F〔1+t，0〕，F(xiàn)和F′關于點M對稱，∴F′〔1﹣t，0〕∵經(jīng)過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，∴Q〔1﹣t，0〕∴OQ=t﹣1，由〔1〕得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1當△OEQ∽△MPF∴=∴=，無解，當△OEQ∽△MFP時，∴=，=，解得，t=2±，所以當t=，t=，t=2±時，使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似．11.〔2021此題10分〕〔1〕∵CE是⊙O的直徑，點F、G在⊙O上，∴∠EFC=∠EGC=90°，又∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°，∴四邊形EFCG是矩形···························2分〔2〕①∵四邊形EFCG是矩形，∴∠BCD=90°，∴BDC=.∵∠CEF=∠BDC，∴CEF=BDC，即···········3分∴∵當點F與點B重合時，CF=BC=4；當⊙O與射線BD相切時，點F與點D重合，此時CF=CD=3；當CF⊥BD時，∴.∴當CF=cm時，·····················6分當CF=4cm時，.································8分②如答圖4，連接DG，并延長DG交BC得延長線與點G’.∵∠BDG=∠FEG=90°，又∵∠DCG’=90°，∴點G得移動路線為線段DG’,·······9分∵CD=3cm，∴CG’=∴DG’=··············10分12．〔12分〕〔2021?荊州〕解答：解：〔1〕證明：連接OH，如圖①所示．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．∵HP∥AB，∴∠ANH+∠BAD=180°．∴∠ANH=90°．∴HN=PN=HP=．∵OH=OA=，∴sin∠HON==．∴∠HON=60°∵BD與⊙O相切于點H，∴OH⊥BD．∴∠HDO=30°．∴OD=2．∴AD=3．∴BC=3．∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．∴tan∠BDA===．∴AB=3．∵HP=3，∴AB=HP．∵AB∥HP，∴四邊形ABHP是平行四邊形．∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直徑，∴BA與⊙O相切于點A．∵BD與⊙O相切于點H，∴BA=BH．∴平行四邊形ABHP是菱形．〔2〕△EFG的直角頂點G能落在⊙O上．如圖②所示，點G落到AD上．∵EF∥BD，∴∠FEC=∠CDB．∵∠CDB=90°﹣30°=60°，∴∠CEF=60°．由折疊可得：∠GEF=∠CEF=60°．∴∠GED=60°．∵CE=x，∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．∴cos∠GED===．∴x=2．∴GE=2，ED=1．∴GD=．∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．∴OG=OM．∴點G與點M重合．此時△EFG的直角頂點G落在⊙O上，對應的x的值為2．∴當△EFG的直角頂點G落在⊙O上時，對應的x的值為2．〔3〕①如圖①，在Rt△EGF中，tan∠FEG===．∴FG=x．∴S=GE?FG=x?x=x2．②如圖③，ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，GR=GE﹣ER=x﹣〔6﹣2x〕=3x﹣6．∵tan∠SRG===，∴SG