二階微分方程應(yīng)用習(xí)題課市公開課一等獎(jiǎng)省課獲獎(jiǎng)?wù)n件

高階微分方程應(yīng)用習(xí)題課第七章微分方程二、二階微分方程實(shí)際應(yīng)用

一、兩類高階微分方程解法

1.可降階微分方程解法2.二階線性微分方程解法第1頁(yè)一、兩類高階微分方程解法

1.可降階微分方程解法——降階法令令逐次積分求解

第2頁(yè)2.二階線性微分方程解法常系數(shù)齊次情形——代數(shù)法特性方程:實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.第3頁(yè)2.二階線性微分方程解法常系數(shù)非齊次情形——代數(shù)法為常數(shù)其中

為實(shí)數(shù),為m次多項(xiàng)式.1）此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.當(dāng)

是特性方程k重根時(shí),可設(shè)特解將此式代入原方程比較系數(shù)即可確定該特解.第4頁(yè)2.二階線性微分方程解法常系數(shù)非齊次情形——代數(shù)法為常數(shù)2）型則可設(shè)特解:其中為特性方程

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程情形.將此式代入原方程比較系數(shù)即可確定該特解.第5頁(yè)解.例1設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)1)試將x＝x(y)所滿足微分方程變換為y＝y(tǒng)(x)所滿足微分方程;2)求變換后微分方程滿足初始條件數(shù),且解

上式兩端對(duì)x求導(dǎo),得1)由反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式知(2023考研)第6頁(yè)代入原微分方程得①2)方程①對(duì)應(yīng)齊次方程通解為設(shè)①特解為代入①得A＝0,從而得①通解:由初始條件得故所求初值問題解為第7頁(yè)二、微分方程應(yīng)用

1.建立數(shù)學(xué)模型—列微分方程問題建立微分方程(共性)利用物理規(guī)律利用幾何關(guān)系確定定解條件(個(gè)性)初始條件邊界條件也許尚有銜接條件2.解微分方程問題3.分析解所包括實(shí)際意義第8頁(yè)例2解

欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其掙脫地球引力,初始速度應(yīng)大于第二宇宙速度,試計(jì)算此速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m,地球質(zhì)量為M,衛(wèi)星質(zhì)心到地心距離為h,由牛頓第二定律得:②(G為引力系數(shù))則有初值問題:又設(shè)衛(wèi)星初速度③第9頁(yè)②③代入原方程②,得兩邊積分得利用初始條件③,得因此注意到第10頁(yè)為使由于當(dāng)h=R(在地面上)時(shí),引力=重力,即④代入④即得這說明第二宇宙速度為第11頁(yè)練習(xí)題從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器,按探測(cè)要求,

需確定儀器下沉深度

y與下沉速度v之間函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力作用,設(shè)儀器質(zhì)量為

m,體積為B,海水比重為

,儀器所受阻力與下沉速度成正比,百分比系數(shù)為k(k>0),試建立y與v所滿足微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v).(1995考研)提醒:

建立坐標(biāo)系如圖.質(zhì)量m體積B由牛頓第二定律重力浮力阻力第12頁(yè)初始條件為用分離變量法解上述初值問題得得質(zhì)量m體積B注意:第13頁(yè)在閉合回路中,所有支路上電壓降為0.例3

有一電路如圖所示,電阻

R和電～解

列方程.已知通過電阻R電壓降為Ri;通過L電壓降為因此有即初始條件:由回路電壓定律:其中電源求電流強(qiáng)度感L都是常量,第14頁(yè)解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解公式可得～第15頁(yè)暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流因此所求電流函數(shù)為解意義:～第16頁(yè)求電容器兩兩極板間電壓練習(xí)題

聯(lián)組成電路,其中R,L,C為常數(shù),所滿足微分方程.解設(shè)電路中電流為i(t),電量為q(t),自感電動(dòng)勢(shì)為由電學(xué)知根據(jù)回路電壓定律:設(shè)有一種電阻R,自感L,電容C和電源E串極板上在閉合回路中,所有支路上電壓降為0‖~第17頁(yè)串聯(lián)電路振蕩方程:化為有關(guān)方程:故有‖~假如電容器充電后撤去電源(E=0),則得第18頁(yè)當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí),物體處于平衡狀態(tài),例4

質(zhì)量為m物體自由懸掛在一端固定彈簧上,力與阻力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng),解阻力大小與運(yùn)動(dòng)速度向下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手物體在彈性取平衡時(shí)物體位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)時(shí)刻t物位移為x(t).①自由振動(dòng)情況.彈性恢復(fù)力物體所受力有:(虎克定律)成正比,方向相反.1）建立位移滿足微分方程.第19頁(yè)據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動(dòng)方程:阻力②強(qiáng)迫振動(dòng)情況.若物體在運(yùn)動(dòng)過程中還受鉛直外則得強(qiáng)迫振動(dòng)方程:力第20頁(yè)2）解在無外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),求物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律為初始設(shè)t=0時(shí)物體位置定解問題為由1）知,位移滿足方程:特性方程:特性根:方程通解:①無阻尼自由振動(dòng)情況(n=0)利用初始條件得:第21頁(yè)故所求特解:簡(jiǎn)諧振動(dòng)

A:振幅,

:初相,周期:固有頻率(僅由系統(tǒng)特性確定)解特性:第22頁(yè)方程:特性方程:特性根:小阻尼:n<k這時(shí)需分如下三種情況進(jìn)行討論:②有阻尼自由振動(dòng)情況大阻尼:n>k臨界阻尼:n=k解特性解特性解特性第23頁(yè)小阻尼自由振動(dòng)解特性:由初始條件確定任意常數(shù)后變形運(yùn)動(dòng)周期:振幅:衰減很快,隨時(shí)間t增大物體趨于平衡位置.第24頁(yè)大阻尼解特性:(n>k)1)無振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):2)對(duì)任何初始條件即隨時(shí)間t增大物體總趨于平衡位置.第25頁(yè)臨界阻尼解特性:(n=k)任意常數(shù)由初始條件定,最多只與t軸交于一點(diǎn);即隨時(shí)間t增大物體總趨于平衡位置.2)無振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):第26頁(yè)3）作用，求物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解問題歸結(jié)為求解無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程

當(dāng)p

≠k時(shí),齊次通解:非齊次特解形式:因此原方程④之解為若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力f和鉛直干擾力代入④可得:④第27頁(yè)當(dāng)干擾力角頻率p

≈固有頻率k時(shí),自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)

當(dāng)

p

=k時(shí),非齊次特解形式:代入④可得:方程④解為④第28頁(yè)若要利用共振現(xiàn)象,應(yīng)使p與k盡可能接近,或使伴隨t增大,強(qiáng)迫振動(dòng)振幅這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象.可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象,應(yīng)使p遠(yuǎn)離固有頻率k;p

=k.自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)機(jī)械來說,共振也許引發(fā)破壞作用,如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對(duì)電磁振蕩來說,共振也許起有利作用,如收音機(jī)調(diào)頻放大即是利用共振原理.第29頁(yè)練習(xí)1容器內(nèi)溶液含糖量問題

一容器內(nèi)有糖水100L，含糖量為100克，現(xiàn)以5L/min速度注入濃度為10克/L糖水，同步將均勻混合糖水以5L/min速度排出.求含糖量對(duì)時(shí)間變化函數(shù)？分析:

在時(shí)間微量dt內(nèi)容器含糖量變化量解得－該時(shí)間內(nèi)排出鹽水含鹽量＝該時(shí)間內(nèi)注入鹽水含鹽量微量平衡原理第30頁(yè)練習(xí)2污水治理問題

某湖泊水量為V,每年均勻排入含污染物A污水量V/6,流入不含污物A水量也是V/6,同步每年以勻速將V/3水量排出湖泊.經(jīng)測(cè)m(0)=5m0,為治理執(zhí)行限排標(biāo)準(zhǔn).排入湖泊中污染物含A濃度不得超出每年m0/V.假定湖中含A總是均勻,問幾年后A