2022-2023學年高三數學新高考一輪復習專題5.3三角恒等變換含解析

Page15.3三角恒等變換課標要求考情分析核心素養(yǎng)1.會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式．2.會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式．3.會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系．4.能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶).新高考3年考題題號考點數學抽象數學運算直觀想象2022(Ⅱ)卷6三角恒等變換的綜合應用2021(Ⅰ)卷6、10二倍角公式，向量數量積的坐標運算，和差角公式，同角三角函數的基本關系1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)Cα±β:cosα±βSα±β:sinα±βTα±β:tanα±β=(2)公式的逆用及變形 ①tanα±tanβ=tan②在△ABC中,(角A,B,C均不為直角)，tanA+B=tanA+tanB2.二倍角公式Cα±βS2αC2αT3.輔助角公式函數fx=asinx+bcosx(a,b為常數f其中sinφ=ba2+b2,cosφ=1.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin＝±.(2)cos＝±.(3)tan＝＝.2.升冪公式：1-cos2α=2sin2α;1+cos2α=2co3.降冪公式：sinα?cosα=124.萬能置換公式：sin2α=2sinα?cosαsin1.【P223T5.多選】下列四個等式其中正確的是(

)A.tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=3B.tan22.5°2.【P227T10】已知OPQ是半徑為1，圓心角為π6的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的接矩形，則AB+2AD的最大值為

．考點一和差角公式的應用【方法儲備】1.公式的正用、逆用及變形用：（1）正用：記住公式的結構特征和符號變化規(guī)律，正確使用公式；（2）逆用及變形用：公式逆用時一定要注意公式成立的條件和角之間的關系；（3）注意特殊角的應用，當式子中出現12（4）三角恒等變換常與同角三角函數的基本關系，誘導公式等綜合應用.2.角（函數名的）的變換：（1）變角技巧（2）常見的配角技巧①2α=②α=③α-β=④π⑤7角度1公式的直接應用【典例精講】例1.(2022·山東省期中)已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin(α+β)=

．【名師點睛】本題考查兩角和與差的正弦函數公式的應用，三角函數的求值，屬于基本知識的考查．【靶向訓練】練1-1(2022·四川省成都市期中)求值：tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=

．練1-2(2022·天津市模擬)計算cos20°cos80°+A.12 B.32 C.-角度2拆角、配角問題【典例精講】例2.(2022·浙江省模擬)若α,β∈(π2,π)，且sinα=255A.7210 B.22 C.1【名師點睛】本題考查兩角和與差的三角函數公式，涉及同角三角函數的基本關系，屬于中檔題．

由同角三角函數的基本關系可得cosα和cos(α-β)，由sinβ=【靶向訓練】練1-3(2022·浙江省麗水市期末)已知sinα-π6=13，α∈0,A.6+12 B.6-13練1-4(2022·云南省期末)已知tan(α-π6)=12，tan考點二二倍角公式【方法儲備】1.二倍角公式就是兩角和的正弦、余弦、正切中α=β的特殊情況；2.二倍角是相對的,α2是α4的2倍,3α是3α2的2倍【典例精講】

例3.(2022·安徽省強基)下列等式成立的是(

)A.cos215°-sin215°=3【名師點睛】本題考查三角函數的恒等變形即化簡的應用，屬于基礎題．

分別將所給命題按二倍角公式，兩角和的正弦公式，兩角差的正切公式逆用可判斷出所給命題的真假．【靶向訓練】練2-1(2022·湖南省長沙市期末)已知α∈(π2,π)，sinα=35，則tan2α=練2-2(2019·全國理科卷新課標卷Ⅱ)已知α∈(0,π2)，2sinA.15 B.55 C.3考點三三角函數給值求值問題【方法儲備】1.給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關角的哪些三角函數值，然后根據角的范圍求出相應角的三角函數值，代入即可.2.給角(非特殊角)求值的基本思路：3.“給值求角”：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：角度1給值求值【典例精講】例4.(2022·湖北省孝感市省期末)已知sinα-cosα=105，0≤α≤πA.43-310 B.3-4310 【名師點睛】本題考查三角式的化簡求值，注意角的范圍，屬于基礎題．【靶向訓練】練3-1(2021·江蘇省模擬)若cos(π4-α)=3A.725 B.15 C.-1練3-2(2022·山東省臨沂市模擬)已知sinαcosα=38，且α∈(0,π2)角度2給角求值【典例精講】例5.(2022·江蘇省期末)tan15°A.-2-3 B.-2+3 C.2-【名師點睛】本題考查兩角和與差的正切公式，屬于基礎題．【靶向訓練】練3-3(2021·山東省東營市期末)sin15°+sin75練3-4(2021·江西省萍鄉(xiāng)市期末)求值：sin50°-sin角度3給值求角【典例精講】例6.(2022·江蘇省期末)已知銳角α，β滿足(tanα-1)(tanβ-1)=2，則α+β的值為

．【名師點睛】本題考查兩角和的正切公式，確定α+β的范圍是解答本題的關鍵，屬于基礎題．

由已知化簡可得tanα+tanβ=tanαtanβ-1，代入兩角和的正切公式，可以求出α+β的正切值，根據α、β為銳角，易得α+β的值．【靶向訓練】練3-5(2022·湖北省武漢市模擬)已知sinα=55，sinβ=1010，且α，β為銳角，則α+β=練3-6(2022·江蘇省無錫市模擬)已知cosα=55，sin(α-β)=1010，且α、β∈(0,π2

考點四三角恒等變換的綜合應用【方法儲備】1.三角恒等變換主要有以下四變:2.三角函數式化簡的方法（1）弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．（2）常值代換，三角公式的正用、逆用、變形用.（3）在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律,根號中含有三角函數式時,一般需要升次．（4）三角函數式的化簡過程中通常會用到輔助角公式asinx+bcosx=a3.化簡要求使三角函數式的項數最少、次數最低、角與函數名稱的種類最少；式子中的分母盡量不含三角函數；盡量使被開方數不含三角函數.角度1輔助角公式的應用【典例精講】例7.(2022·山西省模擬)設a=12cos6°-32sin6°，bA.a>b>c B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a【名師點睛】本題主要考查兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式和半角公式的應用，三角函數的性質.

綜合性較強，為比較大小，往往須先化簡三角函數式，利用函數單調性或引入“媒介”．【靶向訓練】練4-1(2022·廣東省揭陽市期中)已知cos(α-π6)+sinα=45A.45 B.-45 C.練4-2(2022·湖北省荊州市模擬)已知角α是銳角，若sinα，cosα是關于x的方程x2+mx+n=0的兩個實數根，則實數A.m2-4n=0 B.m角度2三角函數式的化簡【典例精講】例8.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cosA.tan(α+β)=-1B.tan(【名師點睛】本題考查三角恒等變換的應用.法一：利用特殊值法，排除錯誤選項即可；法二，利用三角恒等變換，求出正確選項.【靶向訓練】練4-3(2022·湖南省長沙市期末)化簡：sin40°(tan10°-3)=

．練4-4(2021·全國甲卷文科)若α∈(0,π2)，tan2α=cosα2-A.1515 B.55 C.5

易錯點1．忽略隱含條件致錯例9.(2022·浙江省溫州市模擬)在△ABC中，sin?A+2sin?Bcos?C=0，則A的最大值是

．易錯點2．湊角、拆角選擇錯誤致錯例10.(2022·湖南省長沙市模擬.多選)下列選項化簡值為1的有(

)A.14(3sin20°-1答案解析【教材改編】1.【解析】對A：tan60°=tan(25°+35°)=tan25°+tan35°1-tan25°tan35°=3，

故tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=3，故A正確；

對B：tan22.5°1-tan2.【解析】在Rt△OBC中，設∠COP=θ，0<θ<π則OB=cosθ，BC=AD=sinθ，

在Rt△OAD中，tanπ∴OA=3sinθ，AB=OB-OA=cosθ-3=(2-3)sinθ+cosθ

=(6-2)(2-36-2sinθ+16-2【考點探究】例1.【解析】sinα+cosβ=1，兩邊平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，

cosα+sinβ=0，兩邊平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin即2+2sin(α+β)=1，∴2sin(α+β)=-1．∴sin(α+β)=-12練1-1.【解析】∵tan60°=tan(20°+40°)=tan20°+tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3．練1-2.【解析】cos20°cos80°+sin例2.【解析】∵sin?α=255，sin?(α-β)=-1010，且α,β∈(π2∴cosα=-1-sin2α=-55，cos練1-3.【解析】因為α∈0,π2所以cosα-所以cos?α=故選：D．練1-4.【解析】因為tan(α-π6)=12，tan(

例3.【解析】A中，cos215°-sin215°=cos30°=32，故A正確；

B中，sinπ8cosπ8=12×sinπ4=練2-1.【解析】∵α∈(π2,π)，sinα=35，∴cosα=-1-故答案為：-24練2-2.【解析】解法一：∵2sin?2α=cos?2α+1，∴4sin?αcos?α=2cos2α-1+1，∴4sinαcosα=2cos2α.

∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0且sinα>0，∴2sinα=cosα解法二：∵2sin?2α=cos?2α+1又∵α∈(0,π2)，∴2sinα=cosα，∴tanα=1故選：B．例4.【解析】由sinα-cosα=105，兩邊平方得：1-sin2α=25，即sin2α=35，

又0≤α≤π，故選：D.練3-1.【解析】法1：∵cos(π∴sin2α=cos(π2-2α)=cos2(π4-α)=2cos2(π4-α)-1=2×9練3-2.【解析】由sinαcosα=38，可得(sinα+cosα)例5.【解析】tan15°=tan(60°-45°)=tan60°-練3-3.【解析】sin15°+sin75°=練3-4.【解析】sin例6.【解析】∵(tanα-1)(tanβ-1)=2，

可得：tanα+tanβ=tanαtanβ-1，∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1，

∵α，β為銳角，可得：α+β∈(0,π)，∴α+β=3π練3-5.【解析】∵sinα=55，sinβ=1010，且α，β均為銳角，

∴cosα=1-sin2α=255，練3-6.【解析】(Ⅰ)解：∵α,β∈(0,π2)，∴α-β∈(-π2,π2)，∵cosα=55(Ⅱ)由(Ⅰ)得，cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=55×31010例7.【解析】a=12cos6°-

c=1+所以a<b<c.

故選B．練4-1.【解析】∵cos(α-π6)+sinα=32cosα+3練4-2.【解析】因為兩根sinα，cosα不一定相等，所以判別式不一定為零，A錯誤；由韋達定理及銳角α可得sinα+cosα=-m>0，sinαcosα=n>0，所以mn<0，C錯誤；因為1=sin2α+cos2α=(sinα+cosαα是銳角，所以m=-(sinα+cosα)=-所以m+n+1=m+m2-12+1=(m+1)例8.【解析】解法一：設β=0則sinα+cosα=0，取α=34π，排除B，D

再取α=0則sinβ+cosβ=2=2sin(α+π4)cosβ+2co