八年級數(shù)學(xué)競賽講座等腰三角形的性質(zhì)附答案

八年級數(shù)學(xué)競賽講座等腰三角形的性質(zhì)附答案第十一講：等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形是一類特殊的三角形，根據(jù)邊或角是否相等進(jìn)行分類，其中兩邊或兩角相等的三角形屬于等腰三角形。等腰三角形具有以下性質(zhì)：兩底角相等，是軸對稱圖形，底邊上的高、中線、頂角的平分線互相重合（即三線合一）。特別地，等邊三角形的各邊相等，各角都為60°。在解決與等腰三角形相關(guān)的問題時(shí)，全等三角形仍然是重要的工具。但更多的是思考如何運(yùn)用等腰三角形的特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計(jì)算、線段相等的證明、直線位置關(guān)系的證明等問題提供了新的理論依據(jù)。因此，我們應(yīng)該重視全等三角形的運(yùn)用，同時(shí)也要善于運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，探求新的解題途徑。例題求解：例1：題目描述一座鋼架，需要在其內(nèi)部添加一些鋼管，使其更加堅(jiān)固。已知鋼架底角∠AOB為10°，添加的鋼管長度都與OE相等，問最多能添加多少根鋼管。解題思路：通過角度的計(jì)算，確定添加鋼管數(shù)的最大值。在三角形中，角度是幾何中最活躍的元素，與角相關(guān)的知識異常豐富。等腰三角形兩底角相等，利用這些定理可以找到角與角之間的“和”、“差”、“倍”、“分”關(guān)系。因此，我們可以運(yùn)用這些知識來解決這道問題。例2：題目描述一個(gè)三角形ABC，已知AB=AC，BG=BH，AK=KG，求∠BAC的度數(shù)。解題思路：圖中有很多相關(guān)的角，我們可以用∠BAC的代數(shù)式表示這些角，建立關(guān)于∠BAC的方程。例3：題目描述一個(gè)直角三角形ABC，已知AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，AE⊥BD于E，延長AE交BC于F，問：當(dāng)點(diǎn)D滿足什么條件時(shí)，∠ADB=∠CDF，請說明理由。解題思路：本例是探索條件的問題，我們可以先假定結(jié)論成立，逐步逆推過去，找到相應(yīng)的條件。若∠ADB=∠CDF，這一結(jié)論如何用？因?yàn)椤螦DB與∠CDF對應(yīng)的三角形不全等，所以我們需要構(gòu)造全等三角形。作頂角的平分線或底邊上的高（中線）是等腰三角形中一條常用輔助線。例4：題目描述一個(gè)直角三角形ABC，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長線于E，且AE=BE。證明：BD是∠ABC的角平分線。解題思路：我們可以先證明△ABE≌△CED，再證明∠ABD=∠CBD。通過等腰三角形的性質(zhì)，我們可以得到AE=BE=CE，從而得到△ABE≌△CED。接著，我們可以利用直角三角形中的內(nèi)角和定理和外角定理，證明∠ABD=∠CBD。最終，我們可以得出結(jié)論：BD是∠ABC的角平分線。【例5】在△ABC中，已知∠C＝60°，AC>BC，且△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等邊三角形，BC＝DC，點(diǎn)D在AC上。(1)證明：△C′BD≌△B′DC；(2)證明：△AC′D≌△DB′A；(3)從面積大小關(guān)系上，得出結(jié)論。解析：(1)由于BC＝DC，且∠C＝∠B′DC，因此△C′BD≌△B′DC（SAS）。(2)因?yàn)椤鰽BC′、△BCA′、△CAB′都是等邊三角形，所以AC′＝BC，CA′＝AB，BA′＝AC。又因?yàn)椤螩＝∠B′DC，所以∠C′BD＝∠BDC，∠B′CD＝∠BCD，∠AC′D＝∠ABD。因此，根據(jù)ASA準(zhǔn)則，可得出△AC′D≌△DB′A。(3)因?yàn)椤鰽BC′、△BCA′、△CAB′都是等邊三角形，所以它們的面積相等。又因?yàn)锳C>BC，所以△ABC的面積大于△ABC′、△BCA′、△CAB′的面積之和。學(xué)力訓(xùn)練：1.添加的條件為∠BAC=60°。2.底邊長為21cm。3.∠DPF=70°。4.∠ABC的大小為60°。5.D．80°或140°。6.三個(gè)結(jié)論正確。7.在三角形ABC中，角ACB為直角，AC=AE，BC=BF，則角ECF的度數(shù)為30°。8.在等邊三角形ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則角APE的度數(shù)為75°。9.在三角形ABC中，已知AB=AC，且過三角形ABC某一頂點(diǎn)的直線可將三角形ABC分成兩個(gè)等腰三角形，求三角形ABC各內(nèi)角的度數(shù)。答案為60°。10.(1)FE、GH、BC共線；GH、AD、BE共線；FE、AD、BC共線。(2)由于FE、GH、BC共線，所以它們的位置關(guān)系是共線的。證明略。11.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為DC的中點(diǎn)，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延長線于點(diǎn)F。證明：AB垂直平分DF。12.在等邊三角形ABC內(nèi)，點(diǎn)O滿足BD=DA，BE=AB，∠DBE=∠DBC，則∠BED的度數(shù)為60°。13.在三角形ABC中，AA'、BB'分別是∠EAO、∠DBC的平分線，若AA'=BB'=AB，則∠BAC的度數(shù)為120°。14.周長為100，邊長為整數(shù)的等腰三角形共有9種。15.已知等腰三角形的兩邊a、b滿足2a-3b+5+(2a+3b-13)^2=0，則此等腰三角形的周長為10。16.在三角形ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，則∠C的大小是30°。17.在等腰直角三角形ABC中，AD為斜邊上的高，以D為端點(diǎn)任作兩條互