2019年基礎物理互動式教學講義-靜力學

靜力學

3-1力與平移平衡

(配合課本P.94?P.103)

—力

1.力的效應:

對一物體施力會產(chǎn)生的效果或反應，稱為力的效應。力的效應有兩類：

力的效應實例理論公式

(1)形體改變彈簧伸長、球壓扁虎克定律F.v=kx

Q)改變運動狀態(tài)物體運動速率變快、變慢或變方向牛頓第二運動定律F=ma

2.以施力者與受力者之間有無接觸來區(qū)分的力，分為接觸力與非接觸力（超距力1

二虎克定律

1.彈力(簡記F,)：

如圖3-1所示，將一彈簧拉開，彈簧會有回復原狀向內(nèi)收縮的力量；將一彈簧壓縮，彈簧

會有回復原狀向外彈開的力量；這兩種力量統(tǒng)稱彈性回復力，簡稱彈力。

(1)一彈簧上任一點的彈力均相等(不計彈簧質(zhì)量\

⑵彈力由接觸點朝向回復原狀的方向。

形燮量

一x..

外力F

彈力F,

▲圖3-1▲圖3-2

2.比例限度：

如圖3-2所示，在比例限度內(nèi)，彈簧所受外力與形變量成正比；超出比例限度，則不會有

正比關(guān)系，除去外力后，彈簧仍可回復原狀；但若超出彈性限度，彈簧將變形無法回復原

狀。

3.虎克定律：

(a)彈簧受力而伸長(b)外力與伸長量的關(guān)系圖(c)外力與全長的關(guān)系圖

▲圖3-3

(1)彈簧在比例限度內(nèi)，外力與伸長量成正比，如圖3-3所示:

F|X|Li—Lp

F2X2L2—L()

(2)為方便起見，以彈簧平衡位置為7=0,將彈簧向右拉長+G，得一彈力-F.v向左；

反之，向左壓縮-7，得一彈力+E向右，可將公式寫為

k:彈性常數(shù)

F.v=-x:形燮量

(3)上式只考慮量值：F,s=kx

4.彈性常數(shù)量值：k=%單位：牛頓味(Mn)

A.

5.彈性常數(shù)k可以想成：拉長彈簧1米，所需施的力。

(1)較粗的彈簧要將其拉長1米所需的力較大，故k值較大。

(2)如圖3-4所示，彈簧粗短，彈性常數(shù)k較大；彈簧細長，彈性常數(shù)k較小。

V

55k大

▲圖3-4

范例1彈簧的彈力相關(guān)題型：單元練習1.

設右圖中之彈簧秤及質(zhì)量系統(tǒng)一起作等速運動,其速率為0.1米秒，則：(重力加速度g=

9.8米秒2)

(1)彈簧秤上指針所顯示之值應為多少牛頓？

(A)196(B)98(C)20(D)10(E)4.9。

(2)彈簧的彈性常數(shù)為200牛中跺，則此彈簧伸長量為多少米？

(A)0.49(B)0.98(C)1.96(D)4.9(E)9.8。

0.1公尺/秒

10公斤10公斤

解題關(guān)鍵等速運動系統(tǒng)，其合力為零，彈簧兩端彈力量值相等。

答(1)(B)(2)(A)

解(1)等速運動合力等于零，彈簧秤受力等于線的張力，為10公斤重，則彈簧秤上指針

所顯示之值為98牛頓。

(2)R=kxO98=200xOx=0.49(米)

類題如右圖，一彈簧的自然長度為24cm,今將其一端固定，另一端以單手握住用力拉長

6cm。如果改用雙手分別握住該彈簧的兩端，各以與前述相同量值的力同時拉長此彈

簧，則彈簧被拉長的長度將變?yōu)槎嗌賑m?

(A)0(B)6(C)12(D)24(E)30o

24cm

30cm?

J窿

p----------2cm----------

答(B)

彈簧兩端彈力量值相等，伸長量還是6cm。

24cm

30cm

I30cmI

=彈簧的聯(lián)接與剪短

彈簧并聯(lián)串聯(lián)剪短

彈簧剪為原長3

F兩條彈簧:件聯(lián)兩條彈簧串聯(lián)

k

k并=2kk串=]k'=2k

L,k

-F

*,2k

三條彈簧:并聯(lián)三條彈簧串聯(lián)彈簧剪為原長1

彈性,k

k并=3kk串一k'=3k

常數(shù)■yww|W4WWSW^*FL,k

-F

k

513k

彈簧剪為原長！

ri條彈簧;件聯(lián)n條彈簧串聯(lián)

,k

k并=nkk串7k'=nk

:L,k

輛H砸硒躥-FW卜F

-F

想法彈簧愈并愈粗彈簧愈串愈長彈簧愈剪愈短

k并愈大k串愈小k,愈大

各彈簧形變量相等各彈簧受力相等彈性常數(shù)與長度成反比

koc1

X并=X]=X2=…???F串=Fi=F2=.......

說明

彈力相加形變量相加

F并=F1+F2+……X串=Xi+X2+.......

原長剪成m：n

-F切割k

m：n

公式彳岫刪向則『F

_0L__n_

111LL

--=—+—^~.....m+nm+n

k串kiK2

m+n卜m+r>卜

mn

k并=ki+k2+.......

范例2彈簧的長度與彈性常數(shù)相關(guān)題型：單元練習9.

有一種健身的器具是以三段彈簧并聯(lián)制成，用以鍛煉胸肌。一彈性常數(shù)k的彈簧剪為等長的

三段，制成健身器具如圖（一）所示，則：

（1）每段的彈性常數(shù)變?yōu)槎嗌?？（以k表示）

（2）三段并聯(lián)的彈性常數(shù)變?yōu)槎嗌伲浚ㄒ詋表示）

（3）用兩端施力F如圖（二），伸長量為多少？（以1;與F表示）

-車

圖（一）圖（二）

解題關(guān)鍵彈性常數(shù)koc寢去，并聯(lián)的彈性常數(shù)k并=如+k2+……

答⑴3k(2)9k(3)

解⑴koc巳長度為1,彈性常數(shù)變?yōu)?k。

(2)三段彈性常數(shù)均為3k的彈簧并聯(lián)，彈性常數(shù)k并=3x3k=9k

p

(3)彈力公式F=k并xOFugkxOxu熊

類題將一重物懸吊于一質(zhì)量可忽略的彈簧下，在鉛垂方向成平衡，此時彈簧的伸長量為

AL,今將此彈簧由中間剪斷，利用被剪斷后的兩彈簧將同一重物吊起，在鉛垂方向呈

平衡狀態(tài)(如右圖所示X若懸吊連接所耗去的長度可以忽略，則此彈簧組合被重物拉

長了多少？

口4

(1)將彈性常數(shù)為k的彈簧中間剪斷成兩段，每一段彈簧彈性常數(shù)為2k。

⑵兩段彈簧并聯(lián)后，彈性常數(shù)k并=2k+2k=4k

(3)掛重W=k-AL.........①

掛重W=4k-x.........@

由①、②得*=牛

范例3彈簧的串聯(lián)與并聯(lián)相關(guān)題型：單元練習4.

如右圖，六條相同之輕彈簧，每條的彈性常數(shù)均為k,左端固定在墻上，由右端施力F,使

彈簧伸長，其中彈簧A伸長x,則：(答案以數(shù)字作答)

(1)施力F=kx。

(2)B彈簧伸長x°

(3)六條相同之輕彈簧的彈簧組，總形變量為X。

(4)六條相同之輕彈簧的彈簧組，彈性常數(shù)為ko

一?一c

解題關(guān)鍵并聯(lián)的彈性常數(shù)k并=k|+k2+……；串聯(lián)彈簧上，每一彈簧的彈力相等。

答(1)1(2)|⑶卷(4)4

解先并聯(lián)(彈性常數(shù)相加)后串聯(lián)。

(1)先將彈簧簡化成kA=k、k8=3k、kc=2k的三條彈簧串聯(lián)，三條彈簧的彈力相

等,其中A彈力為F=kAx=kx

k=kh=3k[=2k

(2)B彈簧的彈性常數(shù)kp=3k,受力kx后的形變量xB=1x

(3)C彈簧的彈性常數(shù)kc=2k,受力kx后的形變量xc=1x

總形變量為x+1x+1x=yX

F

(4)假設彈簧組的彈性常數(shù)為k合

F合=卜合*合

“kx=k合(不x)

6

=1＜合=五k

類題右圖為四個完全相同的彈簧組合而成，在其右端施T乍用力12N,貝1］：

(DA彈簧受力若干？

(2)B彈簧受力若干？

(3)若B彈簧伸長量為2cm,則總共伸長若干？

(4)彈簧組的彈性常數(shù)為若干？

答(1)12N(2)6N(3)10cm(4)1.2^cm

設每一彈簧的彈性常數(shù)均為k,將彈簧組簡化如右圖。

⑴E=12N

⑵FB+FC=12OFB=6(N)

(3)Fp=kxO6=kx20k=3(N/fcm)

總形變量x合=2+4+4=10(cm)

(4)F合=k合x合1=>12=k合xlOU>k合=1.2(N/cm)

^2I(kk

2kkklFa=12JF*=12]F?=12

1

x*=2x尸4|xn=4

四力圖的分析

對一受平面上多種力的物體進行解題，需要三個步驟：

1.選取受力物體。

2.標示各種力(例如：重力、拉力、彈力、正向力與摩擦力等)，畫出物體受力圖。

3.將各力分解成x、y方向的分力平衡來處理：

fZF?=Fix+Fzv+F3x=O

]zFiy=Fb，+F2),+F3y=0

注：因為分量法已經(jīng)可以解歷屆所有大考試題，這里不列其他三力平衡的解題法，拉密定理

編列于實驗3。

范例4平面的三力平衡相關(guān)題型：單元練習5.、6.

如圖(一)所示，一物體重W,由兩繩所系住且懸掛在天花板上，張力分別為「與T2,貝卜

(1)請在圖(一)中畫出此物體的力圖。(2)試將這幾個力平移至圖(二)使三力作用在同一點O

上。⑶繩子張力「為若干?(A)|W(B)當W(C)W(D)2W(E)宗W。

圖(一)圖(二)

解題關(guān)鍵畫力圖，以分量法解題。

答⑴見解析⑵見解析⑶(A)

A/31

x卓由：TI=2T2..............①

(3)ZF=O

yW:1TI+^T2=W........②

由①、②得T1=1W

類題兩輕繩同時懸吊一重W之物，靜止平衡如右圖，求：(答案以W表示)

(1)左繩張力為何？

(2)右繩張力為何?

答(1)y⑵乎W

范例5球體的正向力與平衡相關(guān)題型：單元練習7.

如右圖，有一重量W之均勻圓球，以細繩懸掛且緊靠在光滑墻壁，墻對繩之夾角37。，繩

張力為T,墻壁對球的正向力為N,貝(］：

(1)請在圖(一)中畫出此圓球的力圖。

(2)試將這幾個力平移至圖(二)使三力作用在同一點。上。

(3)墻壁對球的正向力N=Wo(4)繩張力T=Wo

圖（一）圖（二）

解題關(guān)鍵繩張力與墻壁對球的正向力均通過球心。

—35

答⑴見解析⑵見解析（3）4⑷|

解此球受重力W、繩張力T與墻壁正向力N,三力平衡，利用分量法:

33

:$T=NON=JW

45

:-T=W^T=^W

類題如右圖所示,在仰角為e的光滑斜面底端處垂直豎立一個光滑擋板。一個重量為w

的圓球靜止在擋板前的斜面上，試問擋板施于圓球的正向作用力為何？

答Wtan0

x申由：N|sin0=N2ON2=Wtan0

LF=0W

y觸IN]cosO=WU>N|=

cosO

范例6雙球體多力平衡相關(guān)題型：單元練習11.、17.

有一個方形竹簍放上A、B兩個相同籃球，兩球重量均為W、半徑為r，竹簍一個底邊為3r,

恰可將此兩球堆棧如右圖所示，則平衡時：

(1)竹簍壁對A球的作用力量值為何？

(A)2W(B)羋W(C)坐W(D)|W(E)Wo

(2)A、B間的作用力量值為何？

(A)2W(B)羋W(C)坐W(D)|W(E)Wo

(3)竹簍底壁對B球的作用力量值為何？

(A)2W(B)理W(C)當W(D)|W(E)W。

解題關(guān)鍵選取受力體做力分析，平移力，做x與y軸分力。正向力的方向作用在連心在

線。

答(1)(C)(2)(B)(3)(A)

解(1)(2)對A球做力分析如圖(一)，B對A的正向力為NB八,將力平移共點如圖(二)

1x率由：N=5NBA

ZF=O{巧

[ytt:W=^N?4

1=>NBAW=W,Ni=乎W

(3)對A與B系統(tǒng)做力分析如圖(三)：

ZF=0,y軸：N3=2W

圖(一)圖(二)圖(三)

類題如右圖所示，重量為4W、W的A、B兩球，半徑分別為10cm.5cm,置于底面

直徑為27cm的圓柱形容器內(nèi)而平衡。若不考慮摩擦力，且各接觸面皆光滑，則：

(1)兩球之間的接觸作用力為何？

5543

(A)W(B)W(C)3W(D)3W(E)Wo

(2)容器兩側(cè)面施于球的作用力為何？

5543

(A)W(B)W(C)3W(D)3W(E)Wo

答(1)(0(2)(D)

范例7兩力對稱的三力平衡相關(guān)題型：單元練習12.

如圖（一）?（四）所示，一繩子兩端掛在固定的A、B兩點上，一動滑輪置在其間，動滑輪下

掛有一可改變重量的物體，繩子所能承受的最大張力為To不計滑輪與繩的重量，則：（答案

以T與0表示）

（1）如圖（一），繩子呈鉛垂，物體最大重量為何？

（2）如圖（二），繩子夾90°,物體最大重量為何？

（3）如圖（三），繩子夾120。，物體最大重量為何？

（4）如圖（四），繩子夾6，物體最大重量為何？

解題關(guān)鍵若兩力均為F,夾角20,三力平衡W=2Fcos0

答(1)2T(2)啦T(3)T(4)2Tcos

解⑴如圖(一)，Wi=2T

(2)如圖(二),ZFy=0,W2=2TCOS45°=V2T

(3)如圖(三),ZFV=0,W3=2TCOS60°=T

0

-

2

(4)如圖(四),ZFV=O,W4=

圖（二）圖（三）圖（四）

類題有一條100cm長的細繩，其耐重限度為30No今將細繩對折，并在折迭處掛上30N

的重物，而用雙手拉住細繩的兩端，慢慢往左、右兩邊張開，欲使細繩不被扯斷，則

細繩之兩端最多可被分開cm。

回

答5073

如右圖，三力相等，夾角均為120°

20=120°弓0=60°

故x=2x50sin60°=50y/3(cm)

30N

范例8塑料鏈之力的平移平衡相關(guān)題型：單元練習18.

有一條重量為W的曬衣服塑料制鏈狀裝置，如右圖所示，鏈的兩端掛于同高之兩鉤間，并

測量出均與水平成。角，則：

⑴此塑料鏈作用于左鉤上的力量值為何？

（2）在塑料鏈之最低點，其張力量值為何?

解題關(guān)鍵取半條塑料鏈為力分析的物體，最低點的張力方向為水平方向。

ww

答（1）2sin0(2)2tan。

解⑴如圖（一）所示，F(xiàn)左=F右

W

垂直方向：2F左sin0=W

圖（一）

⑵對塑料鏈之左半段受力做力分析如圖（二）

平移平衡時，F(xiàn)左cosG=T

WW

?■?T=2^0COS0=I^O

圖（二）

類題一均勻鐵索重W掛于垂直柱子上，懸掛點與水平夾30。角。若在最低點以一水平力F

拉住，恰可維持如右圖的平衡，試問F的量值為何？（以W表示）

答小W

TT

Ftan30°=WOF=

觀念對不對

(x)1.質(zhì)料與粗細相同的彈簧，長度愈長，彈性常數(shù)愈大。

1.質(zhì)料與粗細相同的彈簧，長度愈長，彈性常數(shù)愈小。

(。)2.質(zhì)料與長度相同的彈簧，粗細愈粗，彈性常數(shù)愈大。

(x)3.兩彈性常數(shù)均為k的彈簧，串聯(lián)后彈性常數(shù)為2k,并聯(lián)后彈性常數(shù)為1o

3.并聯(lián)后彈性常數(shù)為2k,串聯(lián)后彈性常數(shù)為10

(。)4.若不平行的三力二瓦忑作用于物體呈平衡狀態(tài)，則A+B+C=0,

A+B=-C,證實兩力之和必為第三力的反向。

(。)5.不平行的三力作用于物體呈平衡狀態(tài)，則此三力的向量必可平移構(gòu)成封閉的三角形。

噴單字一般'難

單元練習3-1力與平移平衡

基礎概念題

一、單一選擇題

((A))1.作用1牛頓的力于一條彈簧，其伸長量為x；若將兩條同樣的彈簧并聯(lián)，且兩

端分別作用4牛頓的力，則伸長量將變?yōu)槎嗌伲?/p>

(A)2x(B)3x(C)4x(D)5x(E)6xo

1.并聯(lián)時，每條彈簧受力2牛頓，故伸長量為2xo

2.、3.題為題組

一彈簧長0.2m,彈性常數(shù)為10kgw4n,一端懸于天花板，另一端懸掛3kgw之重錘,

如右圖所示，當系統(tǒng)達平衡時，彈簧長為0.3m,則：

((D))2.彈簧的彈力為何?

(A)0.5kgw(B)3kgw(C)2kgw(D)1kgw0

2.伸長量=0.3-0.2=0.1(m)

彈力=kx=10x0.1=1(kgw)

((C))3.木板作用于重錘之力量值為多少？

(A)0.5kgw(B)3kgw(C)2kgw(D)1kgw0

3.由合力=0

.-.N+1=3

1=>N=2(kgw)

kx=l

N

W=3

(D))4.如右圖，各彈簧均相同，彈簧組受一外力F-B彈簧伸長量為3cm,若所有彈

簧均在正比限度內(nèi)，則總伸長量為多少cm?

(A)8(B)9(C)10(D)11(E)12o

D

彳A

cE

F

4.設各彈簧的彈性常數(shù)為k,串聯(lián)時各組合之受力相同，2kx3=kxc=3kxD

「.xc=6(cm),x。=2(cm),總伸長量=3+6+2=11(cm)

5.、6.題為題組

如右圖所示，重量3kgw的重物掛于金屬環(huán)上，并以兩繩懸吊后呈靜止,兩繩上各有輕

彈簧秤顯示繩子的拉力，已知左繩拉力為2kgw,與鉛垂線的夾角為37。,試求：

((E))5.右繩的拉力約為多少kgw?

(A)3.2(B)3(C)2.4(D)2(E)1.8O

((A))6.右繩與鉛垂線的夾角6之正切值tanO為何？

(A)|(B)|(C)|(D)|(E)lo

((A))7.如右圖所示，一物體60kgw用細繩懸于天花板上，物體一側(cè)與彈性常數(shù)為

1500kgwdn的彈簧相連，彈簧質(zhì)量可不計，施一水平外力F于彈簧上，使繩與

鉛垂線夾37。，則彈簧的伸長量為何？

(A)3cm(B)4cm(C)4.5cm(D)5cm(E)6cmo

((A))8.一物重10kgw,以細繩及彈簧吊起平衡如右圖所示。設彈簧原長1.5cm,彈性

常數(shù)為7840Mn,細繩較長者長度為4cm，則較長之細繩上張力為多少kgw?

(g=9.8nVs2)

(A)3(B)372(C)3^3(D)6啦(E)6小.

9.、10.題為題組

如右圖，長為0、彈性常數(shù)為k的輕彈簧固定其上下兩端，今于其中點處施一水平力F

使彈簧各段與鉛垂線成37。角，則：

((C))9.圖中r長度為何?

3153

(A)M(B)50。g2(D)J4

9.彈簧被拉長后的長度：2，cos37。=or=|(.

((A))10.F的量值為何?

3213

(A)布kd(B)5k0(C)2k￡(D).k/

((D))11.如右圖所示，重量W之小球靜置于光滑大球表面，而以輕繩懸掛于大球中心

之正上方處，若繩長與大球半徑相等，則平衡時大球?qū)π∏蛑蛄楹危?/p>

WWWww

(A)sin0(B)cos0(C)2sinO(D)2cos0任)tan0°

12.、13.題為題組

一質(zhì)量m之物體以兩條頂點相距0的相同彈簧懸掛起來，平衡時兩彈簧間的夾角為

20,如右圖所示。若彈簧的自然長度亦為0,則：(重力加速度為g)

夕((B))12.每條彈簧彈力的垂直分力，需承受多大重量?

(A)mg(B)詈(C)詈(D)mgtan.

夕((D))13.每條彈簧的伸長量有多大？

(A)[(焉-1)⑻，(焉-1)?/(煮-1)

①"(2sin0-11

二、多重選擇題

叼((A)(B)(C))14.彈性常數(shù)的單位為何?

(A)牛4跺(B)公斤秒2(C)焦耳深2①)公斤?米秒

(E)公斤?秒米。

F力的軍位

sx弓巾601TM/二是度的軍位

夕((A)(E))15.將兩彈簧串聯(lián)使用、并聯(lián)使用或單獨使用，可得四種彈性常數(shù)ki、k2、k”k4

，但k|>k2>k3>匕，則下列哪些關(guān)系是對的？

(A)k|=k2+k3(B)k2=k3+k4(C)k1k3=k2k4(D)k|k2=k3k4

111

(E)bl。

15.并聯(lián)彈性常數(shù)變大，故為k,；串聯(lián)彈性常數(shù)變小，故為修；其余兩彈簧彈性常數(shù)為k2

與k3

，k廣1<2+1<3,心+七苗

綜合練習題

16.兩物體質(zhì)量分別為mi及m2,以彈性常數(shù)分別為ki.k、k2之三個彈簧連系起來，如右

圖所示。在不考慮重力及摩擦力的情形下，設g及m2物體偏離其平衡點之位移分別

為X|、X2,且X2>X1(設向右位移時x為正)，則m2物體此時所受之凈力為

—k(X2—X1)—k?X2<,

16.對m2做力分析，其中彈簧k被拉長x2-X],彈力為k(x2-X])向左；彈簧k2被壓

縮X2,彈力為k2X2向左；故合力為-k(X2-Xi)-k2X2.

17.一重量為W之均勻圓球，架在底緣相靠之甲、乙兩光滑平板上，甲板與水平面成60°角,

乙板與水平面成45°角，如右圖所示。設板與球間無摩擦力，則甲板施于球的作用力量

值為(小-1)W。

[x事由:乎N甲=^N乙

門…]由:人+乎gw

2

ON甲=17^1W=(小-1)W

18.如右圖，一鐵鏈懸于兩墻之間，鐵鏈的重量為W,鐵鏈在A點的切線與墻成53。角、

在B點的切線與墻成37。角，C為最低點，則：

(1)鐵鏈在A點的張力為|W。

(2)鐵鏈在B點的張力為1w。

(3)鐵鏈在C點的張力為若12W。

3-2力矩與轉(zhuǎn)動平衡

（配合課本P.104?P.109）

-力矩(簡記t)課圖3-15

/.力矩的意義：用以表示物體改變轉(zhuǎn)動狀態(tài)的物理量。

2.力臂（簡記d）：力的延長線到轉(zhuǎn)軸或支點的垂直距離。

3.力矩定義：決定物體對轉(zhuǎn)軸或支點之轉(zhuǎn)動效果，力矩;力臂x力。

4.力矩公式：

F

7X

%、__17X_FsneF

/o7/

力矩圖形

'、?「JTFCOSO

注:sin0=sin(7i-0)

力矩向量公式T="FXFF:作用力

i=rFsin0=dFx：向量外積

力矩量值公式

(d=rsin0)7：支點。到力作用點A的位置向量

]逆暗tt方向例

勤的力矩懸正

承

右手定則

Nii畤金十方向穗,

勤的力矩焉算

力矩方向

順時針OO

逆時針TT

正力矩（逆畤金十）翼力矩

力矩單位米?牛頓（m?NI米?千克重（m?kgw）

二合力矩

1.合力矩（力矩和）：決定物體對某定點（軸或支點）之轉(zhuǎn)動效果的總和。

Zl=T1+T2+........

2.合力矩為0,物體會不轉(zhuǎn)動或保持原本的轉(zhuǎn)動狀態(tài)。

3.結(jié)論：

(1)力矩的量值隨轉(zhuǎn)軸與支點的選擇改變。

(2)但平衡時，合力矩為0,與轉(zhuǎn)軸及支點無關(guān)。

(3)力矩總和為0時，Z三=0(或T順=T逆)，則物體將靜止或?qū)πD(zhuǎn)軸作等角速運動。

注：支點是不動的點，對一靜止系統(tǒng)，系統(tǒng)上任一點均為靜止，均可為支點，所以支點可

以任意選取，通常選擇①力圖最復雜的點或②與解題無關(guān)的點為支點。

范例1合力矩的求法相關(guān)題型：單元練習4.?6.

一長度為D,質(zhì)量可以略去的細桿，其中心點。固定，兩端為質(zhì)量m及2m的質(zhì)點；細

桿與鉛垂線夾角為0,重力加速度為g,求：(以m、g、D與0表示)

(1)質(zhì)量m的質(zhì)點對中心點O的重力力矩量值為o

(2)重力對中心點O的合力矩之量值為o

解題關(guān)鍵先對質(zhì)點做力分析，個別力的力矩為T=rFsine

答⑴埒mgsin0⑵ymgsin0

解⑴如圖(一)：

x=ymgsin0,逆時針

⑵如圖(二)：

ZT=(mgsinO)+〔-yx2mgsin(TI-0))

=-ymgsinO,量值為ymgsin0

噌Mu

2mg

圖(一)圖(二)

類題如右圖，一細棒在距支點r、2r分別施力2F、F,則：(注意方向，順時針力矩取負

值，逆時針力矩取正值)

(DF的力矩為_______。

(2)2F的力矩為_______。

(3)此兩力的合力矩為_______。

支黠

答⑴+rF(2)-1.6rF(3)-0.6rF

T=rFsin0=r(FsinO)

(l)Tf=2r-Fsin3O°=+rF(逆時針)

(2)T2F=r,2Fsin53°=-1.6rF(順時針)

(3)合力矩=+rF+(-1.6rF)=-0.6rF(順時針)

三轉(zhuǎn)動平衡下的合力矩

1.合力矩（力矩和）：決定物體對某定點（軸或支點）之轉(zhuǎn)動效果的總和。

ST=T1+T2+.

2.轉(zhuǎn)動平衡：處于轉(zhuǎn)動平衡的系統(tǒng)，可取任意點為支點，而系統(tǒng)內(nèi)各力對該支點的力矩總和

為0。

三二三］+三2+.........=0

范例2轉(zhuǎn)動平衡相關(guān)題型：單元練習7.

如右圖所示,用兩條不可伸縮的繩子，使一質(zhì)量均勻分布的平臺懸吊成水平，平臺上甲至庚

的每一區(qū)塊寬度都相同，平臺與繩子的質(zhì)量可忽略。若張三的體重為70公斤重，而每條繩

子最多只能支援50公斤重，則張三站在平臺上的哪些區(qū)塊是安全的？

（A）只有丁（B）只有丙、丁、戊（C）只有乙、丙、丁、戊、己（D）所有區(qū)塊。

甲I乙I丙I亍I戊I己I庚-

解題關(guān)鍵靜止系統(tǒng)可以任選支點，合力矩為0。

答（B）

解力矩=力臂x力，如右圖，左端的繩子當支點，設人站的位置距左端繩子為d,每一塊寬

度均為L

重力力矩=右端繩張力力矩弓dx70=7Lx50Od=5L

二?人最遠可至戊而恰不斷繩

同理，以右端繩子為支點，得知最遠可至丙而恰不斷繩，故丙至戊之間為安全不斷繩的

范圍。

甲I乙I丙I丁I戊I己I庚

支黠￡，w

類題右圖為一座橋的橋墩與橋面，若不計橋面重量，橋墩承受重力不得超過200噸，橋面

劃分為甲至戊5個寬度均相等的區(qū)塊。今有一部250噸的吊車擬在橋面上工作，試

問停在哪些區(qū)塊是安全的？

（A）只有丙（B）只有丙、丁、戊（C）只有乙、丙、?。―）所有區(qū)塊均安全。

□甲乙丙丁戊□

答（C）

如右圖，設以左側(cè)橋墩為支點，橋?qū)挒長,右側(cè)橋墩受力最大為200噸，車所在位置距離支

點為r、重量為250噸

_4

依轉(zhuǎn)動平衡，合力矩為0弓Lx200=rx250,r最大為qL,

車在戊點不安全

同理，以右側(cè)橋墩為支點，可得甲區(qū)塊不安全，故只有乙、丙、丁區(qū)塊是安全的。

范例3圓柱翻越臺階相關(guān)題型：單元練習12.

如右圖所示，有一半徑為R、重為W、材質(zhì)均勻的光滑輪子，與高h的階梯接觸，靜置于

水平地面上。今在輪子中心處施一水平力F,使其爬上階梯，若輪子不變形，回答下列問題:

(1)輪子在受到一水平力F,但尚未脫離地面，呈靜態(tài)平衡時，輪子受到哪些力？列舉并繪

出其力圖。

(2)承⑴題，列出輪子所受垂直與水平分力的方程式。

(3)以輪子與階梯的接觸點為參考點，列出力矩方程式，求在輪子中心處最少需施力多少才

能使輪子脫離地面？

解題關(guān)犍欲使輪子滾過臺階，支點為梯角一點，至少須克服重力所引起的力矩。

答(1)?⑶見解析

解(1)F：水平力、W:重力、N地：地面正向力、N梯：梯角正向力

R2-(R-h)2

水平：F=N梯R

N梯過支點，力矩為0，脫離地面N地=0

2

c---------------,j2Rh-hW

F(R-h)=W^R2-(R-h)2FF='R_「

類題一輪子重量為50kgw,今施一水平力F將輪子拉上階梯，如右圖（未依比例繪制）,

則拉力F的量值為多少kgw?

［函22()75C3(X/550

(A)(B)(C)(D)yo

答（D）

以階梯頂點為支點，F(xiàn)的力臂為54cm,重力W的力臂為18cm

Wxl8=Fx54^F=y（kgw）

觀念對不對

（。）1.施一力使門打開的轉(zhuǎn)動效果，與轉(zhuǎn)軸為支點的力矩成正比。

（x）2.一物體所受合力矩為零時，物體必不轉(zhuǎn)動。

2.應為「物體原轉(zhuǎn)動的狀態(tài)不會改變」，原來在轉(zhuǎn)動的物體會繼續(xù)以等角速轉(zhuǎn)動。

（x）3.力矩是純量，因此沒有方向性。

3.力矩是向量，可以分為順時針力矩與逆時針力矩（或是利用右手定則判斷X

（。）4.若物體受多力作用且合力矩為零，則物體處于轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)。

。）5.若施力通過支點，則此力對支點的力臂為零，力矩為零。

嘴單。一般瀏唯

單元練習3-2力矩與轉(zhuǎn)動平衡

基礎概念題

—■、單一選擇題

夕（（E））1.若一物體受多力作用，但合力矩為零，則

（A）不會轉(zhuǎn)動（B）不會平移（C）合力必為零（D）物體處于平衡狀態(tài)（E）只能

說物體原轉(zhuǎn)動的狀態(tài)不會改變。

1.合力矩為零，物體會保持原轉(zhuǎn)動狀態(tài)。

2.、3.題為題組

夕（（A））2.如右圖所示,今有一古時磨制豆?jié){或米漿的石磨，此石磨的半徑為d,兩人各施

量值均為F的力推動石磨，并以等速率繞行一周，則此石磨所受兩人所施的合

力量值為何？

（A）0（B）F（C）2F（D）4F（E）F2.

2.兩力量值相等、方向相反，合力等于0。

。（（C））3.承2.題,此石磨所受兩人所施的合力矩量值為何?

(A)0(B)Fd(C)2Fd(D)2;tFd(E)47tFdo

3.合力矩=Fd+Fd=2Fd

4.?6.題為題組

如右圖，一長度為L的木棍同時受到F、R及F3三力之作用，三力的量值皆為F,

((B))4.若以A點為參考點，則F,的力矩量值為何?

11+小

(A)2LF(B)普LF(C)LF(D)—LFO

((A))5.若以A點為參考點，則F2的力矩量值為何？

1J31+V3

(A)2LF(B)普LF(C)LF(D)LF。

((D))6.若以A點為參考點，則三力對木棍的總力矩量值為何?

1J31+小

(A)2LF(B)普LF(C)LF(D)LF。

((D))7.一均勻木棍長L、重W,一端以細繩懸吊，另一端置于水平光滑地面，且與水

平夾45°,如右圖所示,則繩張力為何?

(A))8.水平地面上放置一密度不均勻的桿AB,長為4米，若B端置于地面，欲將A

端提起，最少需力64公斤重；若A端置于地面，欲將B端提起，最少需力80

公斤重，則桿的質(zhì)量為幾公斤？

(A)144(B)72(C)80(D)14.7(E)640

夕((E))9.一木棒OA固定于O點處的旋轉(zhuǎn)軸上，如右圖所示。圖中的虛線與木棒平行,

今木棒A端受到四個外力P、F2、F3、F4的作用，力的作用線與木棒在同一

個鉛垂面上；各力對旋轉(zhuǎn)軸O點所產(chǎn)生的力矩量值分別是口、&、口、T4,則

各力矩量值關(guān)系為何？

(A)T3>口(B)T3>T2(C)T1=T3<T2(D)T)>T2>T3(E)T)=T2=T3=口。

9.四個外力垂直于OA的分量相等，力臂OA也相等，則力矩相等。

二、多重選擇題

夕((C)(E))10.下列有關(guān)力矩之敘述，哪些正確？

(A)合力矩為零時，物體必靜止(B)力矩為無方向性，視為純量(C)力矩須言

明對哪一支點或支軸旋轉(zhuǎn)(D)施力通過支軸，則力矩與施力的量值成正比

(E)物體平衡時以物體任一點為支軸，則總力矩和必為零。

10.(A)物體可能繞支軸作等角速轉(zhuǎn)動。(B)力矩為向量。(D)施力通過支軸，力矩為零。

力((A)(B)(C))11.右圖是從前市場中常用的桿秤，已知秤錘的重量為W(,秤盤的重量為

W2,并在秤盤內(nèi)放一蔬菜，則力矩平衡的情況下，以p點為支點，下列

敘述哪些正確？

(A)秤錘重量的力矩量值為bWj(B)秤盤重量的力矩量值為aW2(C)秤

4七注hbWj—aW24］「j.七注工bWi+aW2

盤內(nèi)的蔬菜重量為~(D)秤盤內(nèi)的蔬菜重量為~(E)

ad

不計桿重，P點向上施力量值為Wl+w2o

綜合練習題

。((E))12.有一均勻圓柱體重量W,以一條帶子卷住靜置在仰角e的光滑斜面上，帶子

的一頭固定在斜面頂端，另一頭則固定在天花板，且呈鉛垂狀態(tài)，如右圖所示,

0點為圓柱體與斜面的交點，則帶子的張力T為何？