《概率論與隨機(jī)過(guò)程》第1章習(xí)題答案

#D(X)=E(X2)-[e(X)E=E[X(X-1)]+E(X)-[e(X)E=￡k(k-1)pqk-1k=1ff(、=pqff(、=pq乙qkIk=1丿ff(1)=pqp241.解：Cov(X,Y)。E(X)41.解：Cov(X,Y)。E(X)=J"〕"#(x,y)dxdy=—JJ?(x2+xy)dy]dx=-J(x2y+_8_8—00—0E(Y)=卜8卜8yf(x,y)dxdy=-y2+xy)dx]dy=—J(y2x*"y—g—g—00—02『1J2/c—7dx=(x2+x)dy=4o602)dy=丄J247(y2+y)dy=，06設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為.f(x,y)=,x+y),0<x<2,0<y<2。求E(X)、E(Y八8TOC\o"1-5"\h\z4771Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=_：x；=_:,366362dJ2(y,y2

dy=(-+-0340E(XY)=J"」"xyf(x,y)dxdy=—JJ2dJ2(y,y2

dy=(-+-0340-g-g—00—032計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法時(shí),對(duì)每個(gè)加數(shù)取整（取為接近于它的整數(shù)）,設(shè)所有的取整誤差是相互獨(dú)立的,且它們都在（-0.5,0.5）上服從均勻分布。（1）若將1500個(gè)數(shù)相加,問(wèn)誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)15的概率是多少？（2）幾個(gè)數(shù)可加在一起使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率為0.90？解：設(shè)X為取整誤差,⑴護(hù)J；xk則E(X)=0,D(X)=o2=1/12?！到猓涸O(shè)X為取整誤差,⑴護(hù)J；xk則E(X)=0,D(X)=o2=1/12?！怠?00門(mén)500八込丨k=1>15,=P2X>15/TH??1.34k或：PX>15kk<10,=P2——g■、;2兀n=443#1E1500xk=1k=1-[P[丿E1500x*125k=1k<1.34><1.34,-P21E1500x<—1.34]]*125k=1kI1.341-1.341=1-Je-t2/2dt+Je-t2/2dt-g■<2兀-g2兀=1-0.9099+0.0901=0.1802,——―E1500x>15M''125二1.34丁1500/山2丨k=1k=2[1-PEW1251.341=2[1-J.e-t2/2dt]=2x[1-0.9099]=0.1802-gJ2?！狤nX<10^12/n,=1-2[1-1500X<1.34,]k=1kIk=1ke-t2/2dt]=0.95,10J12/n?1.645,J10仁丿e-t2/2dt]=0.90-g（1）一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由100個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成。在整個(gè)運(yùn)行期間每個(gè)部件損壞的概率0.10。為了使整個(gè)系統(tǒng)起作用，至少必需有85個(gè)部件工作，求整個(gè)系統(tǒng)工作的概率。（2）一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由n個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成。每個(gè)部件的可靠性（即部件工作的概率）解：為0.90。且必須至少有80%部件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)工作，問(wèn)n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性為0.95。解：設(shè)每個(gè)部件損壞的概率p{X=0}=0.10，則每個(gè)部件未損壞的概率P{X=1}=0.90。kk令耳=^°X，由此可知耳具有參數(shù)為n=100，p=0.90的二項(xiàng)分布，故整個(gè)系統(tǒng)工作的概率為:100k100k=1⑴P{85<%'100}=P{￥<'嚀}=P{-5<tS%'13}=J10/3-^e-t2/2dt=0.9995-0.0475=0.9520-5/3兀TOC\o"1-5"\h\z(2)nr0.8n-0.9n耳-npn-0.9n\n耳-npVn(2)P{0.8n<n<n}=P{<,n耳100「}=P{-~T<；n耳100}nJ0.09nVnp(1-p)100V0.09n3、【np(1-p)1003e-t2/2dt]=0.95\ne-t2/2dt]=0.95=e-t2/2dt=1-2[1--■n/3、：2兀-s2兀廠1~Je-t2/2dt=0.975n-—=1.96,/.n=35。#-8、:2兀3某個(gè)單位設(shè)置一電話(huà)總機(jī)，共有200架電話(huà)分機(jī)。設(shè)每個(gè)電話(huà)分機(jī)有5%的時(shí)間要使用外線通話(huà)，假定每個(gè)分機(jī)是否使用外線通話(huà)是相互獨(dú)立的。問(wèn)總機(jī)要多少外線才能以90%的概率保證每個(gè)分機(jī)要使用外線時(shí)可供使用。解：設(shè)要m條外線才能以90%的概率保證每個(gè)分機(jī)要使用外線時(shí)可供使用。已知：P{X=1}=0.05，P{X=0}=0.95kk令耳=丫200X,則耳具有參數(shù)為n=200，p=0.05的二項(xiàng)分布。TOC\o"1-5"\h\znk=1kn糾」(m-巴宀糾」(m-巴宀5丄e-t2/2dt.5I10/'9.5<2kP{0<耳<m}=P{——<,n<nW9.5v'np(1-p)9.5e-t2/2dt=0.90<2nJ(m-9.5e-t2/2dt=0