《概率論與隨機過程》第1章習題答案

#D(X)=E(X2)-[e(X)E=E[X(X-1)]+E(X)-[e(X)E=￡k(k-1)pqk-1k=1ff(、=pqff(、=pq乙qkIk=1丿ff(1)=pqp241.解：Cov(X,Y)。E(X)41.解：Cov(X,Y)。E(X)=J"〕"#(x,y)dxdy=—JJ?(x2+xy)dy]dx=-J(x2y+_8_8—00—0E(Y)=卜8卜8yf(x,y)dxdy=-y2+xy)dx]dy=—J(y2x*"y—g—g—00—02『1J2/c—7dx=(x2+x)dy=4o602)dy=丄J247(y2+y)dy=，06設隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為.f(x,y)=,x+y),0<x<2,0<y<2。求E(X)、E(Y八8TOC\o"1-5"\h\z4771Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=_：x；=_:,366362dJ2(y,y2

dy=(-+-0340E(XY)=J"」"xyf(x,y)dxdy=—JJ2dJ2(y,y2

dy=(-+-0340-g-g—00—032計算機在進行加法時,對每個加數(shù)取整（取為接近于它的整數(shù)）,設所有的取整誤差是相互獨立的,且它們都在（-0.5,0.5）上服從均勻分布。（1）若將1500個數(shù)相加,問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？（2）幾個數(shù)可加在一起使得誤差總和的絕對值小于10的概率為0.90？解：設X為取整誤差,⑴護J；xk則E(X)=0,D(X)=o2=1/12?！到猓涸OX為取整誤差,⑴護J；xk則E(X)=0,D(X)=o2=1/12。〉」500門500八込丨k=1>15,=P2X>15/TH??1.34k或：PX>15kk<10,=P2——g■、;2兀n=443#1E1500xk=1k=1-[P[丿E1500x*125k=1k<1.34><1.34,-P21E1500x<—1.34]]*125k=1kI1.341-1.341=1-Je-t2/2dt+Je-t2/2dt-g■<2兀-g2兀=1-0.9099+0.0901=0.1802,——―E1500x>15M''125二1.34丁1500/山2丨k=1k=2[1-PEW1251.341=2[1-J.e-t2/2dt]=2x[1-0.9099]=0.1802-gJ2?！狤nX<10^12/n,=1-2[1-1500X<1.34,]k=1kIk=1ke-t2/2dt]=0.95,10J12/n?1.645,J10仁丿e-t2/2dt]=0.90-g（1）一個復雜的系統(tǒng)，由100個相互獨立起作用的部件所組成。在整個運行期間每個部件損壞的概率0.10。為了使整個系統(tǒng)起作用，至少必需有85個部件工作，求整個系統(tǒng)工作的概率。（2）一個復雜的系統(tǒng)，由n個相互獨立起作用的部件所組成。每個部件的可靠性（即部件工作的概率）解：為0.90。且必須至少有80%部件工作才能使整個系統(tǒng)工作，問n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性為0.95。解：設每個部件損壞的概率p{X=0}=0.10，則每個部件未損壞的概率P{X=1}=0.90。kk令耳=^°X，由此可知耳具有參數(shù)為n=100，p=0.90的二項分布，故整個系統(tǒng)工作的概率為:100k100k=1⑴P{85<%'100}=P{￥<'嚀}=P{-5<tS%'13}=J10/3-^e-t2/2dt=0.9995-0.0475=0.9520-5/3兀TOC\o"1-5"\h\z(2)nr0.8n-0.9n耳-npn-0.9n\n耳-npVn(2)P{0.8n<n<n}=P{<,n耳100「}=P{-~T<；n耳100}nJ0.09nVnp(1-p)100V0.09n3、【np(1-p)1003e-t2/2dt]=0.95\ne-t2/2dt]=0.95=e-t2/2dt=1-2[1--■n/3、：2兀-s2兀廠1~Je-t2/2dt=0.975n-—=1.96,/.n=35。#-8、:2兀3某個單位設置一電話總機，共有200架電話分機。設每個電話分機有5%的時間要使用外線通話，假定每個分機是否使用外線通話是相互獨立的。問總機要多少外線才能以90%的概率保證每個分機要使用外線時可供使用。解：設要m條外線才能以90%的概率保證每個分機要使用外線時可供使用。已知：P{X=1}=0.05，P{X=0}=0.95kk令耳=丫200X,則耳具有參數(shù)為n=200，p=0.05的二項分布。TOC\o"1-5"\h\znk=1kn糾」(m-巴宀糾」(m-巴宀5丄e-t2/2dt.5I10/'9.5<2kP{0<耳<m}=P{——<,n<nW9.5v'np(1-p)9.5e-t2/2dt=0.90<2nJ(m-9.5e-t2/2dt=0