高中數(shù)學(xué)2 3 1歸納法2 3 1課件新人教版選修2 22d8

2.3數(shù)學(xué)歸納法結(jié)論一定可靠結(jié)論不一定可靠考察全體對象,得到一般結(jié)論的推理方法考察部分對象,得到一般結(jié)論的推理方法復(fù)習(xí)歸納法：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法歸納法又可分為完全歸納法

和不完全歸納法數(shù)學(xué)歸納法問題思考：1

n+1

n已知a

=

1

且a

=

2a

+

1(n

?

N

*

)

，求通項公式a

.12

1n可從簡單情形出發(fā)解:∵

a

=

1

=

21

-

1∴

a

=

2a

+

1

=

2

·1

+

1

=

3=

22

-

13

2a

=

2a

+

1

=

2

·

3

+

1

=

7a5

=

2a4

+

1…

…=

2

·15

+

1

=

31…觀察、歸納、猜想3=

2

-

1a4

=

2a3

+

1

=

2

·

7

+

1

=

15

=

24

-

15=

2

-

1∴所求通項公式為a

=

2n

-

1(n

?

N

*

)n上面的解答是否正確?不完全歸納法,可以幫助我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律,但不夠嚴(yán)密.(不完全歸納法)數(shù)學(xué)歸納法費馬(Fermat)

曾經(jīng)提出一個猜想：n形如F

＝22n+1(n=0,1,2…)的數(shù)都是質(zhì)數(shù)n

=

0,

Fn

=

3

n

=

1,

Fn

=

5n

=

2,

Fn

=

17

n

=

3,

Fn

=

257n

=

4,

Fn

=

65537

……100年后…F5

=

4294967297

=

6700417

·

641費馬您錯了!費馬(1601--1665)法國偉大的業(yè)余數(shù)學(xué)家。歐拉(1707～1783)，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。不完全歸納法能幫助我們發(fā)現(xiàn)猜想,但不能保證猜想正確.問題思考：已知a

=

1

且a1

n+1

n

n=

2a

+

1(n

?

N

*

)

，求通項公式a

.怎么證明我們的猜想呢?你玩過多米諾骨牌游戲嗎？能使多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？只要滿足以下兩個條件，所有多米諾骨牌就都能倒下：第一塊骨牌倒下；任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。其中道理可用于數(shù)學(xué)證明──數(shù)學(xué)歸納法.播放視頻1播放視頻2*思考:已知a1

=

1

且an+1

=

2an

+

1(n

?

N

)

，求通項公式an

.我們運用不完全歸納法得出猜想:

a

=

2n

-

1

,怎么n嚴(yán)格論證呢?嘗試用多米諾骨牌游戲的原理證明猜想.多米骨牌游戲的原理嘗試證明猜想a

=

2n

-1的方法n⑴第一塊骨牌倒下.(奠基)⑴當(dāng)n

=1

時猜想成立.(2)若第k

塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下.(傳遞性)⑵假設(shè)當(dāng)n=k時猜想成立.即a

=2k

-1k那么,當(dāng)n=k

+1時ak+1

=2ak

+1∴a

=2k+1

-1猜想也成立.k+1根據(jù)(1)和(2),可知不論有多少塊骨牌,都能全部倒下.∴由⑴、⑵可知當(dāng)n?

N*

時a

=

2n

-1n這種一種嚴(yán)格的證明方法──數(shù)學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法:關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：驗證第一個命題成立(即n＝n0第一個命題對應(yīng)的n的值，如n0＝1)；(歸納奠基）假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時命題也成立.(歸納遞推）由(1)、(2)知，對于一切n≥n0的自然數(shù)n都成立！注意:運用數(shù)學(xué)歸納法證題,以上兩步缺一不可.驗證n=n0時命題成立若當(dāng)n=k(k?n0

)時命題成立,證明當(dāng)n=k+1時命題也成立命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．研究等式：1

+2

+3

+

+n

=1

n(n

+1)+1是否成立2因為⑴假設(shè)當(dāng)n

=k

時等式成立，即1

+2

+3

+

+k

=1

k(k

+1)+12那么，當(dāng)n

=k

+1時，左邊=1

+2

+3

+

+k

+(k

+1)2

2=

1

k(k

+

1)

+

1

+

(k

+

1)

=

1

(k

+

1)(k

+

2)

+

1即當(dāng)n

=k

+1

時等式也成立.⑵故原等式對任意n

?

N

*

成立.所以上面等式對一切正整數(shù)都成立.錯在沒有奠基等式思考1：下面的推理是否正確?==

2k

+1

-

11

-

2思考2：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程是否正確:1

+

2

+

22

+

+

2n-1

=

2n

-

1證明：(1)當(dāng)時，左邊=1

=右邊；(2)假設(shè)n

=

k成立，即1

+

2

+

22

+

+

2k

-1

=

2k

-

1那么n

=k

+1時，左邊=1

+2

+22

+

+2k1·(1

-

2k

+1

)所以n

=k

+1時也成立；

故原命題對任意n

?

N

*成立錯在第二步證明沒有用上假設(shè)用上假設(shè),遞推才成立數(shù)學(xué)歸納法具體應(yīng)用：例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N

）.

第二步證明是關(guān)鍵:要用到歸納假設(shè)作為理由.看清從k到k＋1中間的變化.例1:用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N

）.

證明:(1)當(dāng)n=1時,左＝1，右＝12＝1∴n=1時，等式成立=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1時等式成立由(1)、(2)可知等式對任何n?

N*都成立遞推基(2)假設(shè)n=k時，等式成立，即礎(chǔ)1+3+5+…+(2k-1)=k2那么，當(dāng)n=k+1時左＝1+3+5+…+(2k-1)＋[2(k+1)-1]遞推依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。其格式主要有兩個步驟、一個結(jié)論:(1)證明當(dāng)n取第一個值n0(如n0=1或2等)時結(jié)論正確；驗證初始條件(2)假設(shè)n=k時結(jié)論正確,在假設(shè)之下,證明n=k+1時結(jié)論也正確；假設(shè)推理

(3)由（1）、（2）得出結(jié)論.下結(jié)論作業(yè):課本P96

A

組、2B

組、1課堂小結(jié)：找準(zhǔn)起點,奠基要穩(wěn)用上假設(shè)遞推才真寫明結(jié)論注意:遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)才要算用完到,結(jié)論寫明莫忘掉。整2.“觀察、猜想、證明”是解決與自然數(shù)有關(guān)的命題的有效途徑.

1

1

1

13練習(xí)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:

+ +…

+

>

(n≥2,

n?

N*

).n

+1

n

+

2

2n