江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期4月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

金沙中學(xué)2022級高一（下）4月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷2023年4月時間：120分鐘分值：150分一?單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.的值為（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式化為只含有兩個角的三角函數(shù)的積與和差的式子,然后逆用兩角和差的三角函數(shù)公式化為一個特殊角的三角函數(shù),從而得解.【詳解】由題意可知cos66°=sin24°，cos54°=sin36°，所以原式=cos24°cos36°cos66°cos54°=cos24°cos36°sin24°sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=，故選：B.【點睛】本題考查兩角和差的三角函數(shù)公式的逆用，關(guān)鍵是先利用誘導(dǎo)公式調(diào)整為只含有兩個角的三角函數(shù)的積與和的形式.2.復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】本題首先可通過復(fù)數(shù)的除法運算得出，然后根據(jù)對應(yīng)的點為即可得出結(jié)果.【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為，在第一象限，故選：A.3.在則，下列四個式子中不為常數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由內(nèi)角和定理以及誘導(dǎo)公式可作出判斷.【詳解】，故選項A為常數(shù)；，故選項B不為常數(shù)；，故選項C為常數(shù)；，故選項D為常數(shù).故選：B.4.瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位，該公式被稱為歐拉公式，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式，（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)歐拉公式可得，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式結(jié)合余弦的二倍角公式可得答案.【詳解】根據(jù)歐拉公式可得所以故選：C5.平行四邊形中，，，，為中點，點在對角線上，且，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出、坐標(biāo)，由題意可得出，由此可求得實數(shù)的值.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、、、，，，，所以，，，，則，因此，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用平面向量垂直求參數(shù)，解題的關(guān)鍵就是選擇合適的位置建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來求解.6.函數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令并求范圍，則，進而有，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求最小值.【詳解】令，∴，∴，∴當(dāng)，有最小值.故選：D7.設(shè)，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由x的范圍，和三角函數(shù)線得，將化簡，得答案.【詳解】因為，由三角函數(shù)線的圖像可知，則故選：A【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角的正弦公式化簡，還考查了判斷三角函數(shù)值的大小，屬于簡單題.8.在中，角均在邊上，且為中線，為平分線，若，則的面積等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知結(jié)合向量線性表示及向量數(shù)量積性質(zhì)得到，然后結(jié)合角平分線性質(zhì)可求，然后結(jié)合三角形面積公式可求．【詳解】解：由題意得，，所以，即，因為，，，由角平分線性質(zhì)得，，整理得，，所以，因為，所以，兩邊平方得，因為，令，所以，解得，即，故的面積．故選：．二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知z復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是實數(shù) B.是純虛數(shù)C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模直接求解．【詳解】解：對于，設(shè)，，則是實數(shù)，故正確；對于，設(shè)，，則，當(dāng)時是實數(shù)，故錯誤；對于，設(shè)，，則，，故正確；對于，設(shè)，，則，，故錯誤．故選：．10.在△中，，若解此三角形僅有一解，則邊長度的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用正弦定理有，當(dāng)有△為直角三角形且唯一，當(dāng)時僅當(dāng)三角形唯一，即可知正確選項.【詳解】令所對的邊為，由正弦定理知：，即，∴如上圖，當(dāng)在處即，有，則，△為直角三角形，此時三角形唯一；當(dāng)在射線上，即時三角形唯一，則.綜上知：BD正確.故選：BD11.已知()，則下列說法正確的是（）A.若的最小正周期為，則B.若在內(nèi)無零點，則C.若在內(nèi)單調(diào)，則D.若時，直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角余弦公式、輔助角公式可得，結(jié)合各選項的條件及正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷正誤即可.【詳解】，A：最小正周期，則，錯誤；B：在內(nèi)無零點，則無零點，所以，即，正確；C：在內(nèi)單調(diào)，則內(nèi)單調(diào)，所以，即，正確；D：時，則，可得對稱軸方程為，，故當(dāng)時是函數(shù)圖象的一條對稱軸，正確.故選：BCD12.已知向量，是平面α內(nèi)的一組基向量，O為α內(nèi)的定點，對于α內(nèi)任意一點P，當(dāng)＝x+y時，則稱有序?qū)崝?shù)對（x，y）為點P的廣義坐標(biāo)．若點A、B的廣義坐標(biāo)分別為（x1，y1）（x2，y2），關(guān)于下列命題正確的是：A.線段A、B的中點的廣義坐標(biāo)為（）；B.A、B兩點間的距離為；C.向量平行于向量的充要條件是x1y2＝x2y1；D.向量垂直于的充要條件是x1y2+x2y1＝0【答案】AC【解析】【分析】運用向量的坐標(biāo)，共線向量，向量垂直的充要條件，兩點間的距離公式可得．【詳解】根據(jù)題意得，由中點坐標(biāo)公式知A正確；只有平面直角坐標(biāo)系中兩點間的距離公式B才正確，未必是平面直角坐標(biāo)系因此B錯誤；由向量平行的充要條件得C正確；與垂直的充要條件為x1x2+y1y2＝0，因此D不正確；故選AC．【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算，共線向量的知識，向量垂直和平行的充要條件．三、填空題．請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.已知，，，則向量、的夾角為______________.【答案】【解析】【分析】本題首先可根據(jù)得出，然后根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)向量、的夾角為，因為，所以，即，，，，因為，所以，故答案為：.14.如圖，圖像是由（且）個完全相同的正方形構(gòu)成的平面幾何圖形，若，則________.【答案】【解析】【分析】本題可設(shè)正方形的邊長為，然后根據(jù)題意得出、，最后根據(jù)兩角和的正切公式即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)正方形的邊長為，則，，因為，所以，解得或（舍去），，故答案為：.15.請寫出復(fù)數(shù)的一個平方根__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，，則，，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，，，則，，解得，，或，，復(fù)數(shù)的平方根為：．故答案為：．16.已知由，，可推得三倍角余弦公式，已知，結(jié)合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得______________；如圖，已知五角星是由邊長為的正五邊形和五個全等的等腰三角形組成的，則___________【答案】①.②.【解析】【分析】由結(jié)合三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可得出關(guān)于的二次方程，結(jié)合可求得的值；求得，，過點作，垂足為點，求得，，然后利用平面向量數(shù)量積的定義可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，，即，即，即，因為，解得.在五角星中，，，，故，從而可得，，過點作，垂足為點，則，于是，從而有，于是，所以，.故答案為：；.四、解答題．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量（1）若三點共線，求實數(shù)的值；（2）若四邊形為矩形，求值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算求出、，利用，，三點共線列方程求出的值．（2）由平面向量的坐標(biāo)運算和矩形的定義，列方程組求出、、的值，再求和．【詳解】解：（1）向量，，，所以，，由，，三點共線知，，即，解得；（2）由，，，，若四邊形為矩形，則，即，解得；由，得，解得，，所以．18.已知為虛數(shù)單位.（1）計算：；（2）若，求復(fù)數(shù).【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)計算即可；（2）設(shè)，求出，的值，求出即可．【詳解】（1）.（2）設(shè)，則由，得，則解得或則或.19.已知滿足，且（1）求的值；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、，再利用二倍角公式及兩角差的正弦公式計算可得；（2）利用和角公式求出、，再根據(jù)角的范圍，求出角的值．【詳解】解：（1），，，，；（2），因為所以20.已知函數(shù)．（1）若，且，求的值；（2）在銳角中，角，，所對的邊分別是，，，若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化簡解析式，由得到，從而求得，進而求得.（2）由求得，利用正弦定理化簡，通過的取值范圍，求得的取值范圍.【詳解】（1）因為，由，得，因為，所以，所以，所以．（2）由，因，所以，所以，即．由正弦定理，可得，．因為是銳角三角形，所以，即．所以．由，得，所以．21.如圖，風(fēng)景區(qū)的形狀是如圖所示的扇形ABC區(qū)域，其半徑為2千米，圓心角為，點P在弧BC上.現(xiàn)欲在風(fēng)景區(qū)中規(guī)劃三條商業(yè)街道，要求街道PQ與AB垂直(垂足Q在AB上)，街道PR與AB平行，交AC于點R.（1）如果P為弧BC的中點，求三條商業(yè)街道圍成的△PQR的面積；（2）試求街道RQ長度的最小值.【答案】（1）；（2）最小值為千米.【解析】【分析】（1）結(jié)合已知角及線段長，利用銳角三角函數(shù)定義及扇形面積公式可求；（2）由已知結(jié)合銳角三角函數(shù)定義及勾股定理可表示，然后結(jié)合同角平方關(guān)系，輔助角公式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求．【詳解】連接AP，過R作，垂足為D.（1）當(dāng)P為弧BC的中點時，，在△APQ中，，，故，在△ARD中，，，所以，則，所以，在直角三角形PRQ中，△PQR的面積.（2）設(shè)，則，又，則，所以，在直角三角形PRQ中，，其中因為，所以，又，所以當(dāng)時，有最小值為，即.綜上，街道RQ長度的最小值為千米.22.已知，，設(shè).（1）當(dāng)時，求的值域；（2）若銳角滿足，且不等式恒成立