【解析】2023-2024學年初中數(shù)學八年級上冊 19.6 軌跡 同步分層訓練基礎卷(滬教版五四制)

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2023-2024學年初中數(shù)學八年級上冊19.6軌跡同步分層訓練基礎卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023八上·如東期末）如圖，在中，分別以點A，B為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，F(xiàn)，連接，作直線交于點M，連接，則下列判斷不正確的是（）

A．B．C．D．

2．（2023七下·泰山期末）如圖，在中，分別以，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧分別相交于，兩點，作直線，分別交線段，于點，．若，的周長為，則的周長為（）

A．B．C．D．

3．（2023七下·嘉定期末）如圖，用直尺和圓規(guī)作出的角平分線，在作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是（）

A．B．C．D．

4．（2023七下·海曙期末）如圖，在中，．根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得的大小為（）

A．B．C．D．

5．（2023七下·南山期末）如圖，在中，分別以A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧分別相交于M，N兩點，作直線MN，分別交線段BC，AC于點D，E，若的周長為，則的周長為（）

A．B．C．D．

6．（2023八上·鄞州期末）如圖，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要使用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作圖痕跡是()

A．B．

C．D．

7．（2023八上·鄞州期末）內(nèi)找一點P，使P到B、C兩點的距離相等，并且P到C的距離等于A到C的距離.下列尺規(guī)作圖正確的是（）

A．B．

C．D．

8．（2023八上·扶溝期末）如圖是三個基本作圖的作圖痕跡，關于①，②，③，④四條弧下列說法中錯誤的是（）

A．弧①是以點O為圓心，以任意長為半徑所作的弧

B．?、谑且渣cB為圓心，以任意長為半徑所作的弧

C．?、凼且渣cA為圓心，以大于的長為半徑所作的弧

D．?、苁且渣cC為圓心，以大于的長為半徑所作的弧

二、填空題

9．（2023八上·浦東期末）到點A的距離等于6cm的點的軌跡是．

10．（2023七下·天橋期末）如圖，在中，，利用尺規(guī)在上分別截??；分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部交于點E，作射線交于點F，若，點H為線段上的一動點，則的最小值是．

11．（2022八上·如皋月考）如圖，將放在每個小正方形邊長均為1的網(wǎng)格中，點A、B、C均落在格點上，若點B的坐標為，點C的坐標為，則到三個頂點距離相等的點的坐標為．

12．（2023八上·榮縣月考）在△中，按以下步驟作圖：

①.分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧相交于兩點；②.作直線交于點.連接；若，則的度數(shù)為.

13．如圖所示，在平面直角坐標系中，以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點P．若點P的坐標為(a，b)，則a與b的數(shù)量關系為

三、解答題

14．（2023八上·五華期末）數(shù)學教科書八年級上冊告訴我們一種作已知角的平分線的方法．

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分線．

作法：

⑴以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N．

⑵分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C．

⑶畫射線OC．射線OC即為所求（如圖所示）．

請你證明：射線OC是∠AOB的平分線．

15．（2023八上·河西期中）如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔，按照設計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔應修建在什么位置？在圖上標出它的位置．（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，要寫明結(jié)論）

四、作圖題

16．（2023七下·陳倉期末）如圖，在學習了《簡單的軸對稱圖形》一節(jié)后，小穎畫了一個平角，然后利用尺規(guī)按照如下步驟作圖：

（1）在和上分別截取，，使.

（2）分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點.

（3）作直線.

于是小穎說直線垂直于.你認為小穎說的對嗎為什么

五、綜合題

17．（2023七下·閔行期中）按要求完成作圖并填空：

（1）作∠ABC的平分線，交邊AC于點D（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；

（2）過點A畫直線BC的垂線，交直線BC于點E，那么點A到直線BC的距離是線段的長；

（3）在（2）的條件下，如果∠ABC＝135°，點B恰好是CE的中點，BC＝2cm，那么S△ABC＝cm2．

18．（2023八上·桂平期末）如圖，四邊形中，，，連接.

（1）求證：；

（2）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作的垂直平分線，分別交，于點E，F(xiàn)；

（3）連接，若，求的度數(shù).

答案解析部分

1．【答案】A

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：由作圖可知，EF是線段AB的垂直平分線，

∴，

則B、C、D說法正確，不符合題意，

AB與2CM的大小不確定，選項A錯誤，符合題意，

故答案為：A.

【分析】由作圖可知，EF是線段AB的垂直平分線，則EF⊥AB，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AE=BE，AM=BM，據(jù)此可判斷B、C、D選項；只有當∠ACB=90°的時候，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半才能得出AM=2CM，故AB與2CM的大小不確定，據(jù)此可判斷A選項.

2．【答案】A

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：由作圖過程知，MN是AC的垂直平分線，∴AD=DC，AC=2AE=2×2=4，∵△ABD的周長為=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC∴AB+BC=△ABC的周長-AC=15-4=11，∴△ABD的周長為：11.

故答案為：A。

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得AD=DC，所以就可得出△ABD的周長就是AB+BC，即△ABC的周長-AC，由AE的長度2，得出AC的長度4，就可得出△ABD的周長。

3．【答案】A

【知識點】三角形全等的判定（SSS）；作圖-角的平分線

【解析】【解答】解：由作圖過程知：OC=OD，CE=DE，又OE=OE，所以△OCE≌△ODE（SSS）。

故答案為：A.

【分析】根據(jù)作圖過程知道，滿足了兩個三角形的三邊對應相等，即可得出答案。

4．【答案】C

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：由圖像可知，虛線為線段BC的中垂線；

由中垂線上一點到線段兩端點的距離相同可知，BD=AC，∠BCD=∠B；

由于三角形內(nèi)角和為180°，則∠C=70°；

∠ACD=∠C-∠BCD=∠C-∠B=70°-50°=20°.

故答案為C.

【分析】先分析題意，得到有效信息∠C=70°，再分析圖像，根據(jù)中位線和等腰三角形性質(zhì)，完成計算.

5．【答案】D

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：由作圖可知：MN是線段AC的垂直平分線，

∴AE=CE=3cm，AD=CD，

∴AC=AE+CE=6cm，

∵△ABD的周長為AB+AD+BD=AB+BD+CD=AB+BC=10cm，

∴△ABC的周長為AB+BC+AC=16cm.

故答案為：D.

【分析】由作圖可知：MN是線段AC的垂直平分線，由線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AE=CE=3cm，AD=CD，進而根據(jù)三角形周長的計算方法、等量代換及線段的和差可得出AB+BC=10cm，最后再根據(jù)三角形周長的計算方法即可算出答案.

6．【答案】B

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：解：∵PA＋PB＝BC，而PC＋PB＝BC，

∴PA＝PC，

∴點P在AC的垂直平分線上，

故點P為AC的垂直平分線與BC的交點，

根據(jù)作圖痕跡，A選項中滿足AB=BP，B選項作的是AC的垂直平分線，C選項作的是AB的垂直平分線，D選項滿足AC=PC，

∴A、C、D都不符合題意，只有B選項符合題意.

故答案為：B.

【分析】由PA＋PB＝BC和PC＋PB＝BC易得PA＝PC，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理可得，點P在AC的垂直平分線上，進而得出結(jié)論．

7．【答案】C

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：∵P到A、C兩點的距離相等

∴P在AC的垂直平分線上

又∵P到C和A到C的距離相等

∴A、P在以C為圓心，AC為半徑的圓上

故答案為：C.

【分析】根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得點P在AC的垂直平分線上，根據(jù)同圓的半徑相等得點P在以C為圓心，AC為半徑的圓上，從而即可一一判斷得出答案.

8．【答案】B

【知識點】作圖-角；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：A、作一個角等于已知角中，?、偈且渣cO為圓心，以任意長為半徑所作的弧，故說法正確，不符合題意；

B、作線段垂直平分線時，弧②是以點B為圓心，以大于的長為半徑所作的弧，故說法錯誤，符合題意；

C、作線段垂直平分線時，?、凼且渣cA為圓心，以大于的長為半徑所作的弧，故說法正確，不符合題意；

D、作角平分線時，?、苁且渣cC為圓心，以大于的長為半徑所作的弧，故說法正確，不符合題意，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)作一個角等于已知角、作線段垂直平分線、作角平分線的步驟進行判斷.

9．【答案】以A為圓心，6cm為半徑的圓

【知識點】圓的認識

【解析】【解答】根據(jù)圓的定義，到點A的距離等于定長6cm的點的軌跡是以點A為圓心，6cm為半徑的圓，

故答案為：以點A為圓心，6cm為半徑的圓．

【分析】根據(jù)圓的定義即可得到答案。

10．【答案】2

【知識點】垂線段最短；角平分線的性質(zhì)；作圖-角的平分線

【解析】【解答】解：由作圖過程知：BF平分∠ABC，∴點F到BA的距離=點F到BC的距離，∵∠C=90°，∴FC⊥BC，∴點F到BC的距離為FC=2，∴點F到BA的距離=2，根據(jù)垂線段最短知，F(xiàn)H的最小值為點F到BA的距離，即FH的最小值為2.

故第1空答案為：2.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得點F到BA的距離等于CF的長度，再根據(jù)垂線段最短得出F到BA的距離就是FH的最小值。

11．【答案】

【知識點】點的坐標；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：平面直角坐標系如圖所示，和的垂直平分線的交點為，

∴到三個頂點距離相等的點的坐標為：.

故答案為：．

【分析】作出AB、AC的垂直平分線，其交點P即為到三個頂點距離相等的點，結(jié)合點P的位置可得相應的坐標.

12．【答案】52°

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：∵根據(jù)作圖過程和痕跡發(fā)現(xiàn)MN垂直平分AB，

∴DA＝DB，

∴∠DBA＝∠A＝32°，

∵CD＝BC，

∴∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝64°，

∴∠C＝52°，

故答案為：52°.

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖可知MN垂直平分AB，可得DA=DB，利用等邊對等角及三角形外角的性質(zhì)可得∠DBA＝∠A＝32°，∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝64°，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解.

13．【答案】a+b=0

【知識點】作圖-角的平分線

【解析】【解答】解：利用作法可得：直線OP為第二象限的角平分線，

∴a+b=0.

故答案為：a+b=0.

【分析】利用作法可得：直線OP為第二象限的角平分線，據(jù)此可得a與b的數(shù)量關系.

14．【答案】證明：根據(jù)角平分線的作法可知，OM=ON，CM=CN，

在△MOC與△NOC中，

，

∴△OMC≌△ONC（SSS），

∴∠AOC=∠BOC，

∴OC為∠AOB的平分線．

【知識點】三角形全等的判定（SSS）；作圖-角的平分線

【解析】【分析】利用“SSS”證明△OMC≌△ONC，可得∠AOC=∠BOC，即可得到OC為∠AOB的平分線。

15．【答案】如圖，連接AB，作∠MON的角平分線OP，作線段AB的垂直平分線交OP于點P，則點P就是修建發(fā)射塔的位置．

【知識點】作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線

【解析】【分析】連接AB，作∠MON的角平分線OP，作線段AB的垂直平分線交OP于點P，則點P就是修建發(fā)射塔的位置。

16．【答案】解：小穎說的對，理由如下：小穎的作圖是按照垂直平分線的作法作圖的，故直線垂直于.

【知識點】作圖-線段垂直平分線

【解析】【分析】垂直平分線的定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，又稱“中垂線”.

17．【答案】（1）解：如圖，射線即為所求作．

（2）AE

（3）2

【知識點】三角形的面積；作圖-垂線；作圖-角的平分線

【解析】【解答】解：（2）解：如圖，線段即為所求作，點到直線的距離是線段的長，

故答案為：．

（3）∵∠ABC=135°，

∴∠ABE=45°，

∵AE⊥BE，

∴∠AEB=90°，∠EAB=∠ABE=45°，

∴AE=BE，

∵BE=BC=2cm，

∴AE=2cm，

∴S△ABC==2(cm2)，

故答案為：2.

【分析】（1）根據(jù)題意作角平分線即可；

（2）根據(jù)題意作垂線即可；

（3）先求出∠ABE=45°，再求出AE=2cm，最后利用三角形的面積公式計算求解即可。

18．【答案】（1）證明：∵，

∴.

在和中，，

∴.

（2）解：如圖1所示：直線即為所求.

（3）解：如圖2.連接，

∵垂直平分，，

∴，

∴.

∵是的外角，

∴.

【知識點】平行線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）；作圖-線段垂直平分線

【解析】【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)AAS證明即可；

（2）分別以點BD為圓心，以大于BD的長為半徑在BD的兩側(cè)分別畫弧，兩弧交于一點，過兩交點畫直線即可；

（3）連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE=ED，利用等邊對等角可得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，繼而得解.

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2023-2024學年初中數(shù)學八年級上冊19.6軌跡同步分層訓練基礎卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023八上·如東期末）如圖，在中，分別以點A，B為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，F(xiàn)，連接，作直線交于點M，連接，則下列判斷不正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：由作圖可知，EF是線段AB的垂直平分線，

∴，

則B、C、D說法正確，不符合題意，

AB與2CM的大小不確定，選項A錯誤，符合題意，

故答案為：A.

【分析】由作圖可知，EF是線段AB的垂直平分線，則EF⊥AB，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AE=BE，AM=BM，據(jù)此可判斷B、C、D選項；只有當∠ACB=90°的時候，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半才能得出AM=2CM，故AB與2CM的大小不確定，據(jù)此可判斷A選項.

2．（2023七下·泰山期末）如圖，在中，分別以，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧分別相交于，兩點，作直線，分別交線段，于點，．若，的周長為，則的周長為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：由作圖過程知，MN是AC的垂直平分線，∴AD=DC，AC=2AE=2×2=4，∵△ABD的周長為=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC∴AB+BC=△ABC的周長-AC=15-4=11，∴△ABD的周長為：11.

故答案為：A。

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得AD=DC，所以就可得出△ABD的周長就是AB+BC，即△ABC的周長-AC，由AE的長度2，得出AC的長度4，就可得出△ABD的周長。

3．（2023七下·嘉定期末）如圖，用直尺和圓規(guī)作出的角平分線，在作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】三角形全等的判定（SSS）；作圖-角的平分線

【解析】【解答】解：由作圖過程知：OC=OD，CE=DE，又OE=OE，所以△OCE≌△ODE（SSS）。

故答案為：A.

【分析】根據(jù)作圖過程知道，滿足了兩個三角形的三邊對應相等，即可得出答案。

4．（2023七下·海曙期末）如圖，在中，．根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得的大小為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：由圖像可知，虛線為線段BC的中垂線；

由中垂線上一點到線段兩端點的距離相同可知，BD=AC，∠BCD=∠B；

由于三角形內(nèi)角和為180°，則∠C=70°；

∠ACD=∠C-∠BCD=∠C-∠B=70°-50°=20°.

故答案為C.

【分析】先分析題意，得到有效信息∠C=70°，再分析圖像，根據(jù)中位線和等腰三角形性質(zhì)，完成計算.

5．（2023七下·南山期末）如圖，在中，分別以A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧分別相交于M，N兩點，作直線MN，分別交線段BC，AC于點D，E，若的周長為，則的周長為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：由作圖可知：MN是線段AC的垂直平分線，

∴AE=CE=3cm，AD=CD，

∴AC=AE+CE=6cm，

∵△ABD的周長為AB+AD+BD=AB+BD+CD=AB+BC=10cm，

∴△ABC的周長為AB+BC+AC=16cm.

故答案為：D.

【分析】由作圖可知：MN是線段AC的垂直平分線，由線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AE=CE=3cm，AD=CD，進而根據(jù)三角形周長的計算方法、等量代換及線段的和差可得出AB+BC=10cm，最后再根據(jù)三角形周長的計算方法即可算出答案.

6．（2023八上·鄞州期末）如圖，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要使用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作圖痕跡是()

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：解：∵PA＋PB＝BC，而PC＋PB＝BC，

∴PA＝PC，

∴點P在AC的垂直平分線上，

故點P為AC的垂直平分線與BC的交點，

根據(jù)作圖痕跡，A選項中滿足AB=BP，B選項作的是AC的垂直平分線，C選項作的是AB的垂直平分線，D選項滿足AC=PC，

∴A、C、D都不符合題意，只有B選項符合題意.

故答案為：B.

【分析】由PA＋PB＝BC和PC＋PB＝BC易得PA＝PC，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理可得，點P在AC的垂直平分線上，進而得出結(jié)論．

7．（2023八上·鄞州期末）內(nèi)找一點P，使P到B、C兩點的距離相等，并且P到C的距離等于A到C的距離.下列尺規(guī)作圖正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：∵P到A、C兩點的距離相等

∴P在AC的垂直平分線上

又∵P到C和A到C的距離相等

∴A、P在以C為圓心，AC為半徑的圓上

故答案為：C.

【分析】根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得點P在AC的垂直平分線上，根據(jù)同圓的半徑相等得點P在以C為圓心，AC為半徑的圓上，從而即可一一判斷得出答案.

8．（2023八上·扶溝期末）如圖是三個基本作圖的作圖痕跡，關于①，②，③，④四條弧下列說法中錯誤的是（）

A．弧①是以點O為圓心，以任意長為半徑所作的弧

B．弧②是以點B為圓心，以任意長為半徑所作的弧

C．?、凼且渣cA為圓心，以大于的長為半徑所作的弧

D．弧④是以點C為圓心，以大于的長為半徑所作的弧

【答案】B

【知識點】作圖-角；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：A、作一個角等于已知角中，?、偈且渣cO為圓心，以任意長為半徑所作的弧，故說法正確，不符合題意；

B、作線段垂直平分線時，?、谑且渣cB為圓心，以大于的長為半徑所作的弧，故說法錯誤，符合題意；

C、作線段垂直平分線時，?、凼且渣cA為圓心，以大于的長為半徑所作的弧，故說法正確，不符合題意；

D、作角平分線時，弧④是以點C為圓心，以大于的長為半徑所作的弧，故說法正確，不符合題意，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)作一個角等于已知角、作線段垂直平分線、作角平分線的步驟進行判斷.

二、填空題

9．（2023八上·浦東期末）到點A的距離等于6cm的點的軌跡是．

【答案】以A為圓心，6cm為半徑的圓

【知識點】圓的認識

【解析】【解答】根據(jù)圓的定義，到點A的距離等于定長6cm的點的軌跡是以點A為圓心，6cm為半徑的圓，

故答案為：以點A為圓心，6cm為半徑的圓．

【分析】根據(jù)圓的定義即可得到答案。

10．（2023七下·天橋期末）如圖，在中，，利用尺規(guī)在上分別截??；分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部交于點E，作射線交于點F，若，點H為線段上的一動點，則的最小值是．

【答案】2

【知識點】垂線段最短；角平分線的性質(zhì)；作圖-角的平分線

【解析】【解答】解：由作圖過程知：BF平分∠ABC，∴點F到BA的距離=點F到BC的距離，∵∠C=90°，∴FC⊥BC，∴點F到BC的距離為FC=2，∴點F到BA的距離=2，根據(jù)垂線段最短知，F(xiàn)H的最小值為點F到BA的距離，即FH的最小值為2.

故第1空答案為：2.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得點F到BA的距離等于CF的長度，再根據(jù)垂線段最短得出F到BA的距離就是FH的最小值。

11．（2022八上·如皋月考）如圖，將放在每個小正方形邊長均為1的網(wǎng)格中，點A、B、C均落在格點上，若點B的坐標為，點C的坐標為，則到三個頂點距離相等的點的坐標為．

【答案】

【知識點】點的坐標；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：平面直角坐標系如圖所示，和的垂直平分線的交點為，

∴到三個頂點距離相等的點的坐標為：.

故答案為：．

【分析】作出AB、AC的垂直平分線，其交點P即為到三個頂點距離相等的點，結(jié)合點P的位置可得相應的坐標.

12．（2023八上·榮縣月考）在△中，按以下步驟作圖：

①.分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧相交于兩點；②.作直線交于點.連接；若，則的度數(shù)為.

【答案】52°

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：∵根據(jù)作圖過程和痕跡發(fā)現(xiàn)MN垂直平分AB，

∴DA＝DB，

∴∠DBA＝∠A＝32°，

∵CD＝BC，

∴∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝64°，

∴∠C＝52°，

故答案為：52°.

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖可知MN垂直平分AB，可得DA=DB，利用等邊對等角及三角形外角的性質(zhì)可得∠DBA＝∠A＝32°，∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝64°，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解.

13．如圖所示，在平面直角坐標系中，以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點P．若點P的坐標為(a，b)，則a與b的數(shù)量關系為

【答案】a+b=0

【知識點】作圖-角的平分線

【解析】【解答】解：利用作法可得：直線OP為第二象限的角平分線，

∴a+b=0.

故答案為：a+b=0.

【分析】利用作法可得：直線OP為第二象限的角平分線，據(jù)此可得a與b的數(shù)量關系.

三、解答題

14．（2023八上·五華期末）數(shù)學教科書八年級上冊告訴我們一種作已知角的平分線的方法．

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分線．

作法：

⑴以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N．

⑵分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C．

⑶畫射線OC．射線OC即為所求（如圖所示）．

請你證明：射線OC是∠AOB的平分線．

【答案】證明：根據(jù)角平分線的作法可知，OM=ON，CM=CN，

在△MOC與△NOC中，

，

∴△OMC≌△ONC（SSS），

∴∠AOC=∠BOC，

∴OC為∠AOB的平分線．

【知識點】三角形全等的判定（SSS）；作圖-角的平分線

【解析】【分析】利用“SSS”證明△OMC≌△ONC，可得∠AOC=∠BOC，即可得到OC為∠AOB的平分線。

15．（2023八上·河西期中）如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔，按照設計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔應修建在什么位置？在圖上標出它的位置．（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，要寫明結(jié)論）

【答案】如圖，連接AB，作∠MON的角平分線OP，作線段AB的垂直平分線交OP于點P，則點P就是修建發(fā)射塔的位置．

【知識點】作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線

【解析】【分析】連接AB，作∠MON的角平分線OP，作線段AB