《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第二章隨機變量及其分布

--#-/25應(yīng)該指出，除了離散型，連續(xù)型以外，隨機變量還有其它類型，例如0,x<0F（x）=J土,0<x<121,x>1是分布函數(shù)，它不是離散型的，也不是連續(xù)型的（因為它不連續(xù)）.以后如果對一般的隨機變量進行討論，就用分布函數(shù)；如果對離散型情形，主要就用分布列；如果對連續(xù)型，則主要用密度函數(shù),不另提其它類型了?；A(chǔ)訓練2.3第四節(jié)隨機變量函數(shù)的分布在實際中，我們不僅要研究隨機變量，還要討論隨機變量的函數(shù).例如在測量圓軸的截面積時，往往只能測量到圓軸的直徑，然后由函數(shù)得到截面積的值。在這一節(jié)中，我們討論如何由已知隨機變量的分布去求它的函數(shù)的分布，這里是已知的連續(xù)函數(shù)。一離散型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)隨機變量的分布律為顯然，的連續(xù)函數(shù)也是一個離散型的隨機變量.如何由的概率分布導(dǎo)出Y的概率分布？第一步，先由可能取到值確定的所有可能取到的值；第二步，如果隨機變量取不同的值時，隨機變量函數(shù)也取不同的值，則Y的分布列為如果隨機變量取不同的值時，而隨機變量函數(shù)的取值中有相等的，則應(yīng)把那些相等的值分別合并，并根據(jù)概率的可加性把對應(yīng)的概率相加，就得到Y(jié)的分布列.【例1【例1】設(shè)的分布列為012345求（1）的分布律；（2）的分布律【解】（1）Y的可能取值為1,3,5,7,9,11,它們互不相同,所以Y的分布律為1357911（2）Y的可能取值為0，1，4，9它們有相同的則；同理可得，；.所以Y的分布律為0149二連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布設(shè)已知連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為或其密度函數(shù)為，那么應(yīng)當如何確定隨機變量的概率密度？1.分布函數(shù)法從的分布函數(shù)為，而Y的概率密度函數(shù)可由得到.【例2】設(shè)隨機變量具有概率密度函數(shù)求隨機變量的概率密度函數(shù)。【解】先求的分布函數(shù).當時，事件為不可能事件，所以當時，有根據(jù)的概率密度函數(shù)表達式，有當，即時，有當，即時，有綜上，我們得到Y(jié)的分布函數(shù)為

于是Y的概率密度函數(shù)為【例3】對一圓片的直徑進行測量，其值在［5,6］上服從均勻分布，求圓片面積的概率密度.【解】設(shè)圓片的直徑為，則圓片的面積為⑴因為’所以FX(x)十⑴因為’所以FX(x)十x-5,5<x<6；1,x>6⑵Fy(⑵Fy(y)=P(Y<y)=為x2<y}T0,y<0律<X<2P{-21)而當時，將代入的分布函數(shù)中，得2)綜合式(1)、式(2)，得到Y(jié)的分布函數(shù)FY(y)FY(y)<y<9k對Y的分布函數(shù)求導(dǎo)，得到Y(jié)的概率密度函數(shù)f125k門I/—，<y<9兀f(y)=L：ky4

y|o,其它【例4】設(shè)隨機變量具有概率密度函數(shù)，求隨機變量的概率密度函數(shù).【解】由于，故當時，；當時有由此知Y的概率密度函數(shù)為0,y<0.(y)二d-F(y)」占m小-?y>0;ydyy0,y<0.注15】根據(jù)本例，若，的概率密度函數(shù)為

則的概率密度函數(shù)為則的概率密度函數(shù)為I1_1_于y>0;y<o.Iy2e2y>0;y<o.f(y)十仏'Io,此時稱Y服從自由度為1的卡方分布，記為分布.2.定理法定理2設(shè)隨機變量具有概率密度函數(shù)，為內(nèi)的嚴格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，則隨機變量的概率密度函數(shù)為（2.22）其中是的反函數(shù)，且證不妨設(shè)嚴格單調(diào)增加，則，它的反函數(shù)存在，且也嚴格單調(diào)增加.因為在區(qū)間之間取值，所以當時,；當時；當時，于是，Y的概率密度函數(shù)為對于嚴格單調(diào)下降的情形可以類似證明，此時有合并以上兩式，即得（2.22）式.【例5】設(shè)隨機變量證明也服從正態(tài)分布.【證】因為，所以；由為嚴格單調(diào)函數(shù)，得，，且根據(jù)定理，得所以【注16】由上面的討論知，求隨機變量的函數(shù)的分布，關(guān)鍵的一步是在事件中，解得的取值范圍，而Y的分布函數(shù)就是的概率密度函數(shù)在此取值范圍上的積分。當是嚴格單調(diào)函數(shù)時，可應(yīng)用定理給出的結(jié)果。要注意的是，由事件得出的的取值范圍可能不止一個區(qū)間，此時則應(yīng)在各個區(qū)間上對的概率密度函數(shù)積分，然后得出Y的分布函數(shù)。【例6】*設(shè)X的概率密度函數(shù)為0<x<兀;其他2xf(x)=<0<x<兀;其他I0,求的概率密度函數(shù).【解】因為Y在［0，1］上取值，所以當時，

當時，；當時，.當時，滿足的落在區(qū)間和之內(nèi)（圖2-13），故若記則Y的分布函數(shù)為于是