《用絕對(duì)值的幾何意義》解題

《用絕對(duì)值的幾何意義》解題大家都知道，絕對(duì)值的幾何意義是數(shù)軸上表示該數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。對(duì)于一些問(wèn)題，使用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)解決，可以直觀簡(jiǎn)捷，事半功倍。一、求代數(shù)式的最值例如，已知a是有理數(shù)，求|a－2007|+|a－2008|的最小值是多少。通過(guò)絕對(duì)值的幾何意義，我們可以知道|a－2007|+|a－2008|表示數(shù)軸上的一點(diǎn)到表示數(shù)2007和2008兩點(diǎn)的距離的和。要使和最小，這個(gè)點(diǎn)必須在2007～2008之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）取值（如圖1所示）。因此，|a－2007|+|a－2008|的最小值為1。再例如，對(duì)于不等式|x－2|－|x－5|，我們可以把數(shù)軸上表示x的點(diǎn)記為P。由絕對(duì)值的幾何意義知，|x－2|－|x－5|表示數(shù)軸上的一點(diǎn)到表示數(shù)2和5兩點(diǎn)的距離的差。當(dāng)P點(diǎn)在2的左邊時(shí)，其差恒為－3；當(dāng)P點(diǎn)在5的右邊時(shí)，其差恒為3；當(dāng)P點(diǎn)在2～5之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）時(shí)，其差在－3～3之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）（如圖2所示）。因此，|x－2|－|x－5|的最大值和最小值分別為3和－3。二、解絕對(duì)值方程例如，對(duì)于方程|x－1|+|x＋2|＝4，我們可以把數(shù)軸上表示x的點(diǎn)記為P。由絕對(duì)值的幾何意義知，當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，|x－1|+|x＋2|恒有最小值3。所以要使|x－1|+|x＋2|＝4成立，則點(diǎn)P必須在－2的左邊或1的右邊，且到表示數(shù)－2或1的點(diǎn)的距離均為2（如圖3所示）。因此，方程|x－1|+|x＋2|＝4的解為x＝－2－2或x＝1＋2。三、求字母的取值范圍例如，對(duì)于不等式|x+1|+|2－x|＝3，我們可以通過(guò)絕對(duì)值的幾何意義知道，|x+1|+|x－2|的最小值為3。此時(shí)x在－1～2之間（包括兩端點(diǎn)）取值（如圖4所示）。因此，x的取值范圍是－1≤x≤2。再例如，對(duì)于不等式|x＋2|+|x－4|＞a，我們可以得出|x＋2|+|x－4|的最小值為6。而對(duì)于任意數(shù)x，|x＋2|+|x－4|＞a恒成立。因此，a的取值范圍是a＜6。四、解不等式例如，對(duì)于不等式|x＋2|+|x－3|＞5，我們可以通過(guò)絕對(duì)值的幾何意義知道，|x＋2|+|x－3|的最小值為2。因此，當(dāng)|x＋2|+|x－3|＞5時(shí)，x的解集是x＜－2或x＞5。已知方程為：|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|首先，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，|x+2|+|1-x|的最小值為3，此時(shí)x在-2~1之間（包括兩端點(diǎn)）取值。若|x+2|+|1-x|>9-|y-5|-|1+y|成立，則x必在-2的左邊或1的右邊取值，即x<-2或x>1。因此，原方程的解集為x<-2或x>1。接下來(lái)，我們需要求出x+y的最大值和最小值。根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，當(dāng)y-5>0時(shí)，|y-5|=y-5；當(dāng)y-5<0時(shí)，|y-5|=-(y-5)。同理，當(dāng)y+1>0時(shí)，|y+1|=y+1；當(dāng)y+1<0時(shí)，|y+1|=-(y+1)。將上述性質(zhì)代入原方程，得到：|x+2|+|1-x|=9-(y-5)-(y+1)化簡(jiǎn)后得到：|x+2|+|1-x|=15-y接下來(lái)，我們需要分別討論x的取值范圍。當(dāng)x<-2時(shí)，原方程變?yōu)椋?(x+2)-(1-x)=15-y解得y=-12-x因此，x+y的值為-12。當(dāng)-2<x<1時(shí)，原方程變?yōu)椋簒+2+(1-x)=15-y解得y=-13因此，x+y的值為-10。