《計算方法》實驗報告

#《計算方法》實驗報告學(xué)號姓名班級實驗項目名稱計算方法實驗一、實驗名稱實驗一插值與擬合二、實驗?zāi)康模海?）明確插值多項式和分段插值多項式各自的優(yōu)缺點；（2）編程實現(xiàn)拉格朗日插值算法，分析實驗結(jié)果體會高次插值產(chǎn)生的龍格現(xiàn)象；（3）運用牛頓插值方法解決數(shù)學(xué)問題。三、實驗內(nèi)容及要求1（1）對于f（’一5<x<51+X2要求選取11個等距插值節(jié)點，分別采用拉格朗日插值和分段線性插值，計算x為0.5,4.5處的函數(shù)值并將結(jié)果與精確值進行比較。輸入：區(qū)間長度，n（即n+1個節(jié)點），預(yù)測點輸出：預(yù)測點的近似函數(shù)值，精確值，及誤差（2）已知的二1,4二2,9二3,用牛頓插值公式求J5的近似值。輸入：數(shù)據(jù)點集，預(yù)測點。輸出：預(yù)測點的近似函數(shù)值四、實驗原理及算法描述算法基本原理：（1）拉格朗日插值法對某個霧項式函數(shù),已知有給定的P+［個取值點:險）……（坯趨訂其中巧對應(yīng)著自變星的位置,而的對應(yīng)著函數(shù)在去個位置的取借"假設(shè)任意兩個不同的號都互不相同”那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值寥頃式為：比）■=工j=o其中每個與（工）為拉格餌日基本寡釀式（或稱擂值基函數(shù)）<其丟達式為：￡/;A工―②_（工_牝）—叼一1）（工—叼+1）—毎）raiJ-匕h叼—込—也-如）（叼-叼-1）（巧—叼+1）（叼—血）'拉格朗m基本爹項式￡?）的特點是在叼上取值為一在其它的點珂i豐j上取值為E

（2）牛頓插值法+???+./1工0，兀|，、??玄』（工_工』（工_巧）???（工-工」算法流程五、程序代碼及實驗結(jié)果(1)輸出：A.拉格朗日插值法a"C:\lfser5\Admirhi5tratoir\DesktDp\v|-^H；S\*5.TS朗EDebugMa"C:\lfser5\Admirhi5tratoir\DesktDp\v|-^H；S\*5.TS朗EDebugMh回由拉格朗日播值法得出結(jié)果：1.57^72是否要繼續(xù)？(y/n):回由拉格朗日播值法得出結(jié)果：1.57^72是否要繼續(xù)？(y/n):■"C!\User=\Admini5trator\Dessktop\ir|■程右法樂STS朗E刮豈Dmbuq\l冊總8■"C：Vlfser=XAdministrator\De5ktop\討莖■}?；去苗骰叢性插佢卩定bug\l.e^eh請輸入差值次數(shù)門的值：11請輸入?yún)^(qū)間長度(a,b):_551W輸入要求值藍的值：p.5由拉格朗日插恒法得出呈果；0.843407是否娶繼續(xù)?(y/r):11請輸入?yún)^(qū)間長度(a,b)：-55請輸入要求值工的值：B.分段線性插值請輸入差值次數(shù)口的值：11請輸入?yún)^(qū)間畏度(比b):-55錯輸入要求值蓋的值：0.5由分段線性插恒法得出呈果；0.75是否要繼續(xù)？(y/n):Xy(精確)y(拉格朗日)y(分段線性)誤差(拉)0.5000000.8000000.8434070.750000-0.0542594.5000000.0470591.5787200.0486425-32.547674誤差（分）0.050000-0.033649doubleresult=Lagrange(N,X,Yx);coutvv"由拉格朗日插值法得出結(jié)果："vvresultvvendl;coutvv"是否要繼續(xù)？(y/n)：";cin?a;}while(a=='y');return0;}doubleLagrange(intN,vectorvdouble>&X,vectorvdouble>&Ydoublex){doubleresult=0;for(inti=0;ivN;i++){doubletemp=Y[i];for(intj=O;jvN;j++){if(i!=j){temp=temp*(x-X[j]);temp=temp/(X[i]-X[j]);}}result+=temp;}returnresult;};B：分段線性插值#includeviostream>#include<string>#include<vector>usingnamespacestd;doublefenduan(intN,vector<double>&X,vector<double>&Ydoublex,doublec);intmain(){doublep,b,c;chara='n';do{coutvv"請輸入差值次數(shù)n的值："vvendl;intN;cin>>N;vectorvdouble>X(N,0);vectorvdouble>Y(N,0);coutvv"請輸入?yún)^(qū)間長度(a,b)："vvendl;cin>>p;cin>>b;c=b-p;c=c/(N-1);for(inti=0;ivN;i++){X[i]=p;Y[i]=l/(l+p*p);P=P+C；}coutvv"請輸入要求值X的值："vvendl;doublex;cin>>x;doubleresult=fenduan(N,X,Yx,c);coutvv"由分段線性插值法得出結(jié)果："wresultwendl;coutvv"是否要繼續(xù)？(y/n)：";cin?a;}while(a=='y');return0;}doublefenduan(intN,vectorvdouble>&X,vectorvdouble>&Ydoublex,doublec){doubleresult=0;intb;b=0;while(x-X[b]>c){b=b+1;}result=Y[b]*(l-(x-X[b])/c)+Y[b+l]*((x-X[b])/c);returnresult;};(3)牛頓插值法#includeviostream>#includevstring>#includevvector>usingnamespacestd;doubleChaShang(intn,vectorvdouble>&X,vectorvdouble>&Y);doubleNewton(doublex,vectorvdouble>&X,vectorvdouble>&Y);intmain(){chara='n';do{intn;coutvv"請輸入插值點個數(shù)："vvendl;cin>>n;vectorvdouble>X(n,0);vectorvdouble>Y(n,0);coutvv"請輸入插值點對應(yīng)的值及函數(shù)值(Xi,Yi)："vvendl;for(inti=0;ivn;i++){cin>>X[i]>>Y[i];}coutvv"請輸入要求值x的值："vvendl;doublex;cin?x;coutvv"由牛頓插值法得出結(jié)果："vvNewton(x,X,Y)vvendl;coutvv"是否要繼續(xù)？(y/n)：";cin>>a;}while(a=='y');return0;}doubleChaShang(intn,vectorvdouble>&X,vectorvdouble>&Y){doublef=0;doubletemp=0;for(inti=0;ivn+l;i++){temp=Y[i];for(intj=O;jvn+1;j++)if(i!=j)temp/=(X[i]-X[j]);f+=temp;}returnf;}doubleNewton(doublex,vectorvdouble>&X,vectorvdouble>&Y){doubleresult=0;for(inti=O;ivX.size();i++){doubletemp=1;doublef=ChaShang(i,X,Y);for(intj=O;jvi;j++){temp=temp*(x-X[j]);}result+=f*temp;}returnresult;}六、實驗總結(jié)1通過實驗一數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，拉格朗日插值在低次插值時，同源函數(shù)偏差并不大，但在高次插值時同原函數(shù)偏差大、存在明顯的龍格現(xiàn)象，而分段線性插值可以避免出現(xiàn)的龍格現(xiàn)象，與原函數(shù)比較吻合，但是分段線性插值由于其分段屬性，使得插值函數(shù)