2020-2021學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)1學(xué)案：2 實(shí)際問題的函數(shù)建模

§2實(shí)際問題的函數(shù)建模

內(nèi)衣標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素泰

lo會(huì)利用已知的數(shù)模型

精確數(shù)據(jù)分析

解決實(shí)際問題.

強(qiáng)化教學(xué)運(yùn)算

2o能重立函數(shù)模型解決

熟練教學(xué)建模

實(shí)際問題。

課前自主預(yù)習(xí)@-----------------------------------------------------------掌握基本知識(shí)，注重基礎(chǔ)訓(xùn)練

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第71頁

Z■基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)］

知識(shí)點(diǎn)一常見函數(shù)模型

預(yù)習(xí)教材P120.130,思考并完成以下問題

C1J①斜率左的取值是如何影響一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的？

②在系法數(shù)模型的解析式中,Q的正負(fù)如何影響函數(shù)的單調(diào)

性？

提示:①人>0時(shí)直線必經(jīng)過一、三象限，y隨無的增大而增大；

^<0時(shí)直線必經(jīng)過二、四象限,y隨x的增大而減小.②當(dāng)x>0,?

>0時(shí)，函數(shù)的圖像在第一象F艮內(nèi)是上升的，在(0,+8)上為

增的數(shù)；當(dāng)%>0,avO時(shí)，函數(shù)的圖像在第一象F艮內(nèi)是下降的，

在(0,+8)上為減函數(shù)、

(2)①依據(jù)散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型時(shí)主要依據(jù)函數(shù)的什2性質(zhì)？

②數(shù)據(jù)擬合時(shí)，得到的函數(shù)為什么需要檢驗(yàn)？

提示:①主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值增長(zhǎng)速度的快慢.

②因?yàn)楦鶕?jù)已給的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖選擇我們比

較熟悉的、最簡(jiǎn)單的函數(shù)進(jìn)行擬合，但用得到的函數(shù)進(jìn)行估計(jì)

時(shí)，可能誤差較大或不切合客觀實(shí)際，此時(shí)就要再改選其他函

教模型.

知識(shí)梳理常見函數(shù)模型

⑴一次丫=kx+b（k,b為常

法教模型教房0）

(2)二次函y=加+陵+。(Q,b,

教模型c為常數(shù)，存0)

常用的教

(3)指教y=bcf+c（a,b,c為

模型

困教模型常數(shù),Z?#0,。＞0且。#1）

y=租log。％+n(mfa,

(4)對(duì)數(shù)函

H為常數(shù)，相聲0,a>0

教模型

且存1)

C5J第函y=+b（a,6為常教，

教模型存0）

⑹分段

y=錯(cuò)誤！

的教模型

知識(shí)點(diǎn)二解決法數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟

知識(shí)梳理利用的教知識(shí)和函數(shù)觀點(diǎn)斛決實(shí)際問題時(shí)，一

般按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：

（一）審題；（二）建模；（三）求模；（口）還原.

這些步驟用柩圖表示如圖：

、聯(lián)想、

建立函數(shù)模型

、轉(zhuǎn)化

問

數(shù)

題

學(xué)

解

解

答

決

轉(zhuǎn)譯

I實(shí)際問題結(jié)論I數(shù)學(xué)問題結(jié)論

[t我檢測(cè)7

L今有一組數(shù)據(jù)，如下表所示:

X12345

6.99.0

y3511

91

下列的數(shù)模型中，最接近的表示這組數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律的一個(gè)

是（）

A、指教的教B、反比例困數(shù)

C?一次函數(shù),D、二次函

解析：畫出散點(diǎn)圖，如圖所示：

74

12.

10.

8.

6.

4.

2

°123456，

觀察散點(diǎn)圖，可見各個(gè)點(diǎn)接近于一條直線，所以可用一次函教

表示、

答案：C

2、某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè)，....

現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)

關(guān)系是（）

x1xx+1

A、y=2xB、y=2-C.y=2D,y=2

解折：分裂一次后由2個(gè)變成2x2=22（個(gè)人分裂兩次后變成

4x2=23（個(gè)），……，分裂x次后變成y=2"i個(gè)、

答案：D

3.票汽車在一時(shí)間段內(nèi)速度v（km/h）與耗油量。（L）之間有

近仞的函數(shù)關(guān)系：2=0o0025V2-0O175v+4.27,則車速為

km/h時(shí)，汽車的耗油量最少、

解折：2=0.0025V2-0O175v+4o27

=0o0025（v2-70vJ+4.27

=0.0025[(u-35>-352]+4.27

=0.00253-35)2+1。2075.

故v=35km/h時(shí)，耗油量最少.

答案：35

該課堂合作探究------------------------------------------------------洞悉學(xué)習(xí)方向，把脈核心問題

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第71頁

探究一一次的教、二次舀教模型

Z■例U票商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一枇進(jìn)價(jià)是每件30元的商品，在市場(chǎng)

銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷售單價(jià)x元與日銷售量y件之間有如下

關(guān)系：

銷售單價(jià)

30404550

x(元)

日銷售量

6030150

y(件)

門)在所給坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)(x.y)

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并確定x與y的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式j(luò)>=犬幻；

(2)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的目銷售利潤(rùn)為。元，根據(jù)上述關(guān)系式寫出

。關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出銷售單價(jià)x為多少時(shí)，才能獲得

最大目銷售利潤(rùn)、

［思路點(diǎn)撥］依據(jù)(x,y)的關(guān)系一女1)是一次函教一建立P的

困教關(guān)系一利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值、

y

Z■斛折7賣數(shù)對(duì)(x,y)對(duì)應(yīng)的60點(diǎn)、如圖所

50

40

30

示，由圖可知y是x的一次函數(shù).20

10

⑴設(shè)/(x)=kx+b,~O1620304050*

則錯(cuò)誤!斛得錯(cuò)誤！

.\f(x)=-3x+150,30S爛50,檢驗(yàn)成立、

(2)P=(x-30)-(-3x+150)=-3x2+240x-4

500,30<x<50,

對(duì)稱軸x=-錯(cuò)誤！=40W￡30,507、

當(dāng)銷售單價(jià)為40元時(shí)，所獲利潤(rùn)最大.

方法技巧一次及教、二次函教均是重要的函數(shù)模型，特別

是二次函教模型在函教建模中占有重要的地住、利用二次函教

求最值時(shí)要注意取得最值時(shí)的《變量與實(shí)際意義是否相符.

跟蹤探究1.慕校高一(2)班共有學(xué)生51人，

據(jù)統(tǒng)計(jì)原來每人每年用于購(gòu)買飲料的平均支出

是〃元，若該班全體學(xué)生改飲票品牌的桶裝純凈

水，經(jīng)測(cè)算和市場(chǎng)調(diào)查，其年總費(fèi)用由兩部分組成，一部分是購(gòu)買

純凈水的費(fèi)用，另一部分是其它費(fèi)用228元，其中，純凈水的

銷售價(jià)M元/桶)與年購(gòu)買總量桶)之間滿足如圖所示關(guān)系.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)。=120時(shí)，若該班每年需要純凈水380桶，請(qǐng)你根

據(jù)提供的信息比較，該班全體學(xué)生改飲桶裝純凈水的年總費(fèi)用

與該班全體學(xué)生購(gòu)買飲料的年總費(fèi)用，哪一種更少？說明你的

理由；

(3)當(dāng)。至少為多少時(shí)，該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水的年

總費(fèi)用一定比該班全體學(xué)生購(gòu)買飲料的年總費(fèi)用少？

解折：(1)設(shè))=履+b(原0),

?「％=8時(shí)，y—400；x=10時(shí)，y—320o

錯(cuò)誤!斛之得錯(cuò)誤！

二)關(guān)于x的舀教關(guān)系式為y=-40x+720(%>0Z

(2)該班學(xué)生買飲料每年總費(fèi)用為51x120=61201元).

當(dāng)y二380時(shí),380=-40x+720,得x=8.5,

該班學(xué)生集體飲用桶裝純凈水的每年總費(fèi)用為380x8.5+228

=34581元入

所以，飲用桶裝純凈水的年總費(fèi)用少，

(3)設(shè)該班每年購(gòu)買純凈水的費(fèi)用為P元，則

P=xy=X-40x+720J=-40Cx-9)2+3240,

當(dāng)X=9時(shí)，Prnax=3240.

要使飲用桶裝純凈水的年總費(fèi)用一定比該班全體學(xué)生購(gòu)買飲

料的年總費(fèi)用少，

則51GPmax+228,斛得位68,故。至少為68元時(shí)全班飲用

桶裝純凈水的年總費(fèi)用一定比該班全體學(xué)生購(gòu)買飲料的年總費(fèi)

用少,

探究二指數(shù)型法教、對(duì)教型的教模型

［例2J某城市2009年底人口總數(shù)為100萬人，如果年平均

增長(zhǎng)率為1.2%,試解答以下問題：

（1）寫出經(jīng)過x年后，該城市人口總數(shù)y（萬人）與無（年）的

函數(shù)關(guān)系；

（2）計(jì)算10年后該城市人口總數(shù)（精確到0。1萬人）；

（3；計(jì)算經(jīng)過多少年以后，該城市人口將達(dá)到120萬人（精確

到1年入

910

（參考數(shù)據(jù)：1。012~1.113,1.012~1O127,1g1。2-0o079,

lg2-0o3010,1g1.012=0。005）、

［解析］（1）2009年底人口總數(shù)為100萬人，

經(jīng)過1年,2010年底人口總數(shù)為100+100x1o2%=100xfl

+1.2%),

經(jīng)過2年，2011年底人口總數(shù)為100x(1+1.2%)+100x(1+

1.2%)xl.2%=100x(1+lo2%)2,

經(jīng)過3年，2012年底人口總數(shù)為100x(1+1.2%；2+100x(1

2

+lo2%)xlo2%=100X(1+1.2%)3,

所以經(jīng)過x年后，該城市人口總數(shù)為100xCl+lo2%產(chǎn)，

所以y=100Xn+1.2%)xo

(2)10年后該城市人口總數(shù)為100x(1+lo2%)10~112o7(萬

人)，

(3J由題意得100x(1+1.2%)”>120,

兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg[100x(l+l。2%)x]>lg120,

整理得2+xlg1.012>2+lg1.2,得xN16,

所以大約16年以后，該城市人口將達(dá)到120萬人、

方法技巧指數(shù)型的數(shù)模型：y二加爐+僅4>0且存1,根#0),

在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問

題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來表示,對(duì)數(shù)型及數(shù)模型：)二根10gd

+c(m^0,。>0且〃#1),對(duì)數(shù)型函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系式，

然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算求斛、

跟蹤探究2.燕子每年秋天都要從北方飛到南方過冬，研究

燕子的科學(xué)彖發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v=

510g2錯(cuò)誤!，單住是m/s,其中。表示燕子的耗氧量.

(1)計(jì)算：燕子靜止時(shí)的耗氧量是多少個(gè)單??？

(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單住時(shí)，它的飛行速度是多

少？

斛折：門)由題意知，當(dāng)燕子靜止時(shí)，它的速度為0,代人題目

所給公式可得0=51og2錯(cuò)誤!O

解得。二10,即燕子靜止時(shí)的耗氧量為10個(gè)單核.

(2)將耗氧量。=80代人公式得：

v=510g2錯(cuò)誤!=510g28=15(m/sJ,

即當(dāng)一只燕子的耗氧量為80個(gè)單位時(shí)，飛行速度為15m/so

探究三分段函數(shù)模型

「例3］某商場(chǎng)在促銷期間規(guī)定：商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的

80%出售；同時(shí)，當(dāng)顧客在該商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按如下方

案獲得相應(yīng)金額的英券：

旃費(fèi)金額

n88(388,(588,(888,1

(元)的范

,388J588]888]1887???

M

獲得獎(jiǎng)券的285888128???

金額(元)???

根據(jù)上述促銷方法，顧蓉在該商場(chǎng)購(gòu)物可以獲得雙重優(yōu)惠，例

如：購(gòu)買標(biāo)價(jià)為400元的商品，則消費(fèi)金額為320元，然后還能

獲得對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)券金額為28元'于是，該獨(dú)家獲得的優(yōu)惠領(lǐng)為：

400x0.2+28=108元、設(shè)購(gòu)買商品得到的優(yōu)惠率=錯(cuò)誤!.試問：

門)購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為1000元的商品，顧家得到的優(yōu)惠率是多

少？

(2)當(dāng)商品的標(biāo)價(jià)為［100,600J元時(shí)，試寫出顧客得到的優(yōu)

惠率y關(guān)于標(biāo)價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式；

C3J當(dāng)顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)不超過600元的商品時(shí)，該顧客是否可

以得到超過35%的優(yōu)惠率？若可以，靖舉一例；若不可以,試說明

你的理由,

「思路點(diǎn)撥】結(jié)合實(shí)例計(jì)算(1人當(dāng)［100,235),［235,485］,

(485,6007,求)與x的關(guān)系式；在(2)的基礎(chǔ)上計(jì)算每一段上

的優(yōu)惠率，分析是否達(dá)到35%.

［解析］(U由題意，標(biāo)價(jià)為1000元的商品消費(fèi)金額為1

000x0.8=800元，

故優(yōu)惠額為：1000x0.2+88=288元，則優(yōu)惠率為錯(cuò)誤!=28。8%。

(2)由題意，當(dāng)靖費(fèi)金額為188元時(shí)，其標(biāo)價(jià)為235元;當(dāng)消費(fèi)金

穎為388元時(shí)，其標(biāo)價(jià)為485元;

當(dāng)消費(fèi)金領(lǐng)為588元時(shí)，其標(biāo)價(jià)為735元.

由此可得，當(dāng)商品的標(biāo)價(jià)為flOO,600］元時(shí)，顧客得到的優(yōu)

惠率y關(guān)于標(biāo)價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式為：

y=錯(cuò)誤！

（3）當(dāng)CO,235）時(shí)，優(yōu)惠率即為：20%；

當(dāng)xW［235,4857時(shí)，優(yōu)惠、率為：）=0。2+錯(cuò)誤!，

此時(shí)的最大優(yōu)惠率為0.2+錯(cuò)誤!=0.319V35%。

當(dāng)x€（485,600］時(shí)，優(yōu)惠率為：）=0。2+錯(cuò)誤!，

此時(shí)的優(yōu)惠率yvO。2+錯(cuò)誤!=0。32<35%；

綜上，當(dāng)獨(dú)家購(gòu)買不超過600元商品時(shí)，可得到的優(yōu)惠率不

會(huì)超過35%

延伸探究如果此人實(shí)際消費(fèi)1000元，問該人得到優(yōu)惠領(lǐng)

共多少元？

斛折：此人得利的優(yōu)惠額為：錯(cuò)誤!x0。2+128=378元.

方法技巧lo分段舀教模型是日常生活中常見的困數(shù)模

型,對(duì)于分段的教，一要注意規(guī)范書寫格式；二要注意各段的

自變量的取值范圍，對(duì)于中間的各個(gè)分點(diǎn)，一般是“一邊閉，一邊

開“，以保證在各分點(diǎn)的“不重不漏”、

2、斛決分段函數(shù)問題需注意幾個(gè)問題：(D所有分段的區(qū)間

的并集就是分段舀數(shù)的定義域.(2)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，先

要弄清4支量在鄴個(gè)區(qū)間內(nèi)取值，然后再用該區(qū)間上的斛折式

來計(jì)算的數(shù)值.(3)一般地，分段的數(shù)由幾段組成，必須注意考

慮各段的自變量的取值范囹.

跟蹤探究3.如圖所示，等腰楞形A3CD的兩底分別為AZ)=

2,BC=1,/氏4。=45。,直線從W14。支AD于Mf支折線A3CD

于N,記AM=x,試將梯形ABCD住于直線MN左側(cè)的面積y

表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域和值域、

斛折：如圖，過3,C分別作AD的垂線，垂足分別為“和

G,

則AH=錯(cuò)誤!,AG=錯(cuò)誤!,

當(dāng)"優(yōu)于“左側(cè)時(shí),AM二x,MN二x,

了.)二S^AMN=錯(cuò)誤!I?'OSXV錯(cuò)誤!.

當(dāng)M住于H,G之間時(shí)，y=錯(cuò)誤!AHHB+HAf?MN=錯(cuò)誤!又錯(cuò)誤!x錯(cuò)誤!

+錯(cuò)誤!X錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!x一錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤!Sxv錯(cuò)誤！.

當(dāng)A/優(yōu)于GQ之間時(shí)，y=S梯形"co-SAMONU錯(cuò)誤!x錯(cuò)誤!x(2

+1)一錯(cuò)誤!(2—x)(2—x)=一錯(cuò)誤!f+2x一錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤!S爛2。

所求函數(shù)的關(guān)系式為y=錯(cuò)誤！

...函數(shù)的定義域?yàn)椤?,2，值域?yàn)殄e(cuò)誤!.

探究8擬合的數(shù)模型的應(yīng)用

r例4］環(huán)境污染已經(jīng)嚴(yán)重危害人們的健康，某工廠因挑污

比較嚴(yán)重，決定著手整治，一月時(shí)污染度為60,整治后前田個(gè)

月的污染度如下表：

月教1234???

污染

6031130???

度

污染度為0后，該工廠即停止整治，污染度又開始上升，現(xiàn)用

下列三個(gè)函數(shù)模型從整治后第一個(gè)月開始工廠的污染模式：

fix)=20|x-4|(x>l),g(x)=錯(cuò)誤!(x-4)2(x>l),h(x)

=30|logu-2|(x>lJ,其中x表示月教，g(x)fh{x)分別表

示污染度.

問選用哪個(gè)函數(shù)模擬比較合理，并說明理由、

［解析1用力行)模擬比較合理、理由：因?yàn)槿?)=40/2)=26。

7,h(2)=30^3；=20,g(3戶6。7,h(3)句2.5。

由此可得"G)更接近實(shí)際值，所以用"G)模擬比較合理、

方法技巧對(duì)于此類實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是先建立適當(dāng)?shù)姆?/p>

教關(guān)系式，再解決教學(xué)問題，然后驗(yàn)證并結(jié)合問題的實(shí)際意義

作出回答，這個(gè)過程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)斛題、函數(shù)擬

合與預(yù)測(cè)的一般步驟是：

(1J能夠根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，描出數(shù)據(jù)點(diǎn).

(2)通過數(shù)據(jù)點(diǎn)，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或

擬合曲線、如果所有實(shí)際點(diǎn)都落到了擬合直線或曲線上，謫“點(diǎn)”

不漏,那么這將是個(gè)十分完美的事情，但在實(shí)際應(yīng)用中，這種情況

一般是不會(huì)發(fā)生的,因此，使實(shí)際點(diǎn)盡可能地均勻分布在直線或

曲線兩側(cè)，得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了.

(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí)，求出擬合直線或擬合曲線的函教關(guān)系

式、

(4)利用法教關(guān)系灰，根據(jù)條件對(duì)所給問題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，

為決策和管理提供依據(jù)、

跟蹤探究4o為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌流的影響，

在［上建立了一個(gè)觀察站，測(cè)量最大積雪深度xcm與當(dāng)年灌溉

面積yhn?。現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測(cè)資料，如下表所示.

年最大積雪深灌溉面秋

序度x/cmy/hm2

115o228.6

210.421o1

321.240o5

418o636o6

526.449o8

623.445o0

713.529o2

816.734.1

924o045.8

1019.136.9

(1)描點(diǎn)畫出灌流面積y(hm2)隨秋雪深度x(cm)變化的圖

像；

(2；建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y=f(x)f

并畫出圖像；

(3)根據(jù)所建立的函教模型，求最大積雪深度為25cm時(shí)，

可以灌溉的土地?cái)?shù)量、

斛折：(1)描點(diǎn)作圖如圖甲.

甲乙

(2)從圖甲中可以看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近,由此，

我們假設(shè)灌溉面秋y和最大秋雪深度x滿足線性函數(shù)模型y=。尤

+b(存0)、取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1J,C24.0,45o8),

代人y=4X+"得錯(cuò)誤！

用計(jì)算器可算得向1.8,Z?~2o4.

這樣，我們得到一個(gè)函數(shù)模型y=1。8x+2o4o

作出的數(shù)圖像如圖乙，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)

的擬合程度較好，這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉

面秋的關(guān)系.

(3)由y=1。8x25+2o4,求得y=47。4,即當(dāng)最大積雪深

度為25cm時(shí)，可以灌溉土地47.4hm2。

03^^討論探究@------------------------------------------------------總結(jié)規(guī)律方法，提升核心素養(yǎng)

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第74頁

［課后小結(jié)］

L的數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例主要包括三個(gè)方面:

(1)利用給定的函數(shù)模型斛決實(shí)際問題；

(2)建立確定性的函數(shù)模型解決實(shí)際問題；

(3)建立擬合舀教