2020-2021學年高一（下）期中數(shù)學試卷

2020-2021學年上海市奉賢中學高一（下）期中數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共4小題，共20.（）分）

1.（2020?四川省宜賓市?期末考試）函數(shù)y=3sin（2x+g）的圖象可以看作是把函數(shù)y=

3sin2x的圖象作下列移動而得到（）

A.向左平移g單位B.向右平移W單位

C.向左平移?單位D.向右平移?單位

OO

2.（2021?上海市市轄區(qū)?期中考試）已知0<a將角a的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)，所得的

Zo

角的終邊交單位圓于P（號,y），則sina的值為（）

A2任百B2代+6Q2通-1D2乃+1

?6666

3.（2021?上海市市轄區(qū)?期中考試）設。為△ABC所在平面內(nèi)一點，滿足市+2南+

20C=0?則AABC的面積與ABOC的面積的比值為（）

A.6B.|C.yD.5

4.（2020?上海市?單元測試）已知e[-%§,x3+sinx-2a=0,4y3+sinycosy+

a=0,則cos（x+2y）的值是（）

A.1B.-1C.0D.j

二、單空題（本大題共12小題，共54.0分）

5.（2019?上海市市轄區(qū)?模擬題）己知向量荏=（1,2）,AC=（3,5）,則向量近的坐標是

6.（2021?上海市市轄區(qū)?期中考試）函數(shù)y=sin（7T%+3）的最小正周期是.

7.（2021?上海市市轄區(qū)?期中考試）一個扇形半徑是2,圓心角的弧度數(shù)是3,則此扇形

的面積是.

8.（2021?上海市市轄區(qū)?期中考試）設五=（|,sina）,b=（cosa,》，且五//b>則cos2a=

9.（2021?上海市市轄區(qū)?期中考試）函數(shù)y=sinx-怖cosx在[0,2用的單調(diào)增區(qū)間是

10.（2021?上海市市轄區(qū)?期中考試）直角坐標系xOy中，：、，分別是與x、y軸正方向同

向的單位向量.在直角三角形ABC中，若南=2：+]，AC=3l+kj，則k的可能

值個數(shù)是.

11.（2021?上海市市轄區(qū)?期中考試）已知函數(shù)f（x）=sinx（xe[0,兀]）和函數(shù)9（X）=

夜tcmx的圖象交于A、B、C三點.則△ABC的面積為.

2

12.（2021?廣東省揭陽市?模擬題）已知|2|=1,\b\=21五與方的夾角為60。，則為+方在

日方向上的投影為.

13.（2021?上海市市轄區(qū)?期中考試涵數(shù)y=sin2x+2cosx+1在區(qū)間[一|兀,刃上的最小

值是：，則。的最大值為__.

4

14.（2021?上海市市轄區(qū)?期中考試）已知函數(shù)f（x）=cosx|sinx|,下列說法正確的是

①/'（X）圖象關(guān)于x=W對稱；

②/■（>）的最小正周期為2兀；

③/Xx）在區(qū)間百,爭上是嚴格減函數(shù);

④/（x）圖象關(guān)于?,0）中心對稱.

15.（2021?上海市市轄區(qū)?期中考試）a<1時,記｛a,b｝血丸=a,已知f（x）=cosnx?

（sinnx,cosnx）min,x6[0,/].則y=f（x）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為

16.(2021?上海市市轄區(qū)?期中考試)如圖，在銳角△ABC中,

BC=a,AC=b,AB=c,a>b>c,且a、b、c是

常數(shù)，。是AABC的外心，0。18。于。，0EJ.4C于

E,OF1AB-^F,設m=而?癥，n=OE-OF<I=

OF-0D>則m-.n：I=.

三、解答題（本大題共5小題，共76.0分）

17.（2021.上海市市轄區(qū)?期中考試）化簡:

tan(a-/?)+tan/?

⑴l-tan(a-/?)tan/?

2

sin(7r-0)COS(7T+0)一企sin(8+》.

⑵cosq-0)-sin(#。)l-tan(37r+0)

第2頁，共16頁

18.(2021?上海市市轄區(qū)?期中考試)設平面上有兩個向量五=(cosa.sina),b=

(1)求證：向量五+石與五一3垂直：

(2)當向量百方+E與方—百E的模相等時，求a的大小.

19.(2021?上海市市轄區(qū)?期中考試)甲船在距離A港口12海里并在南偏西10。方向的C

處駐留等候進港，乙船在A港口南偏東20。方向的B處沿直線行駛?cè)敫?，甲、乙?/p>

船距離為6西海里.乙船的速度為每小時18海里，經(jīng)過20分鐘航行到。處，求此時

甲、乙兩船相距多少海里？甲在乙的什么方向？

20.(2021.上海市市轄區(qū).期中考試)函數(shù)/(x)=

6cos2等+V3sin(ajx)-3(3>0)在一個周期內(nèi)的

圖象如圖所示，A為圖象的最高點，8、C為圖象與

x軸的交點，且△ABC為正三角形.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若人沏)=華，且丸6(-三,|),求fQo+1)的值;

(3)若y=/2(x)-af(x)+1的最小值為5求a的取值.

21.(2021?上海市市轄區(qū)?期中考試)f(x)=5訪2%+5也20+戊)+5也20+/?).其中0、0

是常數(shù).且0<a<p<n-.

(1)若a=p^=pm<f(x)恒成立，求m的取值范圍；

(2)若a=，0屋，求關(guān)于x的方程n=/(x),x6[0,2兀]所有解的和：

(3)/(%)是否可能為常值函數(shù)？如果可能，求出/'(x)為常值函數(shù)時，a、￡的值；如

果不可能，請說明理由.

第4頁，共16頁

答案和解析

1.【答案】C

【知識點】函數(shù)y=Asin?x+<p)的圖象與性質(zhì)

【解析】解：把函數(shù)y=3s譏2x的圖象向左平移?個單位，可得y=3sin2(x+》=

DO

3sin(2x+§的圖象，

故選：C.

由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin(a>x+9)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)y=Asin^x+0)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題.

2.【答案】D

【知識點】任意角的三角函數(shù)

【解析】解：設角a的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)看后的角為￡,

則4=a+g

0

由任意角的三角函數(shù)定義可知COS.=-i,

Acos(a+

V311

???cosax---smax-=——，

223

又「sin2a+cos2a=1,且0VaV

聯(lián)立兩式可求：sina=?,

6

故選：D.

設角a的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)著后的角為口，由題意可知/?=a+t，由任意角的三角函數(shù)定義

可知COS0=再利用兩角和的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求解.

本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，是基礎

題.

3.【答案】D

【知識點】平面向量的基本定理及其應用

【解析】解：根據(jù)奔馳定理可得SABOC：SA4℃：S-OB=1：2：2,

所以SABOC=WS^ABC，

所以三角形ABC的面積與三角形80c的面積的比值為5,

故選：D.

根據(jù)奔馳定理可得SAB℃：S&AOC：^A0B=1：2：2,進而可以求解.

本題考查了平面向量基本定理的應用，涉及到奔馳定理的應用，屬于基礎題.

4.【答案】A

【知識點】函數(shù)的奇偶性、兩角和與差的三角函數(shù)公式

【解析】解：設/'(建)=爐+sinu.

由①式得/(X)=2a,由②式得/'(2y)=-2a.

因為/Q)在區(qū)間［一W幣上是單調(diào)奇函數(shù)，

fW=~/(2y)=/(-2y).

???x——2y,即x+2y=0.

cos(x+2y)=1.

故選：A.

設/■(1/)="3+5勿以根據(jù)題設等式可知/(乃=2af(2y)=-2a,進而根據(jù)函數(shù)的奇偶

性，求得f(x)=-/(2y)=/(-2y).進而推斷出x+2y=0.進而求得cos(x+2y)=1.

本題主要考查了利用函數(shù)思想解決實際問題.考查了學生運用函數(shù)的思想，轉(zhuǎn)化和化歸

的思想.

5.【答案】(2,3)

【知識點】平面向量的坐標運算

【解析】解：BC=AC-AB=(3,5)-(1,2)=(2,3).

故答案為：(2,3).

根據(jù)方=前-荏即可求出向量前的坐標.

考查向量減法的兒何意義，以及向量坐標的減法運算.

6.【答案】2

【知識點】正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第6頁，共16頁

【解析1解：函數(shù)y=sin(7T%+3)的最小正周期是?=2,

故答案為：2.

由題意利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論.

本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.

7.【答案】6

【知識點】弧長公式與扇形面積公式

【解析】解：由扇形面積公式可知：S=||a|r2=6,

故答案為：6.

利用扇形面積公式求解.

本題主要考查了扇形面積公式，是基礎題.

8.【答案】+隹

-2

【知識點】平面向量共線的充要條件、二倍角公式及其應用

【解析】解：因為五=(|,sina),方=(cosa,［),S.a//b<

所以sinacosa—三=0,即sin2a=二，

42

所以cos2a=±V1-sin22a=±拳

故答案為：+些.

-2

由己知利用平面向量共線的坐標表示以及二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求

解.

本題主要考查了平面向量共線的坐標表示以及二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在

三角函數(shù)求值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題.

9.【答案】［0,芍和［邛,2網(wǎng)

【知識點】正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)公式

［解析］解：y=sinx—\［3cosx=2sin(x—,

令一~+2kn<x—^<2kn+(kGZ),

整理得：一W2/C7T+史(kWZ),

66

當k=0和1時，在［0,2網(wǎng)的單調(diào)增區(qū)間［0,9］和［￥，2兀］.

o6

故答案為：［0片］和［工？,2捫.

首先把函數(shù)的關(guān)系式通過三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型

函數(shù)，進一步利用函數(shù)的性質(zhì)的應用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，主要

考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題.

10.【答案】-6,-1

【知識點】平面向量的坐標運算

【解析】解：?.?荏=2：+寧,AC=3i+kj>

就=正-荏=；+(k-1)J

因為△ABC為直角三角形，

⑴〃=90。時，荏?前=6+k=0nk=-6;

(2)NB=90。時，AB-BC=2+k-l=0=^k=-li

(3))“=90。時，正?而=3+k(k-l)=O=ke0

綜上所述，k=一6或一1

故答案為：—6,—1.

利用方=AC-AB=i+(fc-I)),再分三種情況乙4=90?；?8=90?；?c=90。加

以討論，利用向量的數(shù)量積等于零，建立關(guān)系式，再解方程求得所有可能k的值.

本題考查向量坐標的定義、考查向量的運算法則、考查向量垂直的充要條件.解答的關(guān)

鍵是利用向量垂直的充要條件列出等式，所得到方程的所有解即為可能的左值.

11.【答案】4

【知識點】正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】解：由函數(shù)/(%)=sinx(xE［0,兀］)和函數(shù)g(x)=

日tanx的圖象交于A、B、C三點，可得4(0,0),B(%0),

令sinx=Ttanx，可得cosx=?，乂=也,'"(，：)，

所以SAABC=1X7rXl=P

故答案為：

畫出兩個函數(shù)的圖象，求出三個點的坐標，然后求解三角形面積.

第8頁，共16頁

本題考查三角函數(shù)的圖象以及三角形的面積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于

中檔題.

12.【答案】2

【知識點】向量的夾角、向量的投影、向量的數(shù)量積

【解析】

【分析】

本題考查了向量數(shù)量積的定義、向量的夾角公式和向量投影的概念等知識，屬于基礎題.

根據(jù)|砧=1,|方|=2,乞與石的夾角為60。,算出|方+3|=夕且0+3)?W=2.再設有+石

與五的夾角為0,結(jié)合數(shù)量積公式和向量投影的定義，算出|Z+B|cos。的值，即可得到

向量日+石在方方向上的投影值.

【解答】

解：???|五|=1,@=2,五與方的夾角為60。，

a-b=\a\x\b\xcos60°—1

由此可得0+3)2=\a\2+2a-b+\b\2

=1+2+4=7

???|a+b|=V7"

設五+3與五的夾角為。,

■■(a+bya=\a\2+a-b=2^

(a+bya_2\/7

ACOS0

\a+b\\a\~~7~

可得向量方+方在日方向上的投影為|五十b\cos6=A/7x+=2,

故答案為2.

13.【答案】2

6

【知識點】三角函數(shù)的最值

【解析】解：,?,函數(shù)y=sin2%+2cosx+1=—cos2%4-2cosx+2=—(cosx-l)24-3

若在區(qū)間[-|兀,8]上的最小值為j

則由y=—(cos%—l)2+3=支

解得cosx=

又1xE[—^n,9]

???0=-Ji,

6

故答案為：

由已知中函數(shù)y=siMx+2cosx+1,由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，將函數(shù)的解析式化

為y=-(cosx-I)2+3的形式，進而根據(jù)函數(shù)的最小值為：，結(jié)合已知中x6[-|乃,即及

余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到。的最大值.

本題考查的知識點是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，余弦函數(shù)

的圖象和性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，將函數(shù)的解析式化

為二次型函數(shù)的形式是解答本題的關(guān)鍵.

14.【答案】②④

【知識點】命題及其關(guān)系

匕

八

TT

[解析]TT

解：函數(shù)/(%)=cosx|s比川的圖像如圖所示，

由/?(_%)=/(%),可得/(%)為偶函數(shù)，由圖像可得①錯，②正確；

在區(qū)間尊號上為不單調(diào)函數(shù)，故③錯；

/(x)的圖像關(guān)于G，0)中心對稱，故④正確；

故答案為：②④.

畫出f(x)的圖像，由圖像即可判斷①②③④的正誤.

本題考查了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查了函數(shù)的對稱性，單調(diào)性和周期性，注意數(shù)形

結(jié)合思想的運用.

15.【答案晦

【知識點】定積分在解決實際問題中的應用

【解析】解：因為Xe[0,通.所以nxG[0,5,

cosnx-sinnxx6[0,看]

所以/(%)=cosnx?{sinnx,cosnx}

mincosnx?cosnx%G

第10頁，共16頁

-sin2nx

1nn

-(1+cos2nx)XG(4nz2n]

y=/(%)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為分=f^^sm2nxdx+J^|(l4-

4n

nn

cos2nx}dx=高?(—cos2nx)>\^1+(|x+*sin2九%)|留=2

4n

故答案為：￡-

oTl

先由xe[0$].確定〃X的范圍，然后就能確定｛sinnx,cosgmin取值，將函數(shù)f(x)寫成

分段形式，利用積分的性質(zhì)17(x)dx=J：/(x)dx+，7(x)dx,分別對分段進行求取

積分在相加.

本題主要考查積分的幾何意義及分段函數(shù)積分的求解，難點在復合函數(shù)的定積分求解,

屬于中檔題.

16.【答案】1：1：1

【知識點】向量的數(shù)量積

【解析】解：如圖，連接OA，OB,OC,太

設N84C=41,/.ABC=Z2,Z.ACB=z3,/\

因為。是△力BC的外心,ODJLBC于。,OE_LAC于F//\E

E,OF1AB^F,/\

所以NDOC=ADOB=zl,AAOE=乙COE=Z2,s^—------------_^Ac

D

Z.BOF=Z.AOF=z3,

所以m=?就=|OD||OF|coszDOF

=(RcosZ.DOC)y(RcosZ.COE)cos(n—乙ACB)

=—R2cos/-lcosZ-2cosZ-3,

同理可得ri=OF-OF=—/?2coszlcosz2cosz3?I=OF?OD=-/?2coszlcosz2cosz3?

所以m：〃：I=1：1：1.

故答案為：1：1：1.

連接04,OB,OC,設=/.ABC=z2,乙4cB=43,利用三角形外接圓的

性質(zhì)以及數(shù)量積的運算可求得TH=0D-OF=—/?2COSZ.1COSN2COSZ3,同理可求得〃,

計算可得結(jié)論.

本題主要考查向量的數(shù)量積運算，三角形外接圓的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔

題.

tan(a-0)+tan0

.【答案】解:=tan[(a—￡)+￡]=tan0；

17⑴l-tan(a-/?)tan/?

2

(2)原式=sin0H---------—(sinG+cos。)，

sin0-cos0

sin2j

+—HHe一(sin。+cosQ),

sin8-cos81一遍

2

sin?。+cos0—(sine+cos。)，

sin0-cos0cos0-sin0

=sin0+cosd—sind—cos0,

=0.

【知識點】三角函數(shù)的化簡求值和證明、兩角和與差的三角函數(shù)公式、三角恒等變換

【解析】(1)結(jié)合兩角和的正切公式進行化簡可求：

(2)結(jié)合同角基本關(guān)系進行化簡即可求解.

本題主要考查了同角基本關(guān)系，兩角和的正切公式，屬于基礎題.

18.【答案】解：(1)證明：：蒼=(cosa,sina),1=(—［，),

(a+K)-(a-K)=a2-K2=1-1=0-

???向量蒼+B與日-石垂直；

(2)v|V3a+b|=|a-V3&P

(V3a+K)2=(a-V3b)2>

3+1+2y/3a-b=l+3-2V3a-K.

a-b=——cosa4--sina=sin(a--)=0,

22v3y

???a—g=kn,kEZ,

???a=^+kn,kGZ.

【知識點】向量垂直的判斷與證明、向量的概念及幾何表示

【解析】(1)根據(jù)條件可求出m+石).0一］)=0，從而得出(五+石),(蒼一方)；

(2)根據(jù)條件可得出(百方+3)2=0-舊萬)2,然后進行數(shù)量積的運算可得出e.b=0,

從而可得出sin(a-g)=0,這樣即可求出a的值.

本題考查了向量數(shù)量積的運算，向量坐標的數(shù)量積運算，向量垂直的充要條件，考查了

計算能力，屬于基礎題.

第12頁，共16頁

19.【答案】解：作出符合題意的圖形，AC=12,BC=6V3,

Z.CAB=30°,

△4BC中，由正弦定理得,126V3

sinzXFCsin30°

所以sin/ABC=g

由AC<BC知N4BC為銳角，

所以cosNABC*,

△BCO中，由余弦定理得C0=yjBC2+BD2-2BC-BDcosLB=

2+62-2X6X6V3X^=6日

62+(6煙2-(6何42

由余弦定理得，cos480c=

2x6x6企2

所以NBDC=135°,1180°-135°+20°=65°,

所以甲、乙兩船相距6位海里，甲在乙的北偏西65。方向.

【知識點】解三角形的實際應用

【解析】結(jié)合實際問題作出圖形，然后結(jié)合正弦定理及余弦定理即可直接求解.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理在求解實際問題中的應用，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)函數(shù)/(x)=6cos2號+V3sin(o)x)—3=3cosa)x+\[3sina)x—

2V3sin(a)x+》

由于AABC為正三角形，所以三角形的高為2百，所以BC=4.

所以函數(shù)/(x)的最小正周期為7=4義2=8,所以3=%

從而得到f(x)=28sin《x+§.

(2)若/(&)=券，則2百5也(/殉+$=#，整理得sinf^Xo+g)=|,

由于%06(-？,勺，所以=％o+?e(—所以COS(W%0+=)=3

所以/(Xo+1)=2V3sin(^x0+?+"=2V3[sin(^x0+^)cos^+cos(^x0+W)sing=

2g白分色當=喳

(3)/(x)=2V5sin(3x+g)的值域為|-2百,2g],

令t=/(x),則te[-2V3,2V3].

所以y=/2(x)-a/(x)+1轉(zhuǎn)化為g(t)=t2-at+1,對稱軸為￡=

當m>2b,即a>4VW，g(t)7n加=5(473)=12-2遮a+1=；,解得a=舍)；

當三一2業(yè)即a4—4b時，=或一4b)=12+2ga+1=｝解得Q=

-警(舍)；

當-2g<|<2A/3,EP—4A/3<a<4g時，g(t)min—g6)=卜_,+1=$解得Q=

±V2.

綜上可得a=±V2.

【知識點】函數(shù)產(chǎn)4sin?x+(p)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換

【解析】(1)直接利用函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換和函數(shù)的圖象的應用求出函數(shù)的關(guān)系式;

(2)利用(1)的結(jié)論，進一步利用角的變換求出結(jié)果；

(3)求出“%)的值域，令t=/(%),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解。的值.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，二次函

數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的應用，考查運算求解能力，屬于中檔

題.

21.【答案】解:(l)/(x)=sin2%+sin2(x+])+sin2(x+5)=sin2%+2cos2x=1+

cos2x,

所以/(%)N1，

所以m<1.

(2)所以/(%)=sin2x+sin2(x+，)+sin2(x+；)

31Ti27r

=---(co