廣東省揭陽市五經(jīng)富中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

廣東省揭陽市五經(jīng)富中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且，則這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)和=（

）A．10

B．15

C．20

D．25參考答案：D2.設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則使成立的的取值范圍為A、

B、

C、

D、參考答案：答案：A3.隨著人民生活水平的提高，對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大，如圖是某城市1月至8月的空氣質(zhì)量檢測情況，圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí)，一級(jí)空氣質(zhì)量最好，一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣，下面敘述不正確的是（）A．1月至8月空氣合格天數(shù)超過20天的月份有5個(gè)B．第二季度與第一季度相比，空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了C．8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月D．6月份的空氣質(zhì)量最差參考答案：D【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【分析】在A中，1月至8月空氣合格天數(shù)超過20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5個(gè)；在B中，分別求出第一季度合格天數(shù)的比重和第二季度合格天氣的比重，能求出結(jié)果；在C中，8月空氣質(zhì)量合格的天氣達(dá)到30天；在D中，5月空氣質(zhì)量合格天氣只有13天．【解答】解：在A中，1月至8月空氣合格天數(shù)超過20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5個(gè)，故A正確；在B中，第一季度合格天數(shù)的比重為：，第二季度合格天氣的比重為：≈0.6263，∴第二季度與第一季度相比，空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了，故B正確；在C中，8月空氣質(zhì)量合格的天氣達(dá)到30天，是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月，故C正確；在D中，5月空氣質(zhì)量合格天氣只有13天，5月份的空氣質(zhì)量最差，故D錯(cuò)誤．故選：D．4.將9個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，要求每個(gè)盒子中至少有1個(gè)小球，且每個(gè)盒子中的小球個(gè)數(shù)都不同，則不同的放法共有（

）A.15種

B.18種

C.19種

D.21種參考答案：B5.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的模是（

）A.

B.

C.5

D.8參考答案：A6.已知直線與兩個(gè)不同的平面，則下列每題正確的是（

）A．若，則

B．若則C．若則

D．若則參考答案：B7.設(shè)G是△ABC的重心，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若a+b+c=，則角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°參考答案：D【考點(diǎn)】余弦定理；平面向量的基本定理及其意義．【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得到，可得．由已知向量等式移項(xiàng)化簡，可得=，根據(jù)平面向量基本定理得到，從而可得a=b=c，最后根據(jù)余弦定理加以計(jì)算，可得角A的大?。窘獯稹拷猓骸逩是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移項(xiàng)化簡，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，設(shè)c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===，∵A為三角形的內(nèi)角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故選：D8.已知直線y=kx與函數(shù)f（x）=的圖象恰好有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

) A．（﹣1，+∞） B．（0，﹣1） C．（﹣﹣1，﹣1） D．（﹣∞，﹣﹣1）∪（﹣1，+∞）參考答案：A考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．專題：計(jì)算題；作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：作直線y=kx與函數(shù)f（x）=的圖象，結(jié)合圖象，由排除法確定選項(xiàng)即可．解答： 解：作直線y=kx與函數(shù)f（x）=的圖象如下，由圖象可知，k不可能是負(fù)數(shù)，故排除C，D；且k可以取到1，故排除B；故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象的作法及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的S值為（

）A．15

B．37

C．83

D．177參考答案：B執(zhí)行程序，可得，不符合，返回循環(huán)；，不符合，返回循環(huán)；，不符合，返回循環(huán)；，不符合，返回循環(huán)；，符合，輸出；故選：B

10.已知點(diǎn)A（1，0），若曲線G上存在四個(gè)點(diǎn)B，C，D，E．使△ABC與△ADE都是正三角形，則稱曲線G為“雙正曲線”．給定下列四條曲線：

①4x+3y2=0； ②4x2+4y2=1； ③x2+2y2=2； ④x2－3y2=3其中，“雙正曲線”的個(gè)數(shù)是（

）A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知變量，滿足，則的最大值是

.A.4 B.7

C.10

D.12參考答案：C12.下列四個(gè)命題：①函數(shù)f（x）=cosxsinx的最大值為1；②命題“?x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“?x∈R，x﹣2＞lgx”；③若△ABC為銳角三角形，則有sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC；④“a≤0”是“函數(shù)f（x）=|x2﹣ax|在區(qū)間（0，+oo）內(nèi)單調(diào)遞增”的充分必要條件．其中所有正確命題的序號(hào)為．參考答案：②③④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】對(duì)四個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：①函數(shù)f（x）=cosxsinx=sin2x的最大值為，不正確；②命題“?x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“?x∈R，x﹣2＞lgx”，正確；③∵△ABC為銳角三角形，∴A+B＞，∴A＞﹣B，∵y=sinx在（0，）上是增函數(shù)，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB同理可得sinB＞cosC，sinC＞cosA，∴sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosCsinA，正確；④a≤0，函數(shù)f（x）=|x2﹣ax|的零點(diǎn)是a，0，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸，可得函數(shù)f（x）=|x2﹣ax|在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；若函數(shù)f（x）=|x2﹣ax|在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸，可得≤0，∴a≤0，∴“a≤0”是“函數(shù)f（x）=|x2﹣ax|在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增”的充分必要條件，正確．故答案為：②③④．13.已知矩陣A=，矩陣B=，計(jì)算：AB=

．參考答案：略14.在三棱錐D-ABC中，,，則三棱錐D-ABC外接球的表面積為__________．參考答案：6π.【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得垂直關(guān)系，結(jié)合模型可求外接球的表面積.【詳解】因?yàn)?，；所?所以三棱錐的外接球就是以分別為長寬高的長方體的外接球，故其對(duì)角線就是外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為，則,即，故外接球的面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積，借助長方體這個(gè)模型可以簡化求解過程，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15.如圖是函數(shù)的圖象，則其解析式是____.參考答案：16.展開式中，常數(shù)項(xiàng)是

．參考答案：17.下列命題：①；②命題“，”的否定是“，”；③已知，則“”是“”的充分不必要條件；④已知，，則在上的投影為；⑤已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最大值為3，則函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，其中正確的命題是

。參考答案：③三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求的取值范圍．參考答案：(1)設(shè)橢圓的半焦距是依題意，得因?yàn)闄E圓的離心率為，所以故橢圓的方程為(2)當(dāng)軸時(shí)，顯然當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線的方程為由消去并整理得

設(shè)線段的中點(diǎn)為

則所以線段的垂直平分線的方程為

在上述方程中，令x＝0，得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

所以或綜上，的取值范圍是略19.在水域上建一個(gè)演藝廣場，演藝廣場由看臺(tái)Ⅰ，看臺(tái)Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演臺(tái)BCDE四個(gè)部分構(gòu)成（如圖），看臺(tái)Ⅰ，看臺(tái)Ⅱ是分別以AB，AC為直徑的兩個(gè)半圓形區(qū)域，且看臺(tái)Ⅰ的面積是看臺(tái)Ⅱ的面積的3倍，矩形表演臺(tái)BCDE中，CD=10米，三角形水域ABC的面積為平方米，設(shè)∠BAC=θ．（1）求BC的長（用含θ的式子表示）；（2）若表演臺(tái)每平方米的造價(jià)為0.3萬元，求表演臺(tái)的最低造價(jià)．參考答案：【考點(diǎn)】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；HN：在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型．【分析】（1）根據(jù)看臺(tái)的面積比得出AB，AC的關(guān)系，代入三角形的面積公式求出AB，AC，再利用余弦定理計(jì)算BC；（2）根據(jù)（1）得出造價(jià)關(guān)于θ的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出最小造價(jià)．【解答】解：（1）∵看臺(tái)Ⅰ的面積是看臺(tái)Ⅱ的面積的3倍，∴（）2=3×（）2，∴AB=AC，∵S△ABC==AC2sinθ=400，∴AC2=，∴AB2=，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosθ=，∴BC=40．（2）設(shè)表演臺(tái)的造價(jià)為y萬元，則y=120，設(shè)f（θ）=（0＜θ＜π），則f′（θ）=，∴當(dāng)0時(shí)，f′（θ）＜0，當(dāng)時(shí)，f′（θ）＞0，∴f（θ）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，π）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)θ=時(shí)，f（θ）取得最小值f（）=1，∴y的最小值為120，即表演臺(tái)的最小造價(jià)為120萬元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三角形，函數(shù)最值計(jì)算，余弦定理，屬于中檔題．20.甲乙丙丁四個(gè)人做傳球練習(xí)，球首先由甲傳出，每個(gè)人得到球后都等概率地傳給其余三個(gè)人之一，設(shè)表示經(jīng)過n次傳遞后球回到甲手中的概率，求：

(1)之值

(2)(以n表示之)參考答案：【答案解析】(1)

(2)解析：(1)經(jīng)過一次傳球后，落在乙丙丁手中的概率分別為，而落在甲手中概率0，因此=0，兩次傳球后球落在甲手中的概率為=×+×+×＝(2)要想經(jīng)過n次傳球后球落在甲的手中，那么在n－1次傳球后球一定不在甲手中，所以＝(1－),n＝1,2,3,4,…,因此＝(1－)＝×＝,＝(1－)＝×＝,＝(1－)＝×＝,＝(1－)＝×＝,∵＝(1－)

∴－＝－(－)－＝(－)所以＝－.

略21.(12分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．參考答案：解：（1）由已知得，故由正弦定理得．由余弦定理得．因?yàn)椋裕?）由（1）知，由題設(shè)及正弦定理得，即，可得．由于，所以，故．

22.自駕游從地到地有甲乙兩條線路，甲線路是，乙線路是，其中段、段、段都是易堵車路段.假設(shè)這三條路段堵車與否相互獨(dú)立.這三條路段的堵車概率及平均堵車時(shí)間如表1所示.

CD段EF段GH段堵車概率平均堵車時(shí)間（單位：小時(shí)）21（表1）堵車時(shí)間（單位：小時(shí)）頻數(shù)86382424（表2）

經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，堵車概率在上變化，在上變化.在不堵車的情況下.走線路甲需汽油費(fèi)500元，走線路乙需汽油費(fèi)545元.而每堵