三角形等高模型 例題+鞏固+答案

#三角形的等高模型例題精講在實(shí)際問(wèn)題的研究中，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖S:S=a:bTOC\o"1-5"\h\z夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖S=S；△ACD△BCD反之，如果S=S，則可知直線AB平行于CD?△ACD△BCD等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比.【例題1】你有多少種方法將任意一個(gè)三角形分成：⑴3個(gè)面積相等的三角形；⑵4個(gè)面積相等的三角形;⑶6個(gè)面積相等的三角形．【解析】⑴如下圖，D、E是BC的三等分點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是對(duì)應(yīng)線段的中點(diǎn)，答案不唯一：⑵如下圖，答案不唯一，以下僅供參考：⑴⑵⑶⑷⑸⑶如下圖，答案不唯一，以下僅供參考：【例題2】如圖，BD長(zhǎng)12厘米，DC長(zhǎng)4厘米，B、C和D在同一條直線上.⑴求三角形ABC的面積是三角形ABD面積的多少倍？(2)求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍？DC

DC【解析】因?yàn)槿切蜛BD、三角形ABC和三角形ADC在分別以BD、BC和DC為底時(shí)，它們的高都是從A點(diǎn)向BC邊上所作的垂線，也就是說(shuō)三個(gè)三角形的高相等.于是：三角形ABD的面積=12高子2=6X高三角形ABC的面積=(12+4)X高十2=8X高三角形ADC的面積=4X高*2=2X高所以，三角形ABC的面積是三角形ABD面積的4/3倍；三角形ABD的面積是三角形ADC面積的3倍.【例題3】如右圖，ABFE和CDEF都是矩形，AB的長(zhǎng)是4厘米，BC的長(zhǎng)是3厘米，那么圖中陰影部分的面積是平方厘米.解析】圖中陰影部分的面積等于長(zhǎng)方形ABCD面積的一半，即4X3*2=6(平方厘米)..平方厘米.【鞏固1】如圖所示，平行四邊形的面積是50平方厘米，則陰影部分的面積是..平方厘米.解析】根據(jù)面積比例模型，可知圖中空白三角形面積等于平行四邊形面積的一半，所以陰影部分的面積也等于平行四邊形面積的一半，為50一2=25平方厘米.【鞏固2】如下圖，長(zhǎng)方形AFEB和長(zhǎng)方形FDCE拼成了長(zhǎng)方形ABCD,長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)是20,寬是12,則它內(nèi)部陰影部分的面積是.解析】根據(jù)面積比例模型可知陰影部分面積等于長(zhǎng)方形面積的一半為20X12*120.【例題4】如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積是56平方厘米，點(diǎn)E、F、G分別是長(zhǎng)方形ABCD邊上的中點(diǎn)，H為解析】本題是等底等高的兩個(gè)三角形面積相等的應(yīng)用連接BH、CH．???AE=EB,???S=S△AEH△BEH同理，S=S,S=S△BFH△CFH△CGH△DGH???S陰影=S-2=56m2=28（平方厘米）?長(zhǎng)ABCD【鞏固3】圖中的EFG分別是正方形ABCD三條邊的三等分點(diǎn)，如果正方形的邊長(zhǎng)是12,那么陰影部分的面積是.AEBFDGCAEAEBFDGCAEBHFDGC解析】把另外三個(gè)三等分點(diǎn)標(biāo)出之后，正方形的3個(gè)邊就都被分成了相等的三段．把H和這些分點(diǎn)以及正方形的頂點(diǎn)相連，把整個(gè)正方形分割成了9個(gè)形狀各不相同的三角形．這9個(gè)三角形的底邊分別是在正方形的3個(gè)邊上，它們的長(zhǎng)度都是正方形邊長(zhǎng)的三分之一．陰影部分被分割成了3個(gè)三角形，右邊三角形的面積和第1第2個(gè)三角形相等：中間三角形的面積和第3第4個(gè)三角形相等；左邊三角形的面積和第5個(gè)第6個(gè)三角形相等．因此這3個(gè)陰影三角形的面積分別是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部陰影的總面積就等于正方形面積的三分之一．正方形的面積是144，陰影部分的面積就是48．【例題5】長(zhǎng)方形ABCD的面積為36平方厘米，E、F、G為各邊中點(diǎn)，H為AD邊上任意一點(diǎn)，問(wèn)陰影部分面積是多少？BF可得：S=1S、AEHB2AAHB即S+S+SAEHBABHFADHG而s+S+SEGBF

【解析】尋找可利用的條件

連接BH、EGBF

【解析】尋找可利用的條件

連接BH、HC,如下圖:ADEGC1S=S、AFHB2ACHB=-：(S+s2AAHBACHB1S二一S，而S=S+S+S=36

ADHG2ADHCABCDAAHBACHBACHD+S)=x36=18；ACHD2=S+S，S=-xBExBF=-x(-xAB)x(-xBC)=-x36=4.5.AEHBABHFADHG陰影AEBFAEBF22228所以陰影部分的面積是：S=18-S=18-4.5=13.5陰影AEBF【鞏固4】在邊長(zhǎng)為6厘米的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P,將正方形的一組對(duì)邊二等分，另一組對(duì)邊三等分,分別與P點(diǎn)連接，△求陰影部分面積.【解析】連接PA、PC．由于APAD與APBC的面積之和等于正方形ABCD面積的一半，所以上、下兩個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形ABCD面積的1/4，同理可知左、右兩個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形ABCD面積的1/6,所以陰影部分的面積為6X6X(1/4+176)=15平方厘米.【例題6】如右圖，E在AD上,AD垂直BC,AD=12厘米，DE=3厘米.求三角形ABC的面積是三角形EBC面積的幾倍？【解析】因?yàn)锳D垂直于BC,所以當(dāng)BC為三角形ABC和三角形EBC的底時(shí),AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，于是：三角形ABC的面積=BCX12*2=BCX6三角形EBC的面積=BCX3十2=BCX1.5所以三角形ABC的面積是三角形EBC的面積的4倍.【鞏固5】如圖，在三角形ABC中，D是BC中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，連結(jié)BE、CE,那么與三角形ABE等積的三角形一共有哪幾個(gè)三角形？【解析】3個(gè)，AAEC、ABED、△DEC.【例題7】如圖，在平行四邊形ABCD中，EF平行AC,連結(jié)BE、AE、CF、BF那么與三角形BEC等積的三角形一共有哪幾個(gè)三角形？【解析］AAEC^AAFC^AABF.【鞏固6】如圖，在梯形ABCD中，共有八個(gè)三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾對(duì)?

【解析］△ABD與△ACD,AABC與厶DBC,AABO與ADCO.【例題8】如圖，三角形ABC的面積為1,其中AE=3AB,BD=2BC，三角形BDE的面積是多少?【解析】連接CE,???AE=3AB,???BE=2AB,SABCE=2SAACB又?.?BD=2BC,???S=2=4S=4.△BDE△BCE△ABC【鞏固7】如右圖，AD=DB,AE=EF=FC，已知陰影部分面積為5平方厘米，三角形ABC的面積是平方厘米.【解析】連接CD?根據(jù)題意可知，ADEF的面積為ADAC面積的1/3,△DAC的面積為AABC面積的1/2，所以ADEF的面積為AABC面積的1/2X1/3=1/6.而ADEF的面積為5平方厘米，所以AABC的面積為5三1/6=30（平方厘米）.【例題9】圖中三角形ABC的面積是180平方厘米，D是BC的中點(diǎn)，AD的長(zhǎng)是AE長(zhǎng)的3倍,EF的長(zhǎng)是BF長(zhǎng)的3倍.那么三角形AEF的面積是多少平方厘米？【解析】，△ABD,AABC等高，所以面積的比為底的比，有S:S=BD:BC=1:2,△ABD△ABC所以S△迪=S&c*2=180*2=90（平方厘米）.同理有△SD=90S=90X1/3=30（平方厘米）,S=30X3/4=22?5（平方厘米）.即三角形逓F的面積022.5平方厘米.△AEF【鞏固8】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，Y是BD的中點(diǎn)，Z是DY的中點(diǎn)，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面積.

CBCB【解析】???Y是BD的中點(diǎn)，Z是DY的中點(diǎn)，???ZY=1/2X1/2XDB,^C=^B^4,又TABCD是長(zhǎng)方形，???S=S-r4=1/4X1/2XS長(zhǎng)BCD=24（平方厘米）贊B△ZCY△DCB【例題10】如圖，三角形ABC的面積是24,D、E和F分別是BC、AC和AD的中點(diǎn).求三角形DEF的面積．【解析】三角形ADC的面積是三角形ABC面積的一半24*2=12,三角形ADE又是三角形ADC面積的一半12*2=6?三角形FED的面積是三角形ADE面積的一半，所以三角形FED的面積6*2=3.【鞏固9】如圖，在三角形ABC中，BC=8厘米，高是6厘米，E、F分別為AB和AC的中點(diǎn)，那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？BB【解析】JF是AC的中點(diǎn)???SAABC=2S△ABF同理S=2S△ABF△BEF???S=S*4=8X6*2*4=6（平方厘米）?△BEF△ABC【例題11】如圖ABCD是一個(gè)長(zhǎng)方形，點(diǎn)E、F和G分別是它們所在邊的中點(diǎn).如果長(zhǎng)方形的面積是36個(gè)平方單位，求三角形EFG的面積是多少個(gè)平方單位.【解析】如右圖分割后可得，S=S長(zhǎng)方形DEFG*2