概率論第一章1 1

S1

{H

,T

}.問題

隨機試驗的結果?定義

隨機試驗

E的所有可能結果組成的集合稱為

E

的樣本空間,

記為

S

.樣本空間的元素,即試驗E的每一個結果,稱為樣本點.實例1

拋擲一枚硬幣,觀察字面,花面出現(xiàn)的情況.H

字面朝上2、樣本空間

隨機事件T

花面朝上實例2

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).S2

{1,

2,

3,

4,

5,

6}.實例3

從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的情況.記

N

正品,

D

次品.則

S

3

{

NNN

,

NND

,

NDN

,

DNN

,NDD

,

DDN

,

DND

,

DDD

}.實例4

記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數(shù).S4

{0,

1,

2,

}.實例5

考察某地區(qū)

12月份的平均氣溫.S5

{t

T1

t

T2

}.其中t

為平均溫度.實例6

從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.S6

{t t

0}.其中t

為燈泡的壽命.實例7

記錄某城市120

急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數(shù).S7

{

0,

1,

2,

}.寫出下列隨機試驗的樣本空間.同時擲三顆骰子,記錄三顆骰子之和.生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù).答案S

{

3,

4,

5,

,

18

}.S

{10

,

11

,

12

,

}.課堂練習2.

同一試驗,若試驗目的不同,則對應的樣本空間也不同.例如 對于同一試驗:

“將一枚硬幣拋擲三次若”觀.察正面H、反面T出現(xiàn)的情況,則樣本空間為S

{

HHH

,

HHT

,

HTH

,

THH

,HTT

,

TTH

,

THT

,

TTT

}.若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù),則樣本空間為S

{

0,

1,

2,

3}.說明

1.

試驗不同,

對應的樣本空間也不同.說明3.

建立樣本空間,事實上就是建立隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型.因此,一個樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實際問題.例如 只包含兩個樣本點的樣本空間S

{H

,

T

}它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的模型,也可以作為產(chǎn)品檢驗中合格與不合格的模型,又能用于排隊現(xiàn)象中有人排隊與無人排隊的模型等.所以在具體問題的研究中,描述隨機現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間.隨機事件隨機試驗E的樣本空間S的子集稱為E

的隨機事件,簡稱事件.實例拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).試驗中,骰子“出現(xiàn)1點”,

“出現(xiàn)2點”,

…

,“出現(xiàn)6點”“點數(shù)不大于4”, “點數(shù)為偶數(shù)”

等都為隨機事件.基本事件

由一個樣本點組成的單點集.實例

“出現(xiàn)1點”, “出現(xiàn)2點”, …

,

“出現(xiàn)6點”.必然事件

隨機試驗中必然會出現(xiàn)的結果.實例

上述試驗中

“點數(shù)不大于6”

就是必然事件.不可能事件

隨機試驗中不可能出現(xiàn)的結果.實例

上述試驗中

“點數(shù)大于6”

就是不可能事件.必然事件的對立面是不可能事件,不可能事件的對立面是必然事件,它們互稱為對立事件.幾點說明(1)

隨機事件可簡稱為事件,并以大寫英文字母A,B,

C,

來表示事件例如 拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).可設

A

=

“點數(shù)不大于4”,B=“點數(shù)為奇數(shù)”等等.(2)

隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間,樣本空間的子集就是隨機事件.子集隨機試驗 樣本空間 隨機事件隨機事件

基本事件

復合事件

必然事件

不可能事件

互為對立事件設試驗

E

的樣本空間為

S

,

而

A,

B,

Ak

(k

1,2,

)是S

的子集.1.

包含關系

若事件

A

出現(xiàn),

必然導致

B

出現(xiàn)

,則稱事件B

包含事件A,記作B

A

或A

B.實例

“長度不合格”

必然導致

“產(chǎn)品不合格所”以“產(chǎn)品不合格”包含“長度不合格”.圖示B

包含A.SBA3、隨機事件間的關系及運算A等于B

若事件A

包含事件B，而且事件

B

包含事件A，則稱事件A

與事件B

相等，記作

A=B.事件A

與B

的并(和事件)事件A

B

{x

x

A

或x

B}稱為事件A

與事件B的和事件.實例

某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品不合格”是“長度并.不合格”與“直徑不合格”的圖示事件A

與B

的并.SBA

B

An推廣 稱

Ak

為n

個事件

A1

,

A2

,

,

An

的和事件;A

B

或AB.積事件也可記作稱

Ak

為可列個事件A1

,A2

,

的和事件.k

1

k

14.

事件A

與B

的交(積事件)事件

A

B

{

x x

A

且

x

B}稱為事件A

與事件

B

的積事件.實例

某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品合格”是“長度合格”與“直徑合格”的交或積事件.圖示事件A與B

的積事件.SBA

AB和事件與積事件的運算性質(zhì)A

A

A,

A

S

S

,A

A

A,

A

S

A,A

A,A

.n推廣 稱

Ak

為n個事件

A1

,

A2

,

,

An

的積事件;k

1

稱

Ak

為可列個事件A1

,A2

,

的積事件.k

15.

事件A

與B

互不相容(互斥)若事件A

的出現(xiàn)必然導致事件B不出現(xiàn),B出現(xiàn)也必然導致A不出現(xiàn),則稱事件A與B互不相容,即A

B

AB

.實例

拋擲一枚硬幣,“出現(xiàn)花面”

與

“出現(xiàn)字面”是互不相容的兩個事件.“骰子出現(xiàn)1點”

互斥

“骰子出現(xiàn)2點”圖示A

與B

互斥.SAB實例

拋擲一枚骰子,

觀察出現(xiàn)的點數(shù)

.6.

事件A

與B

的差由事件A

出現(xiàn)而事件B不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件A

與B

的差.記作A-B.SABSABA

BB

AA

B實例“長度合格但直徑不合格”是“長度合格”與圖示“直A徑與合B格的”差的.

差.B

A設A

表示“事件A

出現(xiàn)”,則“事件A

不出現(xiàn)”稱為事件A

的對立事件或逆事件.記作A.圖示A

與B

的對立.B

AS若A

與B

互逆,則有A

B

S

且AB

.A7.

事件A

的對立事件實例

“骰子出現(xiàn)1點”對立

“骰子不出現(xiàn)1點”對立事件與互斥事件的區(qū)別SABAB

A

SA、B

對立A、B

互斥A

B

S

且AB

AB

互

斥對

立事件間的運算規(guī)律設A,B,C

為事件,則有A

B

B

A,

AB

BA.(

A

B)

C

A

(B

C

),(

AB)C

A(BC

).(1)交換律(2)結合律分配律(

A

B)

C

(

A

C

)

(B

C

)

AC

BC

,(

A

B)

C

(

A

C

)

(B

C

)

(

A

C

)(B

C

).德

摩根律:

A

B

A

B,

A

B

A

B.例1

設A,B,C表示三個隨機事件,試將下列事件用A,B,C

表示出來.A

出現(xiàn),B,C

不出現(xiàn);A,B都出現(xiàn),C

不出現(xiàn);三個事件都出現(xiàn);三個事件至少有一個出現(xiàn);三個事件都不出現(xiàn);不多于一個事件出現(xiàn);(1)

ABC;(2)

ABC;ABC;A

B

C;A

B

C;(6)

ABC

ABC

ABC

ABC;ABC

ABC

ABC

ABC;(

A

B)C;(10)

ABC

ABC

ABC.或ABC;不多于兩個事件出現(xiàn);三個事件至少有兩個出現(xiàn);A,B

至少有一個出現(xiàn),C

不出現(xiàn);A,B,C

中恰好有兩個出現(xiàn).(7)

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC,(1)沒有一個是次品;(3)只有一個是次品;(2)至少有一個是次品;(4)至少有三個不是次品;(5)恰好有三個是次品; (6)至多有一個是次品.解(1)

A1

A2

A3

A4;例2

設一個工人生產(chǎn)了四個零件,Ai

表示他生產(chǎn)的第i

個零件是正品(i

1,2,3,4),試用Ai

表示下列各事件:A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

,或

A1

A2

A3

A4

;A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4;A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4;A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

;A1

A2

A3

A