平面向量基本定理【區(qū)一等獎(jiǎng)】

2．3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2．3.1平面向量基本定理第二章平面向量學(xué)習(xí)導(dǎo)航新知初探思維啟動(dòng)1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組_______不共線基底．想一想1.判斷兩個(gè)向量能否作為基底的關(guān)鍵是什么？提示：判斷兩個(gè)向量能否作為基底的關(guān)鍵是看它們是否共線，若共線，則不能作為基底，否則可以作為基底．2．兩向量的夾角與垂直非零向量∠AOB同向．反向．想一想2.零向量與任一非零向量的夾角有意義嗎？提示：由于零向量的方向不定(或任意)，零向量與任意非零向量的夾角沒有什么實(shí)際意義．做一做答案：60°典題例證技法歸納題型一對(duì)基底概念的理解題型探究例1

設(shè)e1，e2是不共線的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2.其中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是________(寫出滿足條件的序號(hào))．【答案】

③【名師點(diǎn)評(píng)】

兩個(gè)向量能否構(gòu)成基底，主要看兩向量是否為非零向量且不共線．此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以由這組基底唯一表示．跟蹤訓(xùn)練例2題型二用基底表示向量

已知e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，試用向量a和b表示c.【名師點(diǎn)評(píng)】

將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．題型三向量的夾角例3

已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是________，a－b與a的夾角是________．【答案】

30°

60°【名師點(diǎn)評(píng)】

兩向量夾角的實(shí)質(zhì)和求解(1)明確兩向量夾角的定義，實(shí)質(zhì)是從同一起點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)非零向量構(gòu)成的不大于平角的角，結(jié)合平面幾何知識(shí)加以解決．(2)求兩個(gè)向量的夾角關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，作出兩個(gè)向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出．跟蹤訓(xùn)練1．平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1、e2的線性組合λ1e1＋λ2e2.在具體求λ1、λ2時(shí)有兩種方法：一是直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理；二是利用待定系數(shù)法，即利用定理中λ1、λ2的唯一性列方程組求解．方法感悟2．在解具體問題時(shí)，要適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示，選擇了不共線的兩個(gè)向量e1、e2，平面上的任何一個(gè)向量a都可以用