第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題4不等式微點(diǎn)7Schur不等式與Schur分拆

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題4不等式微點(diǎn)7Schur不等式與Schur分拆第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題4

不等式微點(diǎn)7

Schur不等式與Schur分拆【微點(diǎn)綜述】齊次對(duì)稱不等式一直是數(shù)學(xué)競(jìng)賽的一個(gè)熱點(diǎn)，這類題的難度都很大，證明的方法也是多種多樣，很不好把握.本文介紹一種很好的方法——Schur不等式與Schur分拆法，這種方法是最近在對(duì)稱不等式研究方面取得的新進(jìn)展，這一方法將使競(jìng)賽選手甚至普通學(xué)生也可以輕易地掌握和運(yùn)用.【典例刨析】一、高等數(shù)學(xué)要點(diǎn)：定理1．Schur不等式：若，為實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)或的置換時(shí)，等號(hào)成立.證明：由對(duì)稱性可假定，令，，，其中，是非負(fù)實(shí)數(shù)，則左端.定理2．Schur不等式推廣：若，為非負(fù)實(shí)數(shù)，則（1）；（2）；（3）．證明：（1）成立.（2）由對(duì)稱性可假定，令，，，其中，是非負(fù)實(shí)數(shù)，則左端①分和討論可證明①.（3）同理可證.定理3．三元齊三次對(duì)稱多項(xiàng)式可以唯一的表示為，其中，，，并且當(dāng)時(shí)，先給出系數(shù)的簡(jiǎn)單確定方法：.定理4．三元齊四次對(duì)稱多項(xiàng)式可以唯一的表示為，其中，，，，并且當(dāng)時(shí)，．先給出系數(shù)的簡(jiǎn)單確定方法：.定理5．三元齊五次對(duì)稱多項(xiàng)式可以唯一的表示為，其中，，，，，并且當(dāng)時(shí)，．先給出系數(shù)的簡(jiǎn)單確定方法（為虛數(shù)單位）：.定理6．三元齊六次對(duì)稱多項(xiàng)式可以唯一的表示為，其中，，，，，，，并且當(dāng)時(shí)，．先給出系數(shù)的簡(jiǎn)單確定方法（為虛數(shù)單位）：由，將代入解得，由，將代入解得.二、典例刨析（第25屆IMO）1．已知是非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足.證明：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】將原不等式化為，根據(jù)舒爾不等式以及舒爾分拆，即可證明不等式.【詳解】證明：原不等式即，令，則，所以，設(shè)，則，，，，則原不等式得證.2．已知是正實(shí)數(shù)，且滿足.證明：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】令，則原不等式即，利用schur分拆即可證明.【詳解】證明：令，于是原不等式等價(jià)于，由schur分拆可知，所以，故原不等式得證.3．若a，b，c為正實(shí)數(shù)，且滿足．試證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】將所證不等式化為，結(jié)合柯西不等式求解即可.【詳解】證明：因，故欲證不等式等價(jià)于下述不等式．由柯西不等式得：．故．（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）故成立.（2005，中國(guó)西部奧林匹克）.4．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足．證明：【答案】證明見(jiàn)解析【分析】方法一：利用，,將原不等式轉(zhuǎn)化為等價(jià)形式，結(jié)合基本不等式即可證明.【詳解】證明：[方法一]：因?yàn)椋?所以原不等式等價(jià)于，即需證明,即證，即證，而，所以，即，從而原不等式成立.[方法二]：原不等式等價(jià)于（為了區(qū)別于系數(shù)字母，以下變量用），計(jì)算得，從而，，故.（1996，伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克）.5．設(shè)是正實(shí)數(shù)．證明：【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)舒爾不等式以及舒爾分拆的方法，即可證明不等式.【詳解】原不等式等價(jià)于，首先，計(jì)算，再計(jì)算，得方程組，解得，最后計(jì)算得方程組,解得，故，故原不等式得證.（第46屆IMO）6．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足．證明：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】原不等式等價(jià)于，再作代換等價(jià)于，利用舒爾分拆的方法即可證明不等式.【詳解】證明：注意到，故欲證原不等式，只需證，作代換，于是原不等式等價(jià)于，即證，首先，計(jì)算，再計(jì)算，得方程組，解得，最后計(jì)算得方程組，解得，故，即原不等式得證.7．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，．求證：的最小值為．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】將等價(jià)于轉(zhuǎn)化為，利用schur分拆即可證明結(jié)論.【詳解】證明：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，故，，，于是等價(jià)于，對(duì)作schur分拆得到,即的最小值為.【針對(duì)訓(xùn)練】（2000.）8．已知是正實(shí)數(shù)，且滿足.證明：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】令，則原不等式即，利用schur分拆即可證明.【詳解】證明：令，于是原不等式等價(jià)于，由schur分拆可知，所以，故原不等式得證.（2008.中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)測(cè)驗(yàn)題改編）9．若對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】2【分析】取，則，即，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，從而可得，再利用不等式和不等式證明對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立即可.【詳解】取，則，即，令，則，令，則，整理得，即，解得或，又，所以或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，又，所以，下面證明，即證對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，令，則，，不等式的等價(jià)形式）不等式），所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：取，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵.10．已知三邊長(zhǎng)，半周長(zhǎng)，求證：，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用schur不等式，當(dāng)時(shí)的情形即可證明不等式.【詳解】證明：即，根據(jù)schur不等式知，時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)r，均有：即，當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)即為正三角形時(shí),故原不等式得證．（《數(shù)學(xué)通報(bào)》問(wèn)題1830）11．，且，證明.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化即，利用Schur不等式等價(jià)形式，即可證明.【詳解】證明：等價(jià)于，即證，即證，將代入，（Schur不等式等價(jià)形式），原不等式得證，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).（《CruxMathematicorum》問(wèn)題改編）12．設(shè)為實(shí)常數(shù)，為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足，，求使不等式恒成立的的最大值.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】由題意可知，記，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，分類討論當(dāng)和時(shí)，分別求解，即得答案.【詳解】由題意可知，記，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值．猜側(cè)成立，即，等價(jià)于①，將代入，得②，又③，當(dāng)時(shí)，由②③得，也即是①成立，所以當(dāng)時(shí)