注冊電氣工程師基礎(chǔ)考試高等數(shù)學(xué)課件三

1.4無窮級數(shù)1.4.1數(shù)項級數(shù)1.4.2冪級數(shù)討論斂散性求收斂范圍，將函數(shù)展開為冪級數(shù)，求和。1.4.3傅立葉級數(shù)求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開，討論和函數(shù)的性質(zhì)。數(shù)項級數(shù)給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第n項叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前n項和稱為級數(shù)的部分和.次相加,簡記為收斂,則稱無窮級數(shù)并稱S為級數(shù)的和。1.數(shù)項級數(shù)定義2.基本性質(zhì)

性質(zhì)1.

若級數(shù)收斂于S,則各項乘以常數(shù)c所得級數(shù)也收斂,即其和為cS.性質(zhì)2.

設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.(1)性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項相加或減.(用反證法可證)性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級的和.推論:

若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注意:

收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.性質(zhì)5：設(shè)收斂級數(shù)則必有可見:

若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.等比級數(shù)

(又稱幾何級數(shù))(q稱為公比).級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散

.其和為3.幾個重要級數(shù)的收斂性調(diào)和級數(shù)發(fā)散(常數(shù)p>0)p-級數(shù)*例1.判斷級數(shù)的斂散性:解:該級數(shù)是下列兩級數(shù)之差故原級數(shù)收斂.(比營較審盞斂法勵)設(shè)且存乎在對一閉切有(1狠)難若強(qiáng)級數(shù)則弱級數(shù)(2升)燈若弱級數(shù)則強(qiáng)級數(shù)則有收斂綁,也收延斂違;發(fā)散杠,也發(fā)釋散畏.是兩基個正項雜級數(shù)堆,(常品數(shù)k>儲0細(xì)),4.殖審斂千法正項妻級數(shù)訓(xùn)：(比根較審骨斂法構(gòu)的極惕限形見式)則有兩個抹級數(shù)織同時桑收斂抽或發(fā)浸散姥;(2購)城當(dāng)l=0(3徒)招當(dāng)l=∞設(shè)兩含正項疾級數(shù)滿足(1濫)饞當(dāng)莫0剩<l<∞喂時趕,的斂戰(zhàn)散性雁.例3東.判別掀級數(shù)解:根據(jù)縫比較爛審斂頸法的謝極限去形式拜知～比值利審斂裝法艘(處D’未al偉em拜be筋rt對判刪別法粘)設(shè)為正刃項級匹數(shù),嘗且則(1嘴)邪當(dāng)(2洪)門當(dāng)時,柄級胃數(shù)收綱斂流;或時,喚級班數(shù)發(fā)恩散..根值濫審斂騰法輕(海Ca君uc后hy睬判別剛法)設(shè)為正摸項級數(shù)充,個且則因此摩級數(shù)收斂麥.解:交錯管級數(shù)則各免項符看號正個負(fù)相卵間的情級數(shù)稱為交錯無級數(shù).(阿Le包ib貫ni吐tz判別金法子)若交胃錯級憑數(shù)滿戲足條倒件:則級戚數(shù)收斂差。絕對探收斂品與條爬件收糞斂定義見:對任奸意項芬級數(shù)若若原殃級數(shù)酒收斂串,那但取頌絕對棍值以題后的咳級數(shù)雨發(fā)散侄,玩則稱最原級收斂掙,數(shù)絕對餃?zhǔn)諗繄?；則稱刊原級數(shù)條件贊收斂墳.絕對慈收斂劉的級喇?dāng)?shù)一航定收惑斂準(zhǔn).例5薄.證明互下列礙級數(shù)閱絕對氏收斂費:證:而收斂傭,收斂因此絕對史收斂似.判斷賓數(shù)項晶級數(shù)供斂散格的方濃法1、咽利用換已知效結(jié)論五：等驢比級朗數(shù)、避P-廈級數(shù)汪及級旁數(shù)性殊質(zhì)2、文利用吳必要慎條件歐：主冰要判元別發(fā)搜散3、冷求部今分和穿數(shù)列沉的極闊限4、志正項粒級數(shù)貴的審策斂法1）皺比值癢審斂蜜法（悠根值浙審斂仆法）2）映比較軋審斂宜法（撲或極巴限形虹式）5、踢交錯倒級數(shù)挨審斂革法：際萊布煎尼茲雅定理6、呀一般檔級數(shù)精審斂貴法：卻先判閃斷是圍否絕軌對收擠斂，吃如果扯絕對度收斂棟則一慌定收值斂；謎否則莫判斷跟是否訊條件滅收斂發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散1.延Ab紋el阻定理若冪睜級數(shù)則對設(shè)滿足關(guān)不等沙式的一灰切x冪級垃數(shù)都穩(wěn)絕對筍收斂會.反之憂,態(tài)若當(dāng)?shù)囊粊砬衳,糞該冪貧級數(shù)拉也發(fā)釋散百.時該郊冪級腸數(shù)發(fā)每散饒,則對摟滿足螞不等修式1.徐4.矛2阿冪宇級數(shù)*例被6.已知鈴冪級陵數(shù)在處收蜓斂，仆則該賀級數(shù)在處是彎收斂允還是頂發(fā)散聚？若么收斂麥，是領(lǐng)條件丟收斂還是墾絕對久收斂斥？解：由A馬be繡l定播理涌，該串冪級乘數(shù)在處絕毒對收午斂，故在絕對忽收斂口。例7剖.已知處條腿件收離斂判,勤問該梅級數(shù)瓶收斂半徑池是多復(fù)少編?答:根據(jù)階Ab或el緒定眼理可予知,卷級剝數(shù)在收斂便,時發(fā)捆散丸.故收沸斂半憲徑為若的系杯數(shù)滿纏足1)剝當(dāng)

≠0擱時跳,2)較當(dāng)

＝0爛時叼,3)血當(dāng)

＝∞隆時,則的收梯斂半范徑為2.甲求收襯斂半描徑對端居點x姓=－1,的收莫斂半詞徑及膚收斂咱域.解:對端樹點x刻=1,級數(shù)禁為交弦錯級唐數(shù)收斂寸;級數(shù)獨為發(fā)散陸.故收閥斂域畜為例8模..求冪嬌級數(shù)3.尸求函軟數(shù)的淋冪級僅數(shù)展逮開式1、爬對函宮數(shù)作蒼恒等猴變形淡（如菊果需柴要的酒話）2、怠利用強(qiáng)已知院結(jié)論桑，用焦變量筆代換王或求熱導(dǎo)積飲分得幅所求崖函數(shù)逼的冪施級數(shù)3、屬寫出反收斂器范圍饒(P駐34惰例1同-3創(chuàng)7)1.管求傅墓立葉謹(jǐn)級數(shù)畏展開頃式2.黑求某僵個傅鄙立葉敗系數(shù)3.旱求和夢函數(shù)筐在某耍些點御的值1.憶4.貸3賴傅濾立葉擴(kuò)級數(shù)決的有身關(guān)問不題例9全.設(shè)f(x)限是周事期為填2

四的周職期函倡數(shù)白,扇它在上的他表達(dá)撐式為(3記)將f(x)值展成攪傅里葉級勸數(shù).解:(3宜)先求槽傅里葉系登數(shù)1.汁5厲微測分方司程1.既5.無1察微面分方膏程的僅基本邁概念1.熟5.悉2萌解斬微分驢方程1.串5.丸3養(yǎng)微航分方味程應(yīng)匹用1.錦5.少1軌微分板方程樸的基炕本概浪念一階番微分效方程二階脹微分宋方程1.洗判疾定微群分方迫程的吧階2.憑判夕定函尺數(shù)是智否微尼分方菊程的保解，搏通解墻或特各解例1案.驗證寇函數(shù)是微俗分方費程的解永.解:是方稀程的宏解幅.1.宴5.秩2譽(yù)解甜微分測方程1.沸一繳階微績分方漲程可分稅離變籍量，墨一階嘆線性2.礙高窮階微濾分方影程二階條線性呼常系奪數(shù)齊甜次，殊二階幕線性遇常系為數(shù)非途齊次帆只要釣求寫旱出特?fù)芙庑蔚淌健?例視2.求微側(cè)分方附程的通瘦解.解:分離覽變量拜得兩邊哪積分得即(C為任褲意常劈燕數(shù)乎)因此炒可能大增、減解襯.解*例錦3.利用逼一階偵線性吧方程住的通膏解公液式得搶：例4呆.曲線蒜族所滿桐足的詞一階結(jié)微分逝方程編是_劉__予_.解:對兩邊調(diào)求導(dǎo)襲，得即為業(yè)所求熔一階區(qū)微分謠方程特征星方程興:實根特征根通解二階帆線性傭常系吊數(shù)齊注次微魂分方叨程求盼解例5歇.的通禁解.解:特征坡方程特征套根:因此著原方英程的吉通解吧為例6稍.求解化初值巧問題解:特征暑方程有重柴根因此崗原方散程的枯通解妹為利用黨初始后條件拿得于是鹽所求浴初值鴉問題醋的解陸為*例釣7.的通忘解.解:特征叉方程特征廉根:因此辯原方渣程通述解為例8梨.解：酷因是一劫個特男解，割所以是特紛征方程瘋的重姥根，踢故特到征方淘程為俯：所對刑應(yīng)微光分方汁程為(2栽)乞若

以是特采征方攜程的單根特解顏形式要為(3減)殖若

是特刮征方志程的重根特解弟形式陽為(1配)斜若

述不是驚特征絨方程送的根特解休形式類為的特診解形眾式.解:本題而特謀征方腿程為不是椒特征午方程把的根兆.特解綁形式毅為例9泛.例1雀0.的特脅解形勉式.解:本題而特李征方摟程為其根店為特解克形式姨為1.勻5.找3鹿微謀分方戴程應(yīng)作用1.括利露用導(dǎo)紫數(shù)幾旺何意看義列芹方程2.蟲利里用導(dǎo)嘆數(shù)物制理意胖義列膛方程3.層利厚用牛乞頓第涂二定姜律求所開滿足敢的微撓分方豬程械.*例避11顫.已知蝕曲線擱上點P(x,y)素處的炸法線亮與x軸交渡點為Q解:如圖膝所示四,令Y=是0遼,擠得Q點的趕橫坐旗標(biāo)即點P(x,y)抹處的祥法線蹤蝶方程牽為且線機(jī)段PQ被y軸平妄分,例1乳2.成正選比,求解:根據(jù)杠牛頓席第二