函數(shù)與幾何綜合題的解題方法

函數(shù)與幾何綜合題的解題方法函數(shù)與幾何綜合題主要有兩類,一類是幾何元素間的函數(shù)關系問題,簡稱“幾函”問題，其特點是根據(jù)已知幾何圖形間的位置和數(shù)量關系（如平行、全等、相似，特別是成比例）建立自變量與函數(shù)所表示的幾何元素間的等量關系，求出函數(shù)關系式，運用函數(shù)的性質去解決幾何圖形中的問題。另一類是函數(shù)圖像中的幾何圖形的問題，簡稱“函幾”問題，其特點是根據(jù)已知函數(shù)圖像中的幾何圖形的位置特征，運用數(shù)形結合方法解決有關函數(shù)、幾何問題。下面，筆者就上述兩類典型試題為例，談談函數(shù)與幾何綜合題的解題策略。一、綜合使用分析法和綜合法就是從條件與結論出就是從條件與結論出發(fā)進行聯(lián)想、推理，“由已知得可知”，“從要求到需求”，通過對問題的“兩邊夾擊”，使它們在中間的某個環(huán)節(jié)上產(chǎn)生聯(lián)系，從而使問題得以解決。如本文例5中的第（2）、（3）問的解答就使用了此種方法?！纠?】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的頂點在直線y=-4x上，并且圖象經(jīng)過點A（-1，0）。（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）設此二次函數(shù)與x軸的另一個交點為B，與y軸的交點為C，求經(jīng)過M、B、C三點的⊙O′的直徑長；（3）設⊙O′與y軸的另一個交點為N，經(jīng)過P（-2，0）、N兩點的直線為l則圓心O′是否在直線l上，請說明理由請說明理由。二、運用方程的思想就是尋找要解決的問題中量與量之間的等量關系，建立已知量與未知量間的方程，通過解方程從而使問題得到解決；在運用這種思想時，要注意充分挖掘問題的的隱藏條件，尋找等量關系建立方程或方程組；如本文例2中的第（2）個問題的解決就用到了此種思想?！纠?】如圖所示，已知A、B兩點的坐標分別為（28，0）和（0，28），動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個單位長度的速度向原點O運動，動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平移（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于E、F點，連結FP，設動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒。（1）當t=1時，求梯形OPFE的面積。t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？（2）當梯形OPFE的面積等于三角形APF的面積時，求線段PF的長。（3）設t的值分別取t1、t2時，（t1≠t2），所對應的三角形分別是ΔAF1P1和ΔAF2P2，試判斷這兩個三角形是否相似；請證明你的判斷。 三、注意使用分類討論的思想函數(shù)與幾何結合的綜合題中往往注意考查學生的分類討論的數(shù)學思想，因此在解決這類問題時，一定要多一個心眼兒，多從側面進行縝密地思考，用分類討論的思想探討出現(xiàn)結論的一切可能性，從而使問題的解答完整無遺。如本文例3中的第（2）、（3）問，要從直角的頂點的位置、矩形的第四個頂點的位置進行討論，例3第（2）問中，求面積S與x間的函數(shù)關系式時，也要分直線l在點C的左邊和右邊兩種情況來討論，千萬不能一蹴而就?！纠?】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線的頂點M的坐標；（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q，當點N在線段BM上運動時（點N不與點B、點M重合），設NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍；（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使ΔPAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（4）將ΔOAC補成矩形，使ΔOAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知頂點的坐標（不需要計算過程）。四、運用數(shù)形結合的思想在中學數(shù)學中，“數(shù)”與“形”不是孤立的，它們的辯證統(tǒng)一表現(xiàn)在：“數(shù)”可以準確地澄清“形”的模糊，而“形”能直觀地啟迪“數(shù)”的計算；使用數(shù)形結合的思想來解決問題時，要時刻注意由圖形聯(lián)想其性質，由性質聯(lián)想相應的圖形，從而使問題得以簡化；如本文中的例4，在解決y與x間的函數(shù)關系時，首先根據(jù)圖形的性質，建立起線段間的關系式，然后再利用線段間的關系，建立y與x間的函數(shù)關系；在求自變量x的取值范圍時，把自變量所對應的幾何元素推到兩個極端的位置，求出相應的值，再結合幾何量的實際意義和題目中的已知條件加以確定?！纠?】如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，AB＝6，延長BA到F，使FA＝AB，若P為線段AF上的一個動點（不與A重合），過P點作半圓的切線，切點為C，過B點作BE⊥PC交PC的延長線于E．設AC＝x，AC＋BE＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關系兩個三角形是否相似；請證明你的判斷。 （二）函數(shù)圖像中的幾何圖形的問題1．三類基本初等函數(shù)中的圖形面積問題解決這類問題時，通常要將坐標系中的圖形進行分割，一般情況是將它分割成一些兩邊（或三邊）在坐標軸上或者兩邊（或三邊）平行于坐標軸的三角形（或梯形、矩形）等；同時要注意點到坐標軸的距離與點的坐標間的區(qū)別，正確利用點的坐標來表示線段的長度?！纠?】如圖，直線OC、BC的函數(shù)關系式分別為y=x和y=﹣2x+6，動點P（x，0）在OB上移動（0＜x＜3），過點P作直線l與x軸垂直．（1）求點C的坐標；（2）設△OBC中位于直線l左側部分的面積為s，寫出s與x之間的函數(shù)關系式；（3）在直角坐標系中畫出（2）中函數(shù)的圖象；（4）當x為何值時，直線l平分△OBC的面積？2、三類基本初等函數(shù)中的三角形、四邊形、圓的問題：這類題目一般由1~3問組成，第一問往往是求函數(shù)的解析式，然后在此基礎上再與幾何中的三角形（全等、相似或特殊三角形是否存在等問題）四邊形（面積的函數(shù)關系式、特殊四邊形是否存在）和圓（直線與圓的位置關系的判斷、圓中的比例式是否成立）結合起來，利用初中的主干知識全面考查學生綜合運用所學知識解決問題的能力；解決這類綜合性問題時要注意以下幾個問題：【例4】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線的頂點M的坐標；（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q，當點N在線段BM上運動時（點N不與點B、點M重合），設NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍；（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使ΔPAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（4）將ΔOAC補成矩形，使ΔOAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知頂點的坐標（不需要計算過程）。【例5】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的頂點在直線y=-4x上，并且圖象經(jīng)過點A（-1，0）。（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）設此二次函數(shù)與x軸的另一個交點為B，與y軸的交點為C，求經(jīng)過M、B、C三點的⊙O′的直徑長；（3）設⊙O′與y軸的另一個交點為N，經(jīng)過P（-2，0）、N兩點的直線為l則圓心O′是否在直線l上，請說明理由請說明理由。函數(shù)與幾何綜合題的解題策略：1、綜合使用分析法和綜合法。就是從條件與結論出就是從條件與結論出發(fā)進行聯(lián)想、推理，“由已知得可知”，“從要求到需求”，通過對問題的“兩邊夾擊”，使它們在中間的某個環(huán)節(jié)上產(chǎn)生聯(lián)系，從而使問題得以解決。如本文例5中的第（2）、（3）問的解答就使用了此種方法；2、運用方程的思想。就是尋找要解決的問題中量與量之間的等量關系，建立已知量與未知量間的方程，通過解方程從而使問題得到解決；在運用這種思想時，要注意充分挖掘問題的的隱藏條件，尋找等量關系建立方程或方程組；如本文例2中的第（2）個問題的解決就用到了此種思想；3、注意使用分類討論的思想。函數(shù)與幾何結合的綜合題中往往注意考查學生的分類討論的數(shù)學思想，因此在解決這類問題時，一定要多一個心眼兒，多從側面進行縝密地思考，用分類討論的思想探討出現(xiàn)結論的一切可能性，從而使問題的解答完整無遺。如本文例4中的第（2）、（3）問，要從直角的頂點的位置、矩形的第四個頂點的位置進行討論，例3第（2）問中，求面積S與x間的函數(shù)關系式時，也要分直線l在點C的左邊和右邊兩種情況來討論，千萬不能一蹴而就；4、運用數(shù)形結合的思想。在中學數(shù)學中，“數(shù)”與“形”不是孤立的，它們的辯證統(tǒng)一表現(xiàn)在：“數(shù)”可以準確地澄清“形”的模糊，而“形”能直觀地啟迪“數(shù)”的計算；使用數(shù)形結合的思想來解決問題時，要時刻注意由圖形聯(lián)想其性質，由性質聯(lián)想相應的圖形，從而使問題得以簡化；如本文中的例1，在解決y與x間的函數(shù)關系時，首先根據(jù)圖形的性質，建立起線段間的關系式，然后再利用線段間的關系，建立y與x間的函數(shù)關系；在求自變量x的取值范圍時，把自變量所對應的幾何元素推到兩個極端的位置，求出相應的值，再結合幾何量的實際意義和題目中的已知條件加以確定；5、運