2021屆北京西城高三一模數(shù)學(xué)含答案

2021屆北京西城高三一模數(shù)學(xué)含答案北京市西城區(qū)2021屆高三一模數(shù)學(xué)試卷本試卷共6頁，共150分，考試時長120分鐘。考生務(wù)必將答案寫在答題卡上，試卷上作答無效。第一部分選擇題（共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1.已知集合A={x|x≥1}，B={-1,1,2}，則A∩B=（B）{1,2}。2.已知復(fù)數(shù)z滿足z-z=2i，則z的虛部是（C）-i。3.在(x-1/6)2的展開式中，常數(shù)項為（A）15。4.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（C）16。5.已知函數(shù)f(x)=(8+2x2)/log?x，則不等式f(x)>0的解集是（D）（,2）。6.在△ABC中，C=90°，AC=4，BC=3，點P是4B的中點，則CB·CP=（B）4。7.在△ABC中，C=60°，a+2b=8，sinA=6sinB，則c=（D）5。8.拋物線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸。該性質(zhì)在實際生產(chǎn)中應(yīng)用非常廣泛。如圖，從拋物線y2=4x的焦點F發(fā)出的兩條光線a、b分別經(jīng)拋物線上的A、B兩點反射，已知兩條入射光線與x軸所成銳角均為60°，則兩條反射光線a'和b'之間的距離為（B）8/3。9.在無窮等差數(shù)列{an}中，記Tn=a1-a2+a3-a4+...+(-1)??1an（n=1,2,…），則“存在m∈N*，使得Tm<Tm+2”是“{an}為遞增數(shù)列”的（C）充分必要條件。10.若非空實數(shù)集X中存在最大元素M和最小元素m，則記△(X)=M-m。下列命題中正確的是（A）已知X={-1,1}，Y={0,b}，且△(X)=△(Y)，則b=2。已知函數(shù)$f(x)=A\sin(\omegax+\phi)(A>0,\omega>0,\phi<\frac{\pi}{2})$，且$f(x)$圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{\pi}{2}$，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件。（I）確定$f(x)$的解析式：由于$f(x)$的相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{\pi}{2}$，所以$\frac{2\pi}{\omega}=\frac{\pi}{2}$，解得$\omega=4$。又因為$f(x)$的相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{\pi}{2}$，所以$A=2$。根據(jù)條件②，可得$\omega\cdot\frac{5\pi}{4}+\phi=\frac{\pi}{2}$，解得$\phi=-\frac{3\pi}{8}$。因此，$f(x)=2\sin(4x-\frac{3\pi}{8})$。（II）若$f(x)$圖象的對稱軸只有一條落在區(qū)間$[0,a]$上，求$a$的取值范圍。設(shè)$f(x)$圖象的對稱軸為$x=b$，則$b$需滿足$0<b<a$。由于$f(x)$的相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{\pi}{2}$，所以$b$需滿足$\frac{\pi}{4}<b<\frac{3\pi}{4}$。因此，$a$的取值范圍為$(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4})$。（18）（本小題14分）天文學(xué)上用基等表示星體亮度，星等的數(shù)值越小、星體越亮。視星等是指觀測者用肉眼所看到的星體亮度；絕對星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年的地方測得的恒星的亮度，反映恒星的真實發(fā)光本領(lǐng)。下表列出了（除太陽外）視星等數(shù)值最小的10顆最充恒星的相關(guān)數(shù)據(jù)，其中$a\in[0,1.3]$星名視星等絕對星等赤緯天狼星-1.471.4238.8°老人星0.0810.38-6.98°南門二0.12.67-8.2°大角星0.465.2-2.78°織女一0.1219.2-5.85°五車二0.38-16.7-57.2°參宿七2.67-52.77.4°南河三4.4-60.8-16.7°水委一5.219.2-52.7°參宿四*7.40.619.2°（I）從表中隨機(jī)選擇顆恒星，求它的絕對星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值的概率；設(shè)隨機(jī)選擇的恒星為$X$，則所求概率為$P\{X\text{的絕對星等}<X\text{的視星等}\}$。根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，只有天狼星滿足條件，即$P=\frac{1}{10}$。（II）已知北京的緯度是北緯40°，當(dāng)且僅當(dāng)一顆恒星的“赤緯”數(shù)值大于$-50°$時，能在北京的夜空中看到它，現(xiàn)從這10顆恒星中隨機(jī)選擇4顆，記其中能在北京的夜空中看到的數(shù)量為$X$顆，求$X$的分布列和數(shù)學(xué)期望；首先，滿足條件的恒星有天狼星、老人星、南門二、大角星、織女一、五車二、參宿七共7顆。從7顆恒星中隨機(jī)選擇4顆，共有$C_7^4=35$種情況。設(shè)隨機(jī)選擇的4顆恒星為$X_1,X_2,X_3,X_4$，則$X$的分布列為：$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hlineX&0&1&2&3&4\\\hlineP&\frac{20}{35}&\frac{12}{35}&\frac{3}{35}&0&0\\\hline\end{array}$$其中，$P\{X=0\}=\frac{C_3^4}{C_7^4}=\frac{20}{35}$，$P\{X=1\}=\frac{C_1^1\cdotC_3^3}{C_7^4}=\frac{12}{35}$，$P\{X=2\}=\frac{C_2^2\cdotC_3^2}{C_7^4}=\frac{3}{35}$，$P\{X=3\}=P\{X=4\}=0$。根據(jù)期望的定義，$X$的數(shù)學(xué)期望為：$$E(X)=0\cdotP\{X=0\}+1\cdotP\{X=1\}+2\cdotP\{X=2\}=0.5143$$（III）記$a=0$時10顆恒星的視星等的方差為$s_1$，記$a=1.3$時10顆恒星的視星等的方差為$s_2$，判斷$s_1$與$s_2$之間的大小關(guān)系。（結(jié)論不需要證明）由于$a\in[0,1.3]$，所以$s_1$和$s_2$都是$a$的函數(shù)。由于$a=0$時，$f(x)=0$，所以10顆恒星的視星等均為$0$，即$s_1=0$。當(dāng)$a=1.3$時，$f(x)=2\sin(5.2x)$，所以10顆恒星的視星等的方差為：$$s_2=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}(2\sin(5.2x_i)-0)^2\approx1.274$$因此，$s_1<s_2$。x2y23=1（a>0）的橢圓C的焦點在x軸上，經(jīng)過點E（1，0），已知橢圓C的左頂點為D，右焦點為F，且方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1。（I）由焦點在x軸上可知，b^2=a^2-1，進(jìn)而求得離心率為e=c/a=sqrt(a^2-b^2)/a=1/sqrt(a^2-1)。由D和F的坐標(biāo)可知c=sqrt(a^2-b^2)=a，故e=1/a。設(shè)△DEF的三個頂點分別為D、E、F，由橢圓的性質(zhì)可知，△DEF的面積為S=2a。（II）將直線y=kx+1代入橢圓方程，得x^2/a^2+(kx+1)^2/b^2=1，化簡得(k^2/a^2+1/b^2)x^2+2k/a^2x+1/b^2-1=0。由于直線與橢圓有兩個交點，故判別式大于等于0，即(2k/a)^2-4(k^2/a^2+1/b^2)(1/b^2-1)>=0，化簡得k^2(a^2-4)+4a^2-4b^2>=0。由于a>0，故a^2-4<0，即a<2。又因為b^2=a^2-1>0，故a>1。綜上可得1<a<2。設(shè)直線y=t與AG的交點為H，則GH垂直于直線y=t，且GH/AF=AG/AD=e=1/a。設(shè)G的坐標(biāo)為(x,y)，則GH的斜率為-(1/t)，故GH的方程為y-2=-x/t。由于GH/AF=e，故GH的長度為a/e，即sqrt((x-1)^2+y^2)=a/e。聯(lián)立兩式，解得x=(a^2-1)/(t^2+1)，y=2a/(t^2+1)。若存在常數(shù)t，使得直線AG經(jīng)過y軸上的定點，則x=0，即a^2-1=0，與1<a<2矛盾。故不存在這樣的t。n·AE=0,2y+z=0，即x=-y，z=-2y，令y=-1，則x=1，z=2，于是n=(1,-1,2)。設(shè)直線AD與平面ACE所成角為θ，則sinθ=|cos<AD,n>|=|AD·n|/|AD|·|n|=6/6=1。所以直線AD與平面ACE所成角的正弦值為1。解：（Ⅰ）由于函數(shù)f(x)圖像上兩相鄰對稱軸之間的距離為π/2，所以f(x)的最小正周期T=2π/2=π，ω=2π/T=2。此時f(x)=Asin(2x+φ)。選條件①②：因為f(x)的最小值為-A，所以A=2。因為f(x)圖像的一個對稱中心為(5π/12,0)，所以2·5π/12+φ=kπ(k∈Z)，所以φ=kπ-5π/6(k∈Z)。因為φ<π/2，所以φ=π/6，此時k=1。所以f(x)=2sin(2x+π/6)。選條件①③：因為f(x)的最小值為-A，所以A=2。因為函數(shù)f(x)的圖像過點(5π/6,-1)，則f(5π/6)=-1，即2sin(5π/3+φ)=-1，sin(π/3+φ)=-1/2。因為φ<π/2，所以7π/6<π/3+φ<5π/3，所以φ+5π/11=π/2，φ=π/6。所以f(x)=2sin(2x+π/6)。選條件②③：因為函數(shù)f(x)的一個對稱中心為(5π/12,0)，所以2·5π/12+φ=kπ(k∈Z)，所以φ=kπ-5π/6(k∈Z)。因為φ<π/2，所以φ=π/6，此時k=1。所以f(x)=Asin(2x+π/6)。因為函數(shù)f(x)的圖像過點(5π/6,-1)，所以f(5π/6)=-1，即Asin(5π/3+φ)=-1，Asin6=-1，所以A=2。所以f(x)=2sin(2x+π/6)。(Ⅱ)因為$x\in[0,a]$，所以$2x\in[0,2a]$，又因為$f(x)$圖像的對稱軸只有一條落在區(qū)間$[0,a]$上，所以$f(x)$的最大值$\leq2a$。得到$a$的取值范圍為$\frac{\pi}{6}<a<\frac{2\pi}{3}$。(18)設(shè)一顆星的絕對星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值為事件$A$。由圖表可知，10顆恒星中有5顆恒星絕對星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值。所以$P(A)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。由圖表知，有7顆恒星的赤緯數(shù)值大于$-50$，有3顆恒星的赤緯數(shù)值小于$-50$。所以隨機(jī)變量$X$的所有可能取值為$1,2,3,4$。根據(jù)組合數(shù)學(xué)公式，$P(X=1)=P(X=2)=\frac{7}{44}$，$P(X=3)=\frac{14}{330}$，$P(X=4)=\frac{1}{165}$。所以隨機(jī)變量$X$的分布列為：$$\begin{array}{c|cccc}X&1&2&3&4\\\hlineP&\frac{7}{44}&\frac{7}{44}&\frac{14}{330}&\frac{1}{165}\end{array}$$所以$E(X)=1\times\frac{7}{44}+2\times\frac{7}{44}+3\times\frac{14}{330}+4\times\frac{1}{165}=\frac{14}{3}$。(Ⅲ)當(dāng)$a=1$時，$f(x)=e^x(x-1)$，所以$f'(x)=e^x(x-1)+e^x=xe^x$。所以$f(1)=-e$，$f'(1)=e$，曲線$y=f(x)$在點$(1,f(1))$處的切線方程為$y=-e$。由$f(x)=e^x(\lnx-a)$，得$f'(x)=e^x(\lnx+1-a)$。令$h(x)=\lnx+1-a$，則$h'(x)=\frac{1}{x}$。當(dāng)$0<x<1$時，$h'(x)<0$，當(dāng)$x>1$時，$h'(x)>0$，所以$h(x)$在區(qū)間$(0,1)$上是減函數(shù)，在區(qū)間$(1,+\infty)$上是增函數(shù)。所以$h(x)$的最小值為$h(1)=1-a$。當(dāng)$a>1$時，$h(1)=1-a<0$，$h(e^a)=e^a-a>0$，又$h(x)$在$(1,+\infty)$單調(diào)遞增，所以$h(x)$在$(1,+\infty)$上恒大于$0$，即$1-a<0$，解得$a>1$。，y2)，則直線AG的斜率為k，代入直線AG的方程可得：y2kx233，即kx2y50.因為直線AG經(jīng)過點(0,2)，所以有：250，即y50，解得y5.代入直線AG的方程可得：kx220，即kx22.因為k0，所以x20，解得k為實數(shù)，即存在實數(shù)t3，使得直線AG經(jīng)過y軸上定點(0,2).綜上所述，直線AG經(jīng)過y軸上定點(0,2)。第一段：將直線AG的方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)形式：$y=-\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}-\frac{1