人教版高中數(shù)學(xué)必修四常見公式及知識點(diǎn)總結(jié)(完整版)

人教版高中數(shù)學(xué)必修四常見公式及知識點(diǎn)總結(jié)(完整版)必修四?？脊郊案哳l考點(diǎn)第一部分三角函數(shù)與三角恒等變換考點(diǎn)一：角的表示方法1.終邊相同角的表示方法：所有終邊相同于角α的角，連同角α在內(nèi)可以構(gòu)成一個集合：{β|β=k·360°+α,k∈Z}2.象限角的表示方法：第一象限角的集合為{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角的集合為{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角的集合為{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角的集合為{α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z}3.終邊在某條射線、某條直線或兩條垂直的直線上（如軸線角）的表示方法：（1）若所求角β的終邊在某條射線上，其集合表示形式為{β|β=k·360°+α,k∈Z}，其中α為射線與x軸非負(fù)半軸形成的夾角（2）若所求角β的終邊在某條直線上，其集合表示形式為{β|β=k·180°+α,k∈Z}，其中α為直線與x軸非負(fù)半軸形成的任一夾角（3）若所求角β的終邊在兩條垂直的直線上，其集合表示形式為{β|β=k·90°+α,k∈Z}，其中α為直線與x軸非負(fù)半軸形成的任一夾角例：終邊在y軸非正半軸上的角的集合為{α|α=k·360°+270°,k∈Z}終邊在第二、第四象限角平分線上的集合為{α|α=k·180°+135°,k∈Z}終邊在四個象限角平分線上的角的集合為{α|α=k·90°+45°,k∈Z}易錯提醒：區(qū)別銳角、小于90度的角、第一象限角、小于180度的角考點(diǎn)二：弧度制有關(guān)概念與公式1.弧度制與角度制互化180°=π，1°=π/180≈0.01745弧度，1弧度=180/π≈57.3°2.扇形的弧長和面積公式（分別用角度制、弧度制表示方法）弧長公式：l=nπRα/180，其中α為弧所對圓心角的弧度數(shù)弧面積公式：S=1/2R2|α|，其中α為弧所對圓心角的弧度數(shù)扇形面積公式：S=1/2R2α，其中α為弧所對圓心角的弧度數(shù)易錯提醒：利用S=R2|α|求解扇形面積公式時，α為弧所對圓心角的弧度數(shù)，不可用角度數(shù)弧長公式：l=2Rsin(α/2)，弧面積公式：S=(1/2)R2(α-sinα)規(guī)律總結(jié)：“扇形周長、面積、半徑、圓心角”4個量，“知二求二”，注意公式選取技巧考點(diǎn)三：任意角的三角函數(shù)1.任意角的三角函數(shù)定義對于任意角α，其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函數(shù)分別定義為：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x，cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y其中，r為角α所在的單位圓半徑，x、y分別為角α所在的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)2.任意角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）sin2α+cos2α=1（2）1+tan2α=sec2α（3）1+cot2α=csc2α3.任意角的三角函數(shù)的周期性正弦、余弦、正割、余割函數(shù)的周期為2π正切、余切函數(shù)的周期為π易錯提醒：注意任意角的三角函數(shù)的定義和基本關(guān)系式，掌握其周期性設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，則根據(jù)三角函數(shù)定義，sinα=y，cosα=x，tanα=y/x（其中r=|OP|=√(x^2+y^2)）。三角函數(shù)值符號有一定的規(guī)律，可以利用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口訣記憶象限角或軸線角的三角函數(shù)值符號。特殊角的三角函數(shù)值需要記憶，如SIN15o和COS15o的值可以用SIN60o和COS45o、SIN45o和COS60o表示，分別為(√6-√2)/4和(√6+√2)/4。三角函數(shù)的線可以通過終邊在單位圓上的點(diǎn)P和對應(yīng)的正弦、余弦、正切線來表示。根據(jù)經(jīng)典結(jié)論，若x∈(0,π/2)，則sinx<x<tanx；若x∈(0,π/2)，則1<sinx+cosx≤2；|sinx|+|cosx|≥1。三角函數(shù)的圖像、定義域、值域、最值、周期性、奇偶性、單調(diào)性、對稱性等都有特定的性質(zhì)，需加以記憶和掌握。對稱軸x=kπ(k∈Z)是關(guān)于y軸對稱的，沒有對稱軸的函數(shù)考點(diǎn)是正弦型(y=Asin(ωx+φ))、余弦型(y=Acos(ωx+φ))和正切型(y=Atan(ωx+φ))。解析式確定方法是通過字母A、B、ω、φ的最值或特殊點(diǎn)來確定。A和B可以通過最大值和最小值來求得，即A=(最大值-最小值)/2，B=(最大值+最小值)/2。特殊點(diǎn)包括最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和零點(diǎn)，相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為半個周期，最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)差的絕對值為0.25個周期。φ可以通過代入特殊點(diǎn)的坐標(biāo)來求解，ω可以通過函數(shù)的周期來確定?！耙粓D、兩域、四性”是三角函數(shù)的重要性質(zhì)。其中“一圖”指的是圖像，是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵。而“兩域”包括定義域和值域。定義域可以通過解簡單的三角不等式來求解，值域可以通過直接法、化一法或換元法來確定。最后，“四性”指的是周期性、奇偶性、單調(diào)性和對稱性，這些性質(zhì)可以通過圖像來判斷。1.單調(diào)性對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)，其圖像的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ-<ωx+φ<2kπ＋，其中k∈Z。單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ+<ωx+φ<2kπ＋1.5π，其中k∈Z。對于函數(shù)y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)，其圖像的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ+π<ωx+φ<2kπ＋2π，其中k∈Z。單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ<ωx+φ<2kπ＋π，其中k∈Z。對于函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)，其圖像的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-<ωx+φ<kπ＋，其中k∈Z。注意處理負(fù)數(shù)情況。2.對稱性對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，其圖像的對稱軸為ωx+φ=kπ＋(k∈Z)，對稱中心的橫坐標(biāo)為ωx+φ=kπ(k∈Z)。對于函數(shù)y=Acos(ωx+φ)，其圖像的對稱軸為ωx+φ=kπ(k∈Z)，對稱中心的橫坐標(biāo)為ωx+φ=kπ＋(k∈Z)。對于函數(shù)y=Atan(ωx+φ)，其圖像的對稱中心為ωx+φ=kπ(k∈Z)。注意φ可以是單個角或多個角的代數(shù)式，不需區(qū)分ω、A符號。3.奇偶性對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，若x∈R是奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z)；若x∈R是偶函數(shù)，則φ=kπ＋(k/2∈Z)。對于函數(shù)y=Acos(ωx+φ)，若x∈R是奇函數(shù)，則φ=kπ＋(k/2∈Z)；若x∈R是偶函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z)。對于函數(shù)y=Atan(ωx+φ)，若x∈R是奇函數(shù)，則φ=(k/2∈Z)。注意φ可以是單個角或多個角的代數(shù)式，不需區(qū)分ω、A符號。4.周期性對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)，其最小正周期為T=2π/|ω|。對于函數(shù)y=Atan(ωx+φ)，其最小正周期為T=π/|ω|。5.常見公式(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：sin^2θ+cos^2θ=1；tanθ=sinθ/cosθ。(2)三角函數(shù)化簡思路：“去負(fù)、脫周、化銳”。去負(fù)，即負(fù)角化正角：sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana。2.脫周公式是將不在（0,2π）范圍內(nèi)的角化為（0,2π）范圍內(nèi)的角。具體來說，當(dāng)角為2kπ+a時，其正弦為sina，余弦為cosa，正切為-tana。3.化銳公式是將在（0,2π）范圍內(nèi)的角化為銳角。其中包括6組誘導(dǎo)公式，分別為：（1）sin(2kπ+α)=sinα，cos(2kπ+α)=cosα，tan(2kπ+α)=tanα（k∈Z）；（2）sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα；（3）sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα；（4）sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα；（5）sin(-π/2-α)=cosα，cos(-π/2-α)=sinα；6sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinα。記憶這些公式時，可以使用口訣“奇變偶不變，符號看象限。均化為‘kπ/2±a’，做到‘兩觀察、一變’”。具體來說，第一觀察是k的奇偶性，第二觀察是kπ/2±a所在象限，再根據(jù)kπ/2±a所在象限確定原函數(shù)對應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)。最后進(jìn)行變換，正弦變余弦、余弦變正弦、正切利用商的關(guān)系變換。需要注意的是，公式（1）也可以理解為終邊相同角的三角函數(shù)值相同，公式（3）也可以按照函數(shù)奇偶性理解。4.兩角和差公式包括正弦、余弦和正切的公式。具體來說，當(dāng)角為α±β時，有sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ，tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1?tanαtanβ)。5.二倍角公式是兩角和的正弦、余弦、正切公式，其中sin2α=sinαcosα，cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，tan2α=2tanα/(1-tan2α)。需要注意的是，當(dāng)α=β時，二倍角公式成為特殊情況。6.升降冪公式包括升冪縮角和降冪擴(kuò)角兩種情況。具體來說，cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α（升冪縮角），cos2α=(1+cos2α)/(1-cos2α)，sin2α=2sinαcosα/(1-cos2α)（降冪擴(kuò)角）。7.輔助角公式指的是，對于任意實(shí)數(shù)a和b，有asinα+bcosα=sqrt(a^2+b^2)sin(α+φ)，其中φ為輔助角，其所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決定，tanφ=b/a。8.半角公式指的是，當(dāng)角為α/2時，有sin(α/2)=sqrt((1-cosα)/2)，cos(α/2)=sqrt((1+cosα)/2)，tan(α/2)=sinα/(1+cosα)。需要注意的是，半角公式中的α為銳角。2.看式子，化簡公式：觀察式子的形式，采取三角函數(shù)化簡公式，如萬能公式、和差化積公式、積化和差公式等，將式子化為簡單的形式。3.看分母，通分：將式子中的分母通分，化簡式子。4.看因式，提公因式：將式子中的公因式提出來，化簡式子。1-cosA+cosA*cosA*cosA=±；cosA=±22221-cosAsinA=；tanA=1+cosA21+cosA228.其他公式1+sin(a)=sin2(a/2)+cos2(a/2)；1-sin(a)=cos2(a/2)-sin2(a/2)222269.萬能公式sin(a)/(1+tan2(a/2))；cos(a)=2cos2(a/2)-1；tan(a)=sin(a)/(1+cos(a))2222+2tan2(a/2)10.和差化積cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)；cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)2222sin(a+b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)；sin(a-b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)2222sin(a+b)/(cos(a)cos(b))=tan(a)+tan(b)；sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)11.積化和差11cos(A+B)-cos(A-B)=2sinA*sinB；cosA*cosB=1/2(cos(A+B)+cos(A-B))2211sinA*cosB=1/2(sin(A+B)+sin(A-B))；cosA*sinB=1/2(sin(A+B)-sin(A-B))22sinA*sinB=-1/2(cos(A+B)-cos(A-B))12.三倍角公式sin(3θ)=3sin(θ)-4sin3(θ)=4sin(θ)sin(-θ)sin(2θ)333ππ3tan(θ)-tan3(θ)=tan(θ)tan(-θ)tan(2θ)；cos(3θ)=4cos3(θ)-3cos(θ)=4cos(θ)cos(-θ)cos(2θ)；tan(3θ)=(3tan(θ)-tan3(θ))/(1-3tan2(θ))3333ππ14.三角形中三角函數(shù)關(guān)系IntriangleABC,A+B+C=π?C=π-(A+B)?C=-(A+B-π)?2C=2π-2(A+B).sin(A+B)=sin(C)；cos(A+B)=-cos(C)；tan(A+B)=-tan(C)；sin(A)=cos(B)等．2215.三角函數(shù)化簡的常用技巧1.三角函數(shù)化簡要做到“四看、四變”(1)看角、做好角的變換：觀察角與角之間和、差、倍、互補(bǔ)、互余等關(guān)系，采取誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、倍角公式、拼湊角等辦法化簡。2.看式子，化簡公式：觀察式子的形式，采取三角函數(shù)化簡公式，如萬能公式、和差化積公式、積化和差公式等，將式子化為簡單的形式。3.看分母，通分：將式子中的分母通分，化簡式子。4.看因式，提公因式：將式子中的公因式提出來，化簡式子。2.向量的數(shù)乘：一個向量乘以一個實(shí)數(shù)，改變向量的長度和方向，若k>0，方向不變；若k<0，方向相反3.向量的減法：a-b=a+(-b)，即a加上b的相反向量4.向量的線性組合：向量的線性組合是指將若干個向量按一定比例相加的結(jié)果，其中比例為實(shí)數(shù)5.向量的數(shù)量積：a·b=|a||b|cosθ，其中θ為a與b之間的夾角，結(jié)果為一個實(shí)數(shù)6.向量的夾角：θ=arccos(a·b/|a||b|)，其中a、b為兩個向量易錯提醒：1.向量的加法滿足交換律、結(jié)合律、存在零元素、存在相反元素2.向量的數(shù)乘滿足結(jié)合律、分配律、存在單位元素13.向量的減法不滿足交換律，即a-b≠b-a4.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律、存在單位元素1考點(diǎn)三向量的應(yīng)用1.向量的共線、垂直判定：a//b，當(dāng)且僅當(dāng)a、b的夾角為0度或180度；a⊥b，當(dāng)且僅當(dāng)a·b=02.向量的投影：向量a在b方向上的投影為a·cosθ，其中θ為a與b之間的夾角3.向量的模長：|a|=√(a·a)，即向量a的長度4.平面向量的坐標(biāo)表示：向量a的坐標(biāo)表示為(a1,a2)，其中a1、a2分別為a在x軸、y軸上的投影5.向量的夾角余弦：cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中a、b為兩個向量易錯提醒：1.向量的投影是一個實(shí)數(shù)，而不是一個向量2.向量的坐標(biāo)表示是一種表示方法，不影響向量的本質(zhì)特征3.向量的夾角余弦是一個實(shí)數(shù)，而不是一個向量向量的減法原則是指，當(dāng)兩個向量的起點(diǎn)相同且指向被減時，它們的減法結(jié)果為一個新的向量。例如，若有向量OA和向量OB，則它們的和為向量OC，而它們的差為向量BA，即OC=OA+OB，BA=OA-OB。當(dāng)兩個向量共線時，只能使用三角形法則進(jìn)行運(yùn)算。這意味著將它們封閉成一個圖形，使首尾相連，并使它們相加為零。向量的數(shù)乘是指實(shí)數(shù)與向量的乘積，記作λa。它的幾何意義是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時，λa=0。向量a與向量b的數(shù)量積運(yùn)算是指a·b=|a||b|cosθ=|a||b|cos<a,b>=x，其中θ為a與b的夾角，x為a在b方向上的投影。a·b的幾何意義是a·b等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘積。需要注意的是，向量的數(shù)量積結(jié)果為實(shí)數(shù)，而向量的加法、減法、數(shù)乘結(jié)果為向量。在向量的運(yùn)算律中，實(shí)數(shù)與向量的積滿足結(jié)合律、第一分配律和第二分配律。向量的數(shù)量積滿足交換律、數(shù)乘結(jié)合律和分配律。需要注意的是，向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律和消去律，也不能由|a|=|b|推出a=b或a=-b，而|a·b|≤|a|·|b|。平面向量基本定理指出，若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2。需要注意的是，不共線的向量e1、e2的基底不唯一。本文介紹了向量的基底、坐標(biāo)表示和常見公式。向量的基底是表示平面內(nèi)所有向量的一組基礎(chǔ)，證明了三點(diǎn)共線、兩直線平行或兩個向量共線的定理。解題思路是用兩個不共線的向量表示向量a、b，通過化簡方程求解。向量的坐標(biāo)表示是指向量a的坐標(biāo)為(x，y)，即向量在平面內(nèi)的位置。公式包括向量的