高一數(shù)學知識點總結(jié)歸納

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【(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)】

1、對應、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)分，映射是一種特別的對應，而函數(shù)又是一種特別的映射.

2、對于函數(shù)的概念，應留意如下幾點：

(1)把握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會推斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).

(2)把握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式，特殊是會求分段函數(shù)的解析式.

(3)假如y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的復合函數(shù)，其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù)，f(u)為外函數(shù).

3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟：

(1)確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域;

(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

(3)將x，y對換，得反函數(shù)的習慣表達式y(tǒng)=f-1(x)，并注明定義域.

留意①：對于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并到一起.

②熟識的應用，求f-1(x0)的值，合理利用這個結(jié)論，可以避開求反函數(shù)的過程，從而簡化運算.

【(二)、函數(shù)的解析式與定義域】

1、函數(shù)及其定義域是不行分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必需是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型：

(1)有時一個函數(shù)來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結(jié)合實際意義考慮;

(2)已知一個函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：

①分式的分母不得為零;

②偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必需大于零;

④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必需大于零且不等于1;

⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函數(shù)y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

應留意，一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).

(3)已知一個函數(shù)的定義域，求另一個函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.

已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿意a≤g(x)≤b的x的取值范圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域.

2、求函數(shù)的解析式一般有四種狀況

(1)依據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時，必需引入合適的變量，依據(jù)數(shù)學的有關(guān)學問尋求函數(shù)的解析式.

(2)有時題設給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采納待定系數(shù)法.比方函數(shù)是一次函數(shù)，可設f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b為待定系數(shù)，依據(jù)題設條件，列出方程組，求出a，b即可.

(3)若題設給出復合函數(shù)f[g(x)]的表達式時，可用換元法求函數(shù)f(x)的表達式，這時必需求出g(x)的值域，這相當于求函數(shù)的定義域.

(4)若已知f(x)滿意某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還消失其他未知量(如f(-x)，等)，必需依據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達式.

【(三)、函數(shù)的值域與最值】

1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則，不管采納何種方法求函數(shù)值域都應先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下：

(1)直接法：亦稱觀看法，對于結(jié)構(gòu)較為簡潔的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應用不等式的性質(zhì)，直接觀看得出函數(shù)的值域.

(2)換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的冗雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡潔函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數(shù)換元，當根式里是二次式時，用三角換元.

(3)反函數(shù)法：利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如(a≠0)的函數(shù)值域可采納此法求得.

(4)配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數(shù)的值域，不過應留意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.

(6)判別式法：把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調(diào)性，可采納單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.

(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.

2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)分和聯(lián)系

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，假如在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因此答題的方式就有所相異.

如函數(shù)的值域是(0，16]，值是16，無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數(shù)無值和最小值，只有在轉(zhuǎn)變函數(shù)定義域后，如x>0時，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響.

3、函數(shù)的最值在實際問題中的應用

函數(shù)的最值的應用主要表達在用函數(shù)學問求解實際問題上，從文字表述上經(jīng)常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現(xiàn)實問題上，求解時要特殊關(guān)注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.

【(四)、函數(shù)的奇偶性】

1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f(x)，假如對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)).

正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要留意兩點：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)).

2、奇偶函數(shù)的定義是推斷函數(shù)奇偶性的主要根據(jù)。為了便于推斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應用定義的等價形式：

留意如下結(jié)論的運用：

(1)不管f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f(|x|)總是偶函數(shù);

(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函數(shù)，f(x)·g(x)是偶函數(shù)，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

(3)奇偶函數(shù)的復合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);

(4)奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。

3、有關(guān)奇偶性的幾獨特質(zhì)及結(jié)論

(1)一個函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱;一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱.

(2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.

(4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇(偶)函數(shù)在正負對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù)，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù).

(6)奇偶性的推廣

函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，即y=f(a+x)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+x)為奇函數(shù)。

【(五)、函數(shù)的單調(diào)性】

1、單調(diào)函數(shù)

對于函數(shù)f(x)定義在某區(qū)間[a，b]上任意兩點x1，x2，當x1>x2時，都有不等式f(x1)>(或x2)，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”.

5、復合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性

若u=g(x)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的單調(diào)性相同，則復合函數(shù)y=f[g(x)]在[a，b]上單調(diào)遞增;否則，單調(diào)遞減.簡稱“同增、異減”.

在討論函數(shù)的單調(diào)性時，常需要先將函數(shù)化簡，轉(zhuǎn)化為商量一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。因此，把握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將大大縮短我們的推斷過程.

6、證明函數(shù)的單調(diào)性的方法

(1)依定義進行證明.其步驟為：①任取x1、x2∈M且x1(或0)

沿y軸向平移b個單位

y=f(x±a)(a>0)

沿x軸向平移a個單位

y=-f(x)

作關(guān)于x軸的對稱圖形

y=f(|x|)

右不動、左右關(guān)于y軸對稱

y=|f(x)|

上不動、下沿x軸翻折

y=f-1(x)

作關(guān)于直線y=x的對稱圖形

y=f(ax)(a>0)

橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變

y=af(x)

縱坐標伸長到原來的|a|倍，橫坐標不變

y=f(-x)

作關(guān)于y軸對稱的圖形

【例】定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.

①求證：f(0)=1;

②求證：y=f(x)是偶函數(shù);

③若存在常數(shù)c，使求證對任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數(shù)f(x)是不是周期函數(shù)，假如是，找出它的一個周期;假如不是，請說明理由.

思路分析：我們把沒有給出解析式的函數(shù)稱之為抽象函數(shù)，解決這類問題一般采納賦值法.

解答：①令x=y=0，則有2f(0)=2f2(0)，由于f(0)≠0，所以f(0)=1.

②令x=0，則有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，這說明f(x)為偶函數(shù).

③分別用(c>0)替換x、y，有f(x+c)+f(x)=

所以，所以f(x+c)=-f(x).

兩邊應用中的結(jié)論，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，

所以f(x)是周期函數(shù)，2c就是它的一個周期.

高一數(shù)學學問點總結(jié)歸納2

定義：

x軸正向與直線向上方向之間所成的`角叫直線的傾斜角。特殊地，當直線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。

范圍：

傾斜角的取值范圍是0°≤αb>0，a<0.

24.解決一些等比數(shù)列的前項和問題，你留意到要對公比及兩種狀況進行商量了嗎?

25.在“已知，求”的問題中,你在利用公式時留意到了嗎?(時，應有)需要驗證，有些題目通項是分段函數(shù)。

26.你知道存在的條件嗎?(你理解數(shù)列、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列的概念嗎?你知道無窮數(shù)列的前項和與全部項的和的不同嗎?什么樣的無窮等比數(shù)列的全部項的和必定存在?

27.數(shù)列單調(diào)性問題能否等同于對應函數(shù)的單調(diào)性問題?(數(shù)列是特別函數(shù)，但其定義域中的值不是連續(xù)的。)

28.應用數(shù)學歸納法一要留意步驟齊全，二要留意從到過程中，先假設時成立，再結(jié)合一些數(shù)學方法用來證明時也成立。

29.正角、負角、零角、象限角的概念你清晰嗎?，若角的終邊在坐標軸上，那它歸哪個象限呢?你知道銳角與第一象限的角;終邊相同的角和相等的角的區(qū)分嗎?

30.三角函數(shù)的定義及單位圓內(nèi)的三角函數(shù)線(正弦線、余弦線、正切線)的定義你知道嗎?

31.在解三角問題時，你留意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎?你留意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎?

32.你還記得三角化簡的通性通法嗎?(切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化消失特別角.異角化同角，異名化同名，高次化低次)

33.反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是

34.你還記得某些特別角的三角函數(shù)值嗎?

35.把握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì).你會寫三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎?會寫簡潔的三角不等式的解集嗎?(要留意數(shù)形結(jié)合與書寫規(guī)范,可別忘了)，你是否清晰函數(shù)的圖象可以由函數(shù)經(jīng)過怎樣的變換得到嗎?