平行線中拐點(diǎn)問題-七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)易錯(cuò)題

易錯(cuò)02平行線中拐點(diǎn)問題易錯(cuò)【例題分析】1．（2020·浙江金華市·七年級(jí)期中）如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)來求∠APC．（1）按小明的思路，求∠APC的度數(shù)；（問題遷移）（2）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，記∠PAB=α，∠PCD=β當(dāng)點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問∠APC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（問題應(yīng)用）：（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O、B、D三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關(guān)系．【解析】（1）過點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（2）∠APC=∠α+∠β，理由：如圖2，過P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；（3）如圖所示，當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=∠α-∠β；如圖所示，當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=∠β-∠α【小結(jié)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．【鞏固提升】1．（2021·全國(guó)九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將一塊帶有60°角的直角三角板放置在一組平行線上，若∠1=35°，則∠2的度數(shù)應(yīng)該是（

）A．60° B．35° C．30°

D．25°【解析】D【小結(jié)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·河南新鄉(xiāng)市·七年級(jí)期末）如圖，已知直線，，，則等于（）A．110° B．100° C．130° D．120°【解析】A【小結(jié)】本題考查平行線的性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，作平行輔助線、掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．（2020·四川攀枝花市·七年級(jí)期末）如圖，某地域的江水經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)處拐彎后，水流的方向與原來相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．35° D．50°【解析】A【小結(jié)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是過C點(diǎn)先作AB的平行線，由平行線的性質(zhì)求解．4．（2020·重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)期中）如圖，直線為直角，則等于（）A． B． C． D．【解析】B【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．5．（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，，，，則（）A． B． C． D．【解析】D【小結(jié)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2020·湖北隨州市·七年級(jí)期末）如圖，直線a∥b∥c，直角∠BAC的頂點(diǎn)A在直線b上，兩邊分別與直線a，c相交于點(diǎn)B，C，則∠1＋∠2的度數(shù)是___________．【解析】270°【小結(jié)】本題主要考查的是平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·福建泉州市·七年級(jí)期末）如圖，直線∥，△的頂點(diǎn)和分別落在直線和上，若∠1＝60°，且∠1＋∠2＝90°，則的度數(shù)是______°．【解析】30【小結(jié)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．8．（2020·山東青島市·七年級(jí)期中）如圖，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，則∠BCD的度數(shù)為__°．【解析】46【小結(jié)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得到角之間的等量關(guān)系．9．（2020·鄭州外國(guó)語中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，則∠D的度數(shù)為_____．【解析】48°【小結(jié)】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等這一性質(zhì)．10．（2021·全國(guó)九年級(jí)）如圖，AEFC是折線，AB//CD，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所滿足的關(guān)系式為_______________；【解析】或【小結(jié)】此題考查了平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)定理的應(yīng)用與輔助線的作法．11．（2020·上海靜安區(qū)·七年級(jí)期中）（1）如圖所示，，且點(diǎn)在射線與之間，請(qǐng)說明的理由．（2）現(xiàn)在如圖所示，仍有，但點(diǎn)在與的上方，①請(qǐng)嘗試探索，，三者的數(shù)量關(guān)系．②請(qǐng)說明理由．【解析】（1）過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠A=∠AEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠C，∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，∴∠AEC=∠A+∠C；（2）①∠1+∠2-∠E=180°，②過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠AEF+∠1=180°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠2，即∠CEA+∠AEF=∠2，∴∠AEF=∠2-∠CEA，∴∠2-∠CEA+∠1=180°，即∠1+∠2-∠AEC=180°．【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)，作輔助線并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2018·上海七年級(jí)零模）已知：AB∥DE．（1）如圖1，點(diǎn)C是夾在AB和DE之間的一點(diǎn)，當(dāng)AC⊥CD時(shí)，垂足為點(diǎn)C，你知道∠A+∠D是多少嗎？這一題的解決方法有很多，例如（i）過點(diǎn)C作AB的平行線；（ii）過點(diǎn)C作DE的平行線；（iii）聯(lián)結(jié)AD；（iv）延長(zhǎng)AC、DE相交于一點(diǎn)．請(qǐng)你選擇一種方法（可以不選上述四種），并說明理由．（2）如圖2，點(diǎn)C1、C2是夾在AB和DE之間的兩點(diǎn)，請(qǐng)想一想：∠A+∠C1+∠C2++∠D=度，并說明理由．（3）如圖3，隨著AB與CD之間點(diǎn)增加，那么∠A+∠C1+∠C2++…+∠Cn+1+∠D=度．（不必說明理由）【解析】（1）如圖1，過點(diǎn)作的平行線，∵，∴，∴，，∴，又∵，∴．（2）如圖2，過作，過作，則∵，∴，∴，，，∴，故答案為：540；（3）如圖3，由（1）（2）可得：，故答案為：．【小結(jié)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．13．（2020·浙江金華市·七年級(jí)期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請(qǐng)你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學(xué)問題，我們不妨取名叫“木尺斷口問題”．（1）如圖（2）所示，已知，請(qǐng)問，，有何關(guān)系并說明理由；（2）如圖（3）所示，已知，請(qǐng)問，，又有何關(guān)系并說明理由；（3）如圖（4）所示，已知，請(qǐng)問與有何關(guān)系并說明理由．【解析】（1），理由如下：如圖所示，過點(diǎn)E作直線a，使得，則，，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴，即：；（2），理由如下：如圖所示，過點(diǎn)E作直線b，使得，則，，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴，∵，∴，即：；（3），理由如下：如圖所示，過點(diǎn)E，F(xiàn)，G作直線c，d，e，使得，則，，，，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵，，∴，∴，即：．【小結(jié)】本題考查平行線性質(zhì)的運(yùn)用，準(zhǔn)確掌握平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵14．（2020·佛山市順德區(qū)杏壇梁銶琚初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考）問題情境1：如圖1，AB∥CD，P是ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，P在BD的右側(cè)，探究∠B，∠P，∠D之間的關(guān)系？小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠B，∠P，∠D之間滿足關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）問題情境2如圖3，AB∥CD，P是AB，CD內(nèi)部一點(diǎn)，P在BD的左側(cè)，可得∠B，∠P，∠D之間滿足關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）問題遷移：請(qǐng)合理的利用上面的結(jié)論解決以下問題：已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)F（1）如圖4，若∠E＝80°，求∠BFD的度數(shù)；（2）如圖5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，寫出∠M與∠E之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，設(shè)∠E＝m°，用含有n，m°的代數(shù)式直接寫出∠M＝．【解析】問題情境1：如圖2，∠B+∠BPD+∠D＝360°，理由是：過P作PE∥AB，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°，∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，即∠B+∠BPD+∠D＝360°，故答案為∠B+∠P+∠D＝360°；問題情境2如圖3，∠P＝∠B+∠D，理由是：過點(diǎn)P作EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EP，∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，∴∠BPD＝∠B+∠D，即∠P＝∠B+∠D；故答案為∠P＝∠B+∠D；問題遷移：（1）如圖4，∵BF、DF分別是∠ABE和∠CDE的平分線，∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∴∠EBF+∠EDF＝140°，∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；（2）如圖5，∠E+∠M＝60°，理由是：∵設(shè)∠ABM＝x，∠CDM＝y(tǒng)，則∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∠E＝60﹣x﹣y，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+∠M＝60°；（3）如圖5，∵設(shè)∠ABM＝x，∠CDM＝y(tǒng)，則∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝360°，∴x+y＝，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，∴∠M＝；【小結(jié)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線、n等分線及四邊形的內(nèi)角和的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算，解題時(shí)注意類比思想的運(yùn)用。15．（2020·寧夏石嘴山市·七年級(jí)期末）已知，點(diǎn)E、F分別在、上，點(diǎn)G為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接、．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在、之間時(shí)，請(qǐng)直接寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系__________．（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在上方時(shí)，且，求證：；（3）如圖，在（2）的條件下