《2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)》教學(xué)

21.5.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)義務(wù)教育教科書(shū)（滬科）九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)導(dǎo)入

當(dāng)容積S=1000

時(shí),時(shí)間t與每小時(shí)水流量v之間的函數(shù)關(guān)系是：

（t>0）.問(wèn)題1某游泳池容積為1000m3,現(xiàn)在需要灌滿它，每小時(shí)水流量v(m3/h)與時(shí)間t(h)之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系呢？你能在平面直角坐標(biāo)系中形象的畫(huà)出這個(gè)圖形嗎？新知探究1．什么是反比例函數(shù)？2．反比例函數(shù)的定義中需要注意什么？（1）k是非零常數(shù).（2）xy=k．一般地，表達(dá)式形如

y=(k是常數(shù),k≠0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù)．kx—3．還記得一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)嗎？新知探究函數(shù)正比例函數(shù)表達(dá)式圖象形狀k>0k<0位置增減性位置增減性y=kx(k是常數(shù)，k≠0）

直線（經(jīng)過(guò)原點(diǎn)）一、三象限從左到右上升y隨x的增大而增大二、四象限

從左到右下降y隨x的增大而減小k

(k是數(shù),k≠0)x≠0y=x反比例函數(shù)？新知探究4.如何畫(huà)函數(shù)的圖象？

函數(shù)圖象畫(huà)法

描點(diǎn)法列表描點(diǎn)連線想一想：

正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象的位置和增減性是由誰(shuí)決定的？我們是如何探究得到的？反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)又如何呢？新知探究反比例函數(shù)的圖象一問(wèn)題：如何畫(huà)反比例函數(shù)的圖象？

解析：畫(huà)出函數(shù)圖象的步驟一般為列表描點(diǎn)連線解（1）列表如下應(yīng)注意1.自變量x需要取多少值?為什么?2.取值時(shí)要注意什么?

xy=x6y=

x616233241.551.261-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1…………-663-32-21.5-1.51.2-1.21-1……新知探究

（2）根據(jù)表中x,y的數(shù)值在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)（x,y）;（3）

如圖，再用平滑曲線順次連接各點(diǎn)，就得到反比例函數(shù)的圖象．123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4O-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4O-6-556xyy=x6y=

x6新知探究想一想：你認(rèn)為作反比例函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)注意哪些問(wèn)題?圖象是對(duì)稱的圖象與坐標(biāo)軸不相交圖象是平滑的曲線新知探究1.列表時(shí)，自變量的值可以選取一些互為相反數(shù)的值這樣既可簡(jiǎn)化計(jì)算,又便于對(duì)稱性描點(diǎn);2.列表描點(diǎn)時(shí),要盡量多取一些數(shù)值,多描一些點(diǎn),這樣既可以方便連線,又較準(zhǔn)確地表達(dá)函數(shù)的變化趨勢(shì);3.連線時(shí)，一定要養(yǎng)成按自變量從小到大的順序，依次用平滑的曲線連接,從中體會(huì)函數(shù)的增減性；……注意要點(diǎn)新知探究（1）觀察和的圖象，它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?

（2）反比例函數(shù)

的圖象在哪兩個(gè)象限,由什么確定？xyxy雙曲線

軸對(duì)稱圖形，也是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形．OO新知探究相同點(diǎn)：1.兩支曲線構(gòu)成；

2.與坐標(biāo)軸不相交；

3.圖象自身關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；

4.圖象自身是軸對(duì)稱圖形.不同點(diǎn)：的圖象在第一、三象限；

的圖象在第二、四象限.新知探究第一、三象限第二、四象限

形狀:反比例函數(shù)的圖象由兩支曲線組成，因此稱反比例函數(shù)的圖象為雙曲線.

位置：由k決定：

當(dāng)k>0時(shí),兩支曲線分別位于_______________內(nèi);

當(dāng)k<0時(shí),兩支曲線分別位于_______________內(nèi).新知探究例1：若雙曲線y=的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，則k的取值范圍是()A.k＞ B.k＜C.k= D.不存在解析：反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，則必有2k-1＜0，解得k＜.故選B.B新知探究例2:如圖所示的曲線是函數(shù)(m為常數(shù))圖象的一支．(1)求常數(shù)m的取值范圍；(2)若該函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象在第一象限的交點(diǎn)為A(2，n)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式．

解：（1）由題意可得，m－5＞0，解得m＞5.新知探究問(wèn)題：觀察下列的函數(shù)圖象，填一填.yyyxxxOOO反比例函數(shù)的性質(zhì)二(2)函數(shù)圖象分別位于哪幾個(gè)象限？第二、四象限(1)上面三個(gè)函數(shù)相應(yīng)的k值分別是________，則k___0.-2,-4,-6＜新知探究

x＜0時(shí)，圖象在第二象限；x＞0時(shí)，圖象在第四象限．(4)在每個(gè)象限內(nèi),曲線從左往右______,所以隨著x值的增大，y的值怎樣變化？逐漸上升，增大．(3)當(dāng)x取什么值時(shí)，圖象在第二象限？當(dāng)x取什么值時(shí)，圖象在第四象限？新知探究xyO反比例函數(shù)的增減性當(dāng)k>0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k<0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.xyO新知探究例3：已知反比例函數(shù)y=.（1）如果這個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3,5），求k的值.（2）如果這個(gè)函數(shù)圖象在它所處的象限內(nèi)，函數(shù)y隨x的增大而減小，求k的范圍.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3,5），代入函數(shù)表達(dá)式，得解得，

k=-7.

（2）根據(jù)題意，有2k－1＞0，解不等式，得新知探究例4：已知反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(-2，-3)，函數(shù)圖象上有三點(diǎn)A(),B(5,y2),C(-8,y3),則y1，y2，y3的大小關(guān)系為()A.y1>y2>y3B.y1<y2<y3C.y2>y1>y3 D.不能確定C解析：已知反比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)（-2，-3），所以可知k>0,可判斷y1>0，y2>0，y3＜0.由概念可知,當(dāng)k>0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，所以y2>y1>0>y3.新知探究已知兩點(diǎn)（

，），（

，）在函數(shù)的圖象上，當(dāng)

＞

＞0時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）

A.＞

＞0B.＜

＜0 C.＞

＞0D.＜

＜0Ｄ變式拓展新知探究反比例函數(shù)表達(dá)式中k的幾何意義三合作探究1.在反比例函數(shù)的圖象上分別取點(diǎn)P，Q向x軸、y軸作垂線，圍成面積分別為S1，S2的矩形，填寫(xiě)表格：

44S1=S2S1=S2=kS1的值S2的值S1與S2的關(guān)系猜想與k的關(guān)系P（2,2）Q（4,1）12345-1-3-2-4-51234-1-2-3-4-55xyOQPS1S2新知探究2.若在反比例函數(shù)中也用同樣的方法分別取P，Q兩點(diǎn)，填寫(xiě)表格：S1的值S2的值S1與S2的關(guān)系猜想與k的關(guān)系P（-1,4）Q（-2,2）44S1=S2S1=S2=-kyxoPQS1S2新知探究由前面的探究過(guò)程，可以猜想:若點(diǎn)P是圖象上的任意一點(diǎn)，作PA垂直于x軸，作PB垂直于y軸，矩形AOBP的面積與k的關(guān)系是S矩形AOBP=|k|.新知探究yxOPS我們就k<0的情況給出證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b)AB∵點(diǎn)P(a,b)在函數(shù)的圖象上，∴，即ab=k∴S矩形AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k；若點(diǎn)P在第二象限，則a<0，b>0若點(diǎn)P在第四象限，則a>0，b<0∴S矩形AOBP=PB·PA=a·（-b）=-ab=-k.BPA綜上，S矩形AOBP=|k|.自己嘗試證明k>0的情況.新知探究方法歸納

點(diǎn)Q是其圖象上的任意一點(diǎn)，作QA垂直于y軸，作QB垂直于x軸，矩形AOBQ的面積與k的關(guān)系是S矩形AOBQ=

推理：△QAO與△QBO的面積和k的關(guān)系是S△QAO=S△QBO=Q對(duì)于反比例函數(shù)，AB|k|反比例函數(shù)的面積不變性yxO新知探究

例5：如圖,過(guò)反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)P,作PA⊥x軸于點(diǎn)A.若△POA的面積為6,則k=

.yxOPA﹣12

當(dāng)反比例函數(shù)圖象在第二、四象限時(shí)，注意k＜0.歸納隨堂小測(cè)1.反比例函數(shù)y=

的圖象大致是（)yA.xyoB.xoD.xyoC.xyoC2.函數(shù)的圖象，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而_____.y=x53.在雙曲線的一支上，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是____.

m-2xy

=m>2增大隨堂小測(cè)4.如圖，在函數(shù)的圖象上有三點(diǎn)A、B、C，過(guò)這三點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線，過(guò)每一點(diǎn)所作的兩條垂線與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為SA，SB，SC，則（）yxOA.SA>SB>SCB.SA