2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷）（解析版）

PAGE12023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1.計(jì)算：（）A.2 B. C.8 D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的減法法則，熟知：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，掌握好中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．3.如圖，，．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由對(duì)頂角相等可得，再由平行線的性質(zhì)可求得，，結(jié)合已知條件可求得，即可求解．【詳解】解：如圖，，，∵，，，，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．4.計(jì)算：（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．5.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和（為常數(shù)，）的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到函數(shù)和的圖象經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)象限，本題得以解決．【詳解】解：∵，∴函數(shù)是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，經(jīng)過(guò)第二、四象限，函數(shù)是經(jīng)過(guò)第一、三、四象限的直線，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用正比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)解答．6.如圖，是的中位線，點(diǎn)在上，．連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．若，則線段的長(zhǎng)為（）A. B.7 C. D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形中中位線定理證得，求出，進(jìn)而證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，即可求出結(jié)論．【詳解】解：是的中位線，，，，，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7.陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個(gè)“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點(diǎn)，連接，與弦交于點(diǎn)，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（）A.13cm B.16cm C.17cm D.26cm【答案】A【解析】【分析】首先利用垂徑定理的推論得出，，再設(shè)的半徑為，則．在中根據(jù)勾股定理列出方程，求出即可．【詳解】解：是的一部分，是的中點(diǎn)，，，．設(shè)的半徑為，則．在中，，，，，即的半徑為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，設(shè)的半徑為，列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．8.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其對(duì)稱軸在軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）A.最大值 B.最大值 C.最小值 D.最小值【答案】D【解析】【分析】將代入二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出值，再利用對(duì)稱軸在軸左側(cè)，得出，再利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求出二次函數(shù)最值．【詳解】解：將代入二次函數(shù)解析式得：，解得：，，∵二次函數(shù)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)，即，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值，最小值為，故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值，正確得出的值是解題關(guān)鍵．二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）9.如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示，點(diǎn)B與點(diǎn)A位于原點(diǎn)兩側(cè)，且與原點(diǎn)的距離相等．則點(diǎn)B表示的數(shù)是__．【答案】【解析】【分析】由絕對(duì)值的定義，再根據(jù)原點(diǎn)左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)即可得出答案．【詳解】解：由題意得：點(diǎn)B表示的數(shù)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值的意義，掌握絕對(duì)值的意義是解本題的關(guān)鍵．10.如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線、相交于點(diǎn)．則線段的長(zhǎng)為___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出四邊形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出，，即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，由題意可知，四邊形是矩形，、是等腰直角三角形，，在中，，，，同理，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正八邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．11.點(diǎn)是菱形的對(duì)稱中心，，連接，則的度數(shù)為___．【答案】62°【解析】【分析】連接，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義得出點(diǎn)是菱形的兩對(duì)角線的交點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，那么．【詳解】解：如圖，連接，點(diǎn)是菱形的對(duì)稱中心，，點(diǎn)是菱形的兩對(duì)角線的交點(diǎn)，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，菱形是中心對(duì)稱圖形，兩對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心，掌握菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在矩形和正方形中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C，F(xiàn)均在x軸正半軸上，點(diǎn)D在邊上，，．若點(diǎn)B，E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為m，根據(jù)，，得到，根據(jù)矩形對(duì)邊相等得到，推出，根據(jù)點(diǎn)B，E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，得到，得到，推出．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為m，∴，∵，∴，∴，，設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，∴，解得或（不合題意，舍去），∴，∴，∴這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，反比例函數(shù)性質(zhì)，k的幾何意義．13.如圖，在矩形中，，．點(diǎn)在邊上，且，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，．若．則線段的長(zhǎng)為___．【答案】【解析】【分析】由題意知是等腰直角三角形，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則在直線上，連接，，．即，，，所以此時(shí)、、三點(diǎn)共線且，點(diǎn)在的中點(diǎn)處，，可求出．【詳解】解：，是等腰直角三角形，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則在直線上，連接，如圖：．，即，此時(shí)、、三點(diǎn)共線且，點(diǎn)在的中點(diǎn)處，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題關(guān)鍵．三、解答題（共13小題，計(jì)81分．解答應(yīng)寫出過(guò)程）14.解不等式：．【答案】【解析】【分析】去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可．【詳解】解：，去分母，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，不等式的兩邊都除以，得．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，能正確根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．15.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：原式＝﹣57+|﹣8|＝﹣51．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．16.化簡(jiǎn)：．【答案】【解析】【分析】先算括號(hào)里的運(yùn)算，把除法轉(zhuǎn)為乘法，最后約分即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．17.如圖．已知銳角，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)部求作一點(diǎn)．使．且．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【解析】分析】先作的平分線，再作的垂直平分線，直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)滿足條件．【詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．18.如圖，在中，，．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)至點(diǎn)．使．在邊上截取，連接．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】證明：在中，，，．．．，．在和中，，∴．．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．19.一個(gè)不透明的袋子中裝有四個(gè)小球，這四個(gè)小球上各標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，分別是1，1，2，3，這些小球除標(biāo)有的數(shù)字外都相同．（1）從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率為；（2）先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字后，放回，搖勻，再?gòu)拇须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字，請(qǐng)利用畫樹狀圖或列表的方法、求摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出從袋中機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率；（2）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，然后即可求出摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率．【小問(wèn)1詳解】由題意可得，數(shù)字1，1，2，3中，數(shù)字1有2個(gè)，所以，從袋中機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率為，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】樹狀圖如下：由上可得，一共有16種等可能性，其中兩數(shù)之積是偶數(shù)的可能性有7種，摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率．【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的樹狀圖，求出相應(yīng)的概率．20.小紅在一家文具店買了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了元．已知她買的這種大筆記本的單價(jià)比這種小筆記本的單價(jià)多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價(jià)．【答案】8元【解析】【分析】設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是x元，則小筆記本的單價(jià)是元，根據(jù)買了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了元，列方程求解．【詳解】解：設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是x元，則小筆記本的單價(jià)是元，由題意可得，解得：；答：該文具店中這種大筆記本的單價(jià)為8元．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程解決問(wèn)題．21.一天晚上，小明和爸爸帶著測(cè)角儀和皮尺去公園測(cè)量一景觀燈（燈桿底部不可到達(dá)）的高．如圖所示，當(dāng)小明爸爸站在點(diǎn)處時(shí)，他在該景觀燈照射下的影子長(zhǎng)為，測(cè)得；當(dāng)小明站在爸爸影子的頂端處時(shí)，測(cè)得點(diǎn)的仰角為．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距離，點(diǎn)、、在同一條直線上，，，．求該景觀燈的高．（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，然后設(shè)，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，再根據(jù)垂直定義可得，從而證明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，，設(shè)，在中，，，，，，，，，，，，，解得：，，該景觀燈的高約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，相似三角形的應(yīng)用，中心投影，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．22.經(jīng)驗(yàn)表明，樹在一定的成長(zhǎng)階段，其胸徑（樹的主干在地面以上處的直徑）越大，樹就越高．通過(guò)對(duì)某種樹進(jìn)行測(cè)量研究，發(fā)現(xiàn)這種樹的樹高是其胸徑的一次函數(shù)．已知這種樹的胸徑為時(shí)，樹高為；這種樹的胸徑為時(shí)，樹高為．（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)這種樹的胸徑為時(shí)，其樹高是多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用待定系數(shù)法解答即可；（2）把代入（1）的結(jié)論解答即可．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，根據(jù)題意，得，解之，得，∴；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)這種樹的胸徑為時(shí)，其樹高為．【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法與步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．23.某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們從“校園農(nóng)場(chǎng)”中隨機(jī)抽取了20棵西紅柿植株，并統(tǒng)計(jì)了每棵植株上小西紅柿的個(gè)數(shù)．其數(shù)據(jù)如下：28，36，37，39，42，45，46，47，48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64，通過(guò)對(duì)以上數(shù)據(jù)的分析整理，繪制了統(tǒng)計(jì)圖表：分組頻數(shù)組內(nèi)小西紅柿的總個(gè)數(shù)12815494526366根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖：這20個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)是；（2）求這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（3）“校園農(nóng)場(chǎng)“中共有300棵這種西紅柿植株，請(qǐng)估計(jì)這300棵西紅柿植株上小西紅柿的總個(gè)數(shù)．【答案】（1）54，見解析（2）50（3）15000個(gè)【解析】【分析】（1）用總數(shù)減去其它三組的頻數(shù)可得的值，進(jìn)而補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖，然后根據(jù)眾數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式解答即可；（3）用300乘（2）的結(jié)論可得答案．【小問(wèn)1詳解】由題意得，，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下這20個(gè)數(shù)據(jù)中，54出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為54．故答案為：54；【小問(wèn)2詳解】．這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是50；小問(wèn)3詳解】所求總個(gè)數(shù)：（個(gè)．估計(jì)這300棵西紅柿植株上小西紅柿的總個(gè)數(shù)是15000個(gè)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表，用樣本估計(jì)總體，眾數(shù)以及加權(quán)平均數(shù)，解決此題的關(guān)鍵是明確頻率頻數(shù)總數(shù)．24.如圖，內(nèi)接于，，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，并與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，作，垂足為，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若的半徑，，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖，連接，根據(jù)圓周角定理得到，求得，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）如圖，根據(jù)圓周角定理得到為的直徑，求得．根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，連接，則，，，．；【小問(wèn)2詳解】如圖，，為的直徑，．，，，，，．，，，連接，則，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．25.某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型門，并要求所設(shè)計(jì)的拱門的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門按要求給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案．現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：方案一，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點(diǎn)N在x軸上，，．方案二，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點(diǎn)在x軸上，，．要在拱門中設(shè)置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計(jì)）．方案一中，矩形框架的面積記為，點(diǎn)A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點(diǎn)，在拋物線上，邊在上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：（1）求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在方案一中，當(dāng)時(shí)，求矩形框架的面積并比較，的大?。敬鸢浮浚?）（2），【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法則，求出拋物線的解析式即可；（2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比較大小即可．【小問(wèn)1詳解】解：由題意知，方案一中拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入得：，解得：，∴；∴方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；【小問(wèn)2詳解】解