《一元二次不等式及其解法》

一元二次不等式及其解法在2010年溫哥華冬奧會跳臺滑雪比賽中，一位跳臺滑雪運動員在90米級跳臺滑雪時，想使自己的飛行距離超過68米．他若以自身體重從起滑臺起滑，經(jīng)助滑道于臺端飛起時的初速度最快為110千米/小時．那么他能實現(xiàn)自己的目標嗎？2．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在Δ＝b2－4ac>0時，有兩不等實根，此時對應(yīng)的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸有________公共點，Δ＝0時，有兩相等實根，此時，對應(yīng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸有________公共點．上下兩個一個1．一元二次不等式的概念觀察下列不等式：(1)x2－2x>0；(2)3x2－1≤0；(3)－2x2＋4x－3≥0.它們含有幾未知數(shù)？未知數(shù)的最高次數(shù)是多少？它們有何共同特點？只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．“元”是未知數(shù)，“一元”就是含有一個未知數(shù)．如：x2－5x<0,2x2＋6x－10>0，－3x2＋5x＋7<0,5x2>3等都是一元二次不等式．注意：(1)在一元二次不等式的表達式中，一定有條件a≠0，即二次項的系數(shù)不為零．(2)對于ax2＋bx＋c>0(或<0)的形式，如果不指明是二次不等式，那么它也可能是一次不等式，應(yīng)特別注意分類討論．判斷下列不等式中哪些是一元二次不等式．①x2>0；②－x2－x≤5；③x3＋5x－6>0；④mx2－5y<0(m為常數(shù))；⑤ax2＋bx＋c>0.[解析]

①②是．③不是，因為x3的最高次數(shù)是3，不符合定義．④不是．當m＝0時，它是一元一次不等式，當m≠0，它含有兩個未知數(shù)x，y.⑤不一定是．當a＝0時，它不符合一元二次不等式的定義；當a≠0時，是．2．一元二次不等式的解法分別畫出下列幾個函數(shù)的圖象(草圖)，觀察圖象回答當x取何范圍內(nèi)的值時，y>0，y<0.(1)y＝(x＋1)(x－2)；(2)y＝－(x－3)2；(3)y＝(x＋2)2＋3；(4)y＝－x2＋4x－3.通過上面的觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的兩個不等實根分別為x1，x2(x1<x2)，則不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集為{x|x<x1或x>x2}，不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集為{x|x1<x<x2}．當一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的判別式Δ<0時，此方程無實數(shù)根，y＝ax2＋bx＋c的圖象位于x軸上方，所以ax2＋bx＋c>0的解集是R，而ax2＋bx＋c<0的解集是?.2．畫出函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象，觀察圖象．可見(1)x∈________時，y＝0，方程x2－2x－3＝0的根為________．(2)x∈________時，y>0，∴不等式x2－2x－3>0的解集為________；(3)x∈________時，y<0，∴不等式x2－2x－3<0的解集為________．[答案]

(1){－1,3}

x1＝－1，x2＝3

(2){x|x<－1或x>3}

{x|x<－1或x>3}

(3){x|－1<x<3}

{x|－1<x<3}[解析]方程x2－2x－3＝0的兩根分別是x1＝－1，x2＝3，函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象如圖所示．由圖象可知，當x∈{－1,3}時，y＝0，方程x2－2x－3＝0的根為x1＝－1，x2＝3.當x∈{x|x<－1或x>3}時，y>0，∴不等式x2－2x－3>0的解集為{x|x<－1或x>3}．當x∈{x|－1<x<3}時，y<0，∴不等式x2－2x－3<0的解集為{x|－1<x<3}．3．解下列不等式．(1)2x2－3x－2>0；(2)－3x2＋6x>2.

解下列不等式：(1)x2－3x＋5>0；(2)－6x2－x＋2≥0；(3)－4x2≥1－4x；(4)2x2－4x＋7<0.一元二次不等式的解法(2015·昆明市質(zhì)檢)設(shè)集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{x|x>1}，則A∩B＝(

)A．(1,4)

B．(－1,1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)[答案]

A[解析]

A＝{x|－1<x<4}，∴A∩B＝{x|1<x<4}，選A．“三個二次”關(guān)系的應(yīng)用[方法規(guī)律總結(jié)]

1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標．2．注意靈活運用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題．

某熱帶風(fēng)暴中心B位于海港城市A東偏南30°的方向，與A市相距400km.該熱帶風(fēng)暴中心B以40km/h的速度向正北方向移動，影響范圍的半徑是350km.問：從此時起，經(jīng)多少時間后A市將受熱帶風(fēng)暴影響，大約受影響多長時間？一元二次不等式的實際應(yīng)用汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車后還要向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個重要因素，在一個限速40km/h以內(nèi)的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了．事后現(xiàn)場測得甲車的剎車略超過12m，乙車的剎車略超過10m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間有如下關(guān)系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.問：超速行駛應(yīng)負主要責(zé)任的是誰？[解析]要分清誰是應(yīng)付主要責(zé)任者，就需分析行車速度，要弄清速度問題，就要利用剎車距離函數(shù)與實測數(shù)據(jù)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，由題意列出不等式甲：0.1x＋0.01x2＞12，乙：0.05x＋0.005x2＞10，∵x＞0，∴解得