2022-2023學(xué)年江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)高一下學(xué)期5月質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat16頁2022-2023學(xué)年江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)高一下學(xué)期5月質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知且，若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的定義求解即可【詳解】因?yàn)榧希?，所以，故選：C2．在中，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)表，在三角形中，當(dāng)時(shí)，即可求解【詳解】在三角形中，，故在三角形中，“”是“”的充分必要條件故選：C【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題3．已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，其側(cè)面積為，則該圓錐的高為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由側(cè)面積求出圓錐的底面圓半徑，再根據(jù)勾股定理可求得其高.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線為，則，所以其側(cè)面積為，解得，所以圓錐的高為.故選：C.4．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的幾何意義，轉(zhuǎn)化點(diǎn)到點(diǎn)的距離求解.【詳解】設(shè)，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，表示點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，故選：B.5．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正切的倍角公式和和角公式計(jì)算即可.【詳解】由已知可得，所以.故選：B6．設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．，則 B．，則C．，則 D．，則【答案】D【分析】舉例說明判斷ABC；利用線面垂直的性質(zhì)判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，在長(zhǎng)方體中，平面為平面，分別為直線，顯然滿足，而，此時(shí)不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在長(zhǎng)方體中，平面，平面分別為平面，為直線，顯然滿足，而，此時(shí)不成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在長(zhǎng)方體中，平面，平面分別為平面，為直線，顯然滿足，而，此時(shí)不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，由線面垂直的性質(zhì)知，，D正確.故選：D7．已知銳角三邊長(zhǎng)分別為，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理建立不等式，解不等式求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】顯然邊長(zhǎng)x<x+1,所以只需和的對(duì)角均為銳角即可，由余弦定理得：，解得：．故選：A【點(diǎn)睛】已知三邊，判斷是銳角三角形還是鈍角三角形的方法：①如果一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊平方=其他兩邊的平方和，這個(gè)三角形是直角三角形；②如果一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊平方>其他兩邊的平方和，這個(gè)三角形是鈍角三角形；③如果一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊平方<其他兩邊的平方和，這個(gè)三角形是銳角三角形；④特別地：如果一個(gè)三角形的三條邊相等，這個(gè)三角形是等邊三角形，也是銳角三角形。8．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂在西偏北的方向上，行駛后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，由正弦定理求出，進(jìn)而利用三角函數(shù)求出高度.【詳解】由題意得：，，在中，，在中，，由正弦定理得：，即，解得：，由于CD⊥平面ABC，平面ABC，所以CD⊥BC，則（m）.故選：B二、多選題9．復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（

）A．z的實(shí)部是 B．z的共軛復(fù)數(shù)為C．z的實(shí)部與虛部之和為2 D．z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念和共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，所以A正確；又由共軛復(fù)數(shù)的概念，可得，所以B錯(cuò)誤；由復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為，所以C正確；由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，所以D正確.故選：ACD.10．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．若，則函數(shù)的值域?yàn)镈．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】AD【分析】代入驗(yàn)證正弦型函數(shù)的對(duì)稱中心判斷選項(xiàng)A；代入驗(yàn)證正弦型函數(shù)的對(duì)稱軸判斷選項(xiàng)B；求解正弦型函數(shù)在給定區(qū)間的值域判斷選項(xiàng)C；求解正弦型函數(shù)的遞減區(qū)間判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.判斷正確；選項(xiàng)B：，則函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由，可得，則，即若，則函數(shù)的值域?yàn)?判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由，可得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.判斷正確.故選：AD11．已知向量，，則（

）A．與方向相同的單位向量的坐標(biāo)為B．當(dāng)時(shí)，與的夾角為銳角C．當(dāng)時(shí)，、可作為平面內(nèi)的一組基底D．當(dāng)時(shí)，在方向上的投影向量為【答案】BC【分析】根據(jù)與方向相同的單位向量為可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B選項(xiàng)；判斷出、不共線，可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，與方向相同的單位向量為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，，所以，與的夾角為銳角，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，則，則與不平行，、可作為平面內(nèi)的一組基底，故C正確；對(duì)于D，設(shè)與的夾角為，則在方向的投影向量為，當(dāng)時(shí)，，，，，所以，故D錯(cuò)誤．故選：BC.12．一個(gè)正四棱錐的平面展開圖如圖所示，其中E，F(xiàn)，M，N，Q分別為，，，，的中點(diǎn)，關(guān)于該正四棱錐，現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：其中正確結(jié)論的為（

）

A．直線與直線是異面直線；B．直線與直線是異面直線；C．直線與直線MN共面；D．直線與直線是異面直線.【答案】BCD【分析】作出直觀圖，根據(jù)異面直線的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】根據(jù)展開圖，復(fù)原幾何體，如下圖所示：

對(duì)于A，因?yàn)镕，M，N，Q分別為，，，的中點(diǎn)，所以，又，則，故F，N，A，B四點(diǎn)共面，故直線與直線是共面直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，E在過F，N，A，B四點(diǎn)的平面外，B和MN都在過F，N，A，B四點(diǎn)的平面內(nèi)，故直線與直線是異面直線，故B正確；對(duì)于C，N，Q重合，故直線與直線共面，故C正確；對(duì)于D，E在過F，N，A，B四點(diǎn)的平面外，B和AF都在過F，N，A，B四點(diǎn)的平面內(nèi)，故直線與直線是異面直線，故D正確；故選：BCD.三、填空題13．命題“，”的否定為．【答案】，【分析】特稱命題的否定是全稱命題，改寫量詞的同時(shí)否定結(jié)論，直接寫出結(jié)果即可．【詳解】命題“，”的否定為“，”故答案為：，．14．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)圖象即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程的解得個(gè)數(shù)，即函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示，

由圖象可知：函數(shù)與有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故答案為：.15．若一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是等腰梯形，且，，則該平面圖形的面積為.【答案】【分析】先在直觀圖求出的長(zhǎng)，然后利用原圖與直觀圖的關(guān)系求出原圖的面積【詳解】作，，因?yàn)?，，所以?因此.又根據(jù)斜二測(cè)畫法的特征可得，在原圖中，，即原圖為直角梯形，且高為直觀圖中的2倍，所以該平面圖形的面積為.故答案為：四、雙空題16．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E是棱的中點(diǎn)，平面截正方體所得截面圖形的周長(zhǎng)為，若F是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為.

【答案】/【分析】由平行線確定一個(gè)平面，利用中位線找到截面并求周長(zhǎng)；構(gòu)造面面平行，找到點(diǎn)F的軌跡并求長(zhǎng)度.【詳解】取CD中點(diǎn)G，連接BG、EG，正方體中，，，四邊形為平行四邊形，則，E是中點(diǎn)，G是CD中點(diǎn)，，則等腰梯形為截面，

而，，故梯形的周長(zhǎng)為；取中點(diǎn)M，中點(diǎn)N，連接，則，故四邊形為平行四邊形，則得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，平面，故平面平面，∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN，其長(zhǎng)度為.故答案為：；.五、解答題17．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù).(1)求；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)且，代入化簡(jiǎn)，然后由復(fù)數(shù)的分類求解；（2）由（1）代入求得，再由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)與定義計(jì)算．【詳解】（1）設(shè)且.則為實(shí)數(shù)，所以，所以，所以；（2）由（1），，所以．18．已知．(1)求的周期；(2)若，其中，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先化簡(jiǎn)函數(shù)，再求函數(shù)的周期；（2）由（1）知，再根據(jù)三角恒等變換，即可化簡(jiǎn)求值.【詳解】（1）所以的周期為.（2），∴，由

得，由，得，∴，∴.19．在條件①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并求解.問題：的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且_________.（1）求角A的大小；（2）若，求角B的大小.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）若選①：由正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理，以及兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)求得，即可求解；若選②：由已知可得，根據(jù)余弦定理求得，即可求解；若選③：由已知和三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)得到，即可求解；（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）若選①：因?yàn)?，由正弦定理得，可得，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?若選②：因?yàn)?，可得，由余弦定理?因?yàn)?，所?若選③：因?yàn)?，可得，所以，即（，否則不合題意）.因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所?即，又因?yàn)?，所?原式可化為，化簡(jiǎn)得.因?yàn)椋?，所以?所以或.20．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．

(1)求證：AB∥EF；(2)求證：平面BCF⊥平面CDEF．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）證明線線平行，一般思路為利用線面平行的性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.（2）證明面面垂直，一般利用其判定定理證明，即先證線面垂直.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AB∥CD，因?yàn)槠矫鍯DEF，平面CDEF，所以AB∥平面CDEF．

因?yàn)槠矫鍭BFE，平面平面，所以AB∥EF．（2）因?yàn)镈E⊥平面ABCD，平面ABCD，所以DE⊥BC.因?yàn)锽C⊥CD，，平面CDEF，所以BC⊥平面CDEF．因?yàn)锽C平面BCF，平面BCF⊥平面CDEF．21．在中，，，，.(1)用向量和向量分別表示向量，；(2)若，且角為直角，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)條件，結(jié)合向量加減法法則即可求解；（2）根據(jù)、角是直角即可求解的值.【詳解】（1）；；（2）由題意可知，，，因角是直角，則，，化簡(jiǎn)為，此時(shí)，綜上，的值是.22．如圖，在直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．(1)證明：∥平面；(2)若，，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接，證明，原題即得證；（2）由題知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半，過作，垂足